1.1.1 Lineare Funktion

Eine Funktion \(f\) mit \(f(x) = mx + t\) und \(m,t \in \mathbb R\) heißt lineare Funktion. Dabei ist \(m\) die Steigung der Funktion und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt.

Definitionsmenge: \(D_{f} = \mathbb R\)

Wertemenge (für \(m \neq 0\)): \(W_{f} = \mathbb R\)

Eine lineare Funktion besitzt für \(m \neq 0\) genau eine Nullstelle: \(x = -\frac{t}{m}\).

 

Funktionsgraph einer linearen Funktion

Der Funktionsgrapph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

\(m < 0 \colon \quad\) Die Gerade ist steigend.

\(m = 0 \colon \quad\) Die Gerade verläuft horizontal (parallel zur \(x\)-Achse)

\(m < 0 \colon \quad\) Die Gerade ist fallend

 

Steigung \(m\) und Steigungswinkel \(\alpha\) einer Geraden

Zwei beliebige Punkte \(P_{1}(x_{1}|y_{1})\) und \(P_{2}(x_{2}|y_{2})\) mit \(x_{1} \neq x_{2}\) legen eine Gerade eindeutig fest. Ebenso ist eine Gerade durch die Angabe eines ihrer Punkte und ihrer Steigung eindeutig bestimmt.

 

Gerade mit Steigungsdreieck, Steigungswinkel α und y-Achsenabschnitt t

Gerade mit Steigungsdreieck, Steigungswinkel \(\alpha\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(t\)

 

Der Steigungswinkel einer Geraden ist der in mathematisch positivem Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) gemessene Winkel, den die Gerade mit der positiven \(x\)-Achse einschließt.

 

Steigung \(\boldsymbol{m}\) einer Geraden

\[m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}\]

Steigungswinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) einer Geraden

\[\tan{\alpha} = m \enspace (\alpha \neq 90^{\circ})\]

 

 

Parallele und senkrechte (orthogonale) Geraden

Zwei Geraden \(g_{1}\) und \(g_{2}\) sind

parallel zueinander, wenn

\[m_{1} = m_{2}\]

gilt.

senkrecht zueinander, wenn

\[m_{1} \cdot m_{2} = -1\]

gilt.

 

 

Geradengleichungen

Neben der allgemeinen Form, lässt sich die Gleichung einer Geraden in der Ebene, die durch den Punkt \((x_{0}|y_{0})\) verläuft und die Steigung \(m\) besitzt, in der Punkt-Steigungs-Form formulieren.

 

Allgemeine Form einer Geraden

\[y = mx + t\]

Punkt-Steigung-Form einer Geraden

\[y = m (x - x_{0}) + y_{0}\]

 

 

Beispielaufgabe

Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(2|3)\) und \(B(6|5)\). Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden \(g\) in der allgemeinen Form und in der Punkt-Steigung-Form. Berechnen Sie den Steigungswinkel \(\alpha\) der Geraden \(g\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden \(h\), welche im Punkt \(A\) senkrecht zur Geraden \(g\) verläuft.

 

Steigung \(m\) berechnen:

 

\[A(2|3)\,, \enspace B(6|5)\]

\[m =\frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} = \frac{5 - 3}{6 - 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]

 

Geradengleichung von \(g\) in der allgemeinen Form:

 

\[\begin{align*} g \colon y &= mx + t \\[0.8em] y &= \frac{1}{2}x + t \\[0.8em] \end{align*}\]

\[\begin{align*}A \in g \colon 3 &= \frac{1}{2} \cdot 2 + t \\[0.8em] 3 &= 1 + t & &| -1 \\[0.8em] 2 &= t  \end{align*}\]

\[\Longrightarrow \quad g \colon y = \frac{1}{2}x + 2\]

 

Geradengleichung von \(g\) in der Punkt-Steigungs-Form:

 

\[A(2|3)\,, \enspace B(6|5)\,, \enspace m = \dfrac{1}{2}\]

 

Da zwei Punkte auf der Geraden \(g\) bekannt sind, gibt es zwei Möglichkeiten, eine Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form anzugeben.

 

\[\begin{align*} g \colon y &= m(x - x_{A}) + y_{A} \\[0.8em] y &= \frac{1}{2} (x - 2) + 3 \end{align*}\]

\[\begin{align*} g \colon y &= m(x - x_{B}) + y_{B} \\[0.8em] y &= \frac{1}{2} (x - 6) + 5 \end{align*}\]

 

Steigungswinkel \(\alpha\) der Geraden \(g\):

 

\[\begin{align*} \tan{\alpha} &= m \\[0.8em] \tan{\alpha} &= \frac{1}{2} & &| \; \tan^{-1}(\dots) \; \text{(TR: SHIFT + tan)} \\[3.2em] \alpha &\approx 26{,}57^{\circ} \end{align*}\]

 

Gleichung der Geraden \(h\):

 

\[h \perp g\,, \enspace A(2|3) \in h\,, \enspace m_{g} = \dfrac{1}{2}\]

 

\[\begin{align*} m_{g} \cdot m_{h} &= -1 & &| : m_{g} \\[0.8em] m_{h} &= -\frac{1}{m_{g}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{\frac{1}{2}} \\[0.8em] &= -2 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}h \colon y &= m_{h}x + t \\[0.8em] y &= -2x + t \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}A \in h \colon 3 &= -2 \cdot 2 + t \\[0.8em] 3 &= -4 + t & &| + 4 \\[0.8em] 7 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad h \colon y = -2x + 7\]

 

Gerade g mit Steigungswinkel α und senkrechte Gerade h

Gerdade \(g\) mit Steigungswinkel \(\alpha\) und senkrechte Gerade \(h\)