Der Vortest kann als einseitiger Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von 3 % gedeutet werden. Geben Sie dazu die Nullhypothese sowie den Ablehnungsbereich an.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
Aus Teilaufgabe 1b ist bekannt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bewerber nur rät, den Test aber dennoch besteht, weil er zufällig mehr als zwei Drittel der Schrifftproben richtig errät, beträgt \(P^{30}_{0{,}5} (X \geq 21) = 2{,}1 \, \%\).
Einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\)
Ein einseitiger Signifikanztest zum Signifikanzniveau \(\alpha\) überprüft eine Vermutung, dass eine Wahrscheinlichkeit \(p\) größer bzw. kleiner als eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(p_{0}\) ist. Dabei darf die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens den Wert des Signifikanzniveaus \(\alpha\) erreichen.
Linksseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \geq p \quad H_1 \colon p_1 < p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{0; 1; ...; k\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
Rechtsseitiger Signifikanztest
\[H_0 \colon p_0 \leq p \quad H_1 \colon p_1 > p\]
Ablehnungsbereich von \(H_0\):
\[\overline{A} = \{k + 1; ...; n\}\]
Bedingung für den Fehler 1. Art:
\[\begin{align*} P_{p_{0}}^{n}(\text{„Fehler 1. Art"}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \in \overline{A}) &\leq \alpha \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \geq k +1) &\leq \alpha \\[0.8em] 1 - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha & &| - 1 \\[0.8em] - P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\leq \alpha - 1 &&| \textcolor{red}{\cdot (-1)} \\[0.8em] P_{p_{0}}^{n}(X \leq k) &\textcolor{red}{\geq} 1 - \alpha \\[1.6em] \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \enspace k \enspace \Longrightarrow \enspace A, \overline{A} \end{align*}\]
ST: Stochastisches Tafelwerk
Als einseitiger Hypothesentest mit dem Signifikanzniveau \(\alpha = 3 \, \%\) (Signifikanztest) aufgefasst, gibt \(P^{30}_{0{,}5} (X \geq 21)\) die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (Irrtumswahrscheinlichkeit) an, wobei die Bedingung \(P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq \alpha\) mit \(2{,}1 \, \% \leq 3 \, \%\) erfüllt ist.
Die Nullhypothese entspricht also der Vermutung, dass der Bewerber nur rät. Die Wahrscheinlichkeit richtig zu raten, liegt bestenfalls bei 50 %.
Nullhypothese: „Die Wahrscheinlichkeit dafür, sich bei einer Stichprobe richtig zu entscheiden, beträgt für einen Bewerber höchstens 50 %."
Nullhypothese \(H_0\, \colon \, p \leq 0{,}5\)
Die Festlegung, dass ein Bewerber den Vortest bestehen soll, wenn er sich bei mehr als zwei Dritteln der vorgelegten Schriftproben richtig entscheidet, gibt den Ablehnungsbereich der Nullhypothese vor.
Ablehnungsbereich von \(H_0\): \(\overline{A} = \{21; ...; 30\}\)
