1.1.3 Ganzrationale Funktion

Eine Funktion \(f\) mit \(f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \textstyle{\dots} + a_{1}x + a_{0}\) und \(n \in \mathbb N_{0}\) sowie den Koeffizienten \(a_{i} \in \mathbb R, a_{n} \neq 0\) heißt ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion vom Grad \(n\).

Definitionsmenge: \(D_{f} = \mathbb R\)

Ganzrationale Funktionen vom Grad 0 sind konstante Funktionen (z.B. \(f(x) = 3\)).

Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 sind lineare Funktionen (z.B. \(f(x) = 2x + 3\), vgl. 1.1.1 Lineare Funktion).

Ganzrationale Funktionen vom Grad 2 sind quadratische Funktionen (z.B. \(3x^{2} - 4x + 5\), vgl. 1.1.2 Quadratische Funktion).

Zu den ganzrationalen Funktionen gehören auch die Potenzfunktionen mit \(f(x) = x^{n}\) und \(n \in \mathbb N\).

 

Nullstellen einer ganzrationalen Funktion

Die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion höheren Grades lassen sich häufig nur noch näherungsweise oder durch Probieren ermitteln.

Nullstelle durch Probieren finden: Sind alle Koeffizienten \(a_{n} \dots a_{0}\) einer ganzrationalen Funktion ganzzahlig, kommen als ganzzahlige Nullstellen nur Teiler von \(a_{0}\) in Frage.

Eine ganzrationale Funktion von Grad \(\boldsymbol{n}\) besitzt höchstens \(\boldsymbol{n}\) Nullstellen. Sie kann auch keine Nullstelle oder eine Nullstelle vielfach (doppelt, dreifach ...) besitzen.

 

Vielfachheit von Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Ganzrationale Funktion vom Grad 1, Lineare Funktion f(x) = x - 2 mit einfacher Nullstelle

Einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel

Ganzrationale Funktion vom Grad 2, quadratische Funktion g(x) = (x - 2)² mit doppelter Nullstelle

Doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

Ganzrationale Funktion vom Grad 3, Kubische Funktion h(x) = (x - 2)³ mit dreifacher Nullstelle

Dreifache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel

Ganzrationale Funktion vom Grad 4 k(x) = (x - 2)⁴ mit vierfacher Nullstelle

Vierfache Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel

Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 6 mit einer einfachen, einer doppelten und einer dreifachen Nullstelle

Graph der ganzrationalen Funktion \(f\colon x \mapsto 0{,}1(x - 1)(x - 3)^{3}(x - 6)^{2}\) mit der einfachen Nullstelle \(x = 1\), der dreifachen Nullstelle \(x = 3\) und der doppelten Nullstelle \(x = 6\)

 

Nullstellen ungerader Ordnung

Eine ganzrationale Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x_{0}\) eine Nullstelle ungerader Ordnung, wenn der zugehörige Linearfaktor \(x - x_{0}\) der Funktion \(\) in ungerader Potenz auftritt. Der Graph von \(f\) weist dann an der Nullstelle \(x_{0}\) einen Vorzeichenwechsel auf.

Nullstellen gerader Ordnung

Eine ganzrationale Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x_{0}\) eine Nullstelle gerader Ordnung, wenn der zugehörige Linearfaktor \(x - x_{0}\) der Funktion \(\) in gerader Potenz auftritt. Der Graph von \(f\) weist dann an der Nullstelle \(x_{0}\) keinen Vorzeichenwechsel auf.

 

Produktform und Linearfaktoren einer ganzrationalen Funktion

Sind die Nullstellen \(x_{1}, x_{2} ..., x_{n}\) einer ganzrationalen Funktion bekannt, lässt sich diese als Produkt ihrer Linearfaktoren \(x - x_{1}, x - x_{2}, \dots, x - x_{n}\) darstellen.

 

Produktform einer ganzrationalen Funktion 

\[\begin{align*} f(x) &= a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \textstyle{\dots} + a_{1}x + a_{0} \\[0.8em] &= a_{n}(x - x_{1})(x - x_{2}) \dots (x - x_{n})\end{align*}\]

 

\(x_{1}, x_{2}, \textstyle{\dots}, x_{n}\): Nullstellen von \(f\)

\((x - x_{1}), (x - x_{2}), \textstyle{\dots}, (x - x_{n})\): Linearfaktoren von \(f\)

 

 

Symmetrieverhalten ganzrationaler Funktionen

Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\colon x \mapsto a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \textstyle{\dots} + a_{1}x + a_{0}\) ist

achsensymmetrisch zur \(\boldsymbol{y}\)-Achse, wenn der Funktionsterm nur gerade Potenzen enthält. Das konstante Glied \(\boldsymbol{a_{0}}\) darf enthalten sein.

punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm nur ungerade Potenzen enthält. Das konstante Glied \(\boldsymbol{a_{0}}\) darf nicht enthalten sein.

 

Der Graph der ganzrationalen Funktion f:x ↦ 4x⁶ - 10x⁴ +5x² -0,5 ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f\colon x \mapsto 4x^{6} - 10 x^{4} + 5x^{2} -0{,}5\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

Der Graph der ganzrationalen Funktion f:x ↦ 4x⁵ - 10x³ + 5x ist punktsymmetrisch zum Ursprung

Der Graph der ganzrationalen Funktion \(f\colon x \mapsto 4x^{5} - 10x^{3} + 5x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

 

Verhalten für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\)

Bei einer ganzrationalen Funktion \(f\colon x \mapsto a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \textstyle{\dots} + a_{1}x + a_{0}\) bestimmt der Term \(a_{n}x^{n}\) das Verhalten des Graphen von \(f\) im Unendlichen.

 

\[\lim \limits_{x \,\to\,-\infty} a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \textstyle{\dots} + a_{1}x + a_{0} = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} a_{n}x^{n}\]

bzw.

\[\lim \limits_{x \,\to\,+\infty} a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \textstyle{\dots} + a_{1}x + a_{0} = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} a_{n}x^{n}\]

 

Beispielaufgabe

Bestimmen Sie Lage und Art aller Nullstellen der Funktion \(f\colon x \mapsto x^{3} - 6x^{2} + 9x\) und geben Sie den Funktionsterm \(f(x)\) in der vollständig faktorisierten Form an. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion \(f\) sowie das Verhalten für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\).

 

\[f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x\,; \enspace D_{f} = \mathbb R\]

 

Nullstellen der Funktion \(f\):

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] x^{3} - 6x^{2} + 9x &= 0 & &| \;\text{Faktor}\;x\;\text{ausklammern} \\[0.8em] x \left( x^{2} - 6x + 9 \right) &= 0 \end{align*}\]

 

Ein Produkt ist dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[x = 0 \quad \vee \quad x^{2} - 6x + 9 = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad x_{1} = 0\) ist einfache Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel).

 

\[\begin{align*} \underbrace{x^{2} - 6x + 9}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}\,=\,(a\,-\,b)^{2}} &= 0 & &| \;\text{2. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] (x - 3)^{2} &= 0 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad x_{2} = 3\) ist doppelte Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel).

 

Funktionsterm \(f(x)\) in vollständig faktorisierter Form:

 

\[f(x) = x(x - 3)^{2}\]

 

Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion \(f\):

Da der Funktionsterm \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x\) sowohl gerade als auch ungerade Potenzen enthält, ist der Graph der Funktion \(f\) weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Als Alternative kann auch \(f(-x)\) untersucht werden (vgl. 1.1.9 Symmetrieverhalten).

 

\[\begin{align*}f(-x) &= (-x)^{3} - 6 \cdot (-x)^{2} + 9 \cdot (-x) \\[0.8em] &= -x^{3} - 6x^{2} - 9x \\[0.8em] &= -\left( x^{3} + 6x^{2} + 9x \right)\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(-x) \neq f(x)\,; \enspace f(-x) \neq -f(x)\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Graph der Funktion \(f\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

 

Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\):

 

\[f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x\]

 

Die höchste Potenz, der Term \(x^{3}\), bestimmt das Verhalten des Graphen von \(f\) im Unendlichen.

 

\[\lim \limits_{x\, \to\,-\infty } x^{3} -6x^{2} + 9x = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} x^{3} = -\infty\]

\[\lim \limits_{x\, \to\,+\infty } x^{3} -6x^{2} + 9x = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} x^{3} = +\infty\]

 

Graph der tanzrationalen Funktion f: x ↦ x³ - 6x² + 9x

Graph der ganzrationalen Funktion \(f\colon x \mapsto x^{3} - 6x^{2} + 9x\) mit einfacher Nullstelle \(x_{1} = 0\) und doppelter Nullstelle \(x_{2} = 3\)