1.1.7 Entwicklung von Funktionen

Verschieben von Funktionsgraphen

 

Verschiebung in \(y\)-Richtung

Der Graph der Funktion \(g\) mit \(g(x) = f(x) + b\) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \(f\) um \(b\) in \(y\)-Richtung.

 

Verschiebung um \(\boldsymbol{b}\) in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung

\[g(x) = f(x) + b\]

 

Verschiebung von Funktionsgraphen in y-Richtung am Beispiel der natürlichen Exponentialfunktion

Der Graph der Funktion \(g\) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \(f\) um \(+2\) in \(y\)-Richtung.

Der Graph der Funktion \(h\) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \(f\) um \(-2\) in \(y\)-Richtung.

 

Verschiebung in \(x\)-Richtung

Der Graph der Funktion \(g\) mit \(g(x) = f(x + a)\) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \(f\) um \(-a\) in \(x\)-Richtung.

 

Verschiebung um \(\boldsymbol{-a}\) in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung

\[g(x) = f(x + a)\]

 

Verschiebung von Funktionsgraphen in x-Richtung am Beispiel der Natürlichen Exponentialfunktion

Der Graph der Funktion \(g\) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \(f\) um \(-2\) in \(x\)-Richtung.

Der Graph der Funktion \(h\) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \(f\) um \(+2\) in \(x\)-Richtung.

 

Strecken/Stauchen von Funktionsgraphen

 

Streckung/Stauchung in \(y\)-Richtung

Der Graph der Funktion \(g\) mit \(g(x) = k \cdot f(x)\) entsteht durch Streckung bzw. Stauchung des Graphen der Funktion \(f\) um den Faktor \(k\) in \(y\)-Richtung. Dabei bewirkt \(k > 0\) eine Streckung und \(0 < k < 1\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung.

 

Streckung/Stauchung um \(\boldsymbol{k}\) in \(\boldsymbol{y}\)-Richtung

\[g(x) = k \cdot f(x)\]

\(k > 0\): Streckung

\(0 < k < 1\): Stauchung

 

Streckung von Funktionsgraphen in y-Richtung am Beispiel der Sinusfunktion

Der Graph der Funktion \(g\) entsteht durch Streckung des Graphen der Funktion \(f\) um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung.

Der Graph der Funktion \(h\) entsteht durch Streckung des Graphen der Funktion \(f\) um den Faktor \(\frac{1}{2}\) in \(y\)-Richtung (entspricht einer Stauchung um den Faktor \(2\)).

 

Streckung/Stauchung in \(x\)-Richtung

Der Graph der Funktion \(g\) mit \(g(x) = f(k \cdot x)\) entsteht durch Streckung bzw. Stauchung des Graphen der Funktion \(f\) um den Faktor \(\frac{1}{k}\) in \(x\)-Richtung. Dabei bewirkt \(k > 0\) eine Stauchung und \(0 < k < 1\) eine Streckung in \(x\)-Richtung.

 

Streckung/Stauchung um \(\boldsymbol{\frac{1}{k}}\) in \(\boldsymbol{x}\)-Richtung

\[g(x) = f(k \cdot x)\]

\(k > 0\): Stauchung

\(0 < k < 1\): Streckung

 

Streckung von Funktionsgraphen in x-Richtung am Beispiel der Sinusfunktion

Der Graph der Funktion \(g\) entsteht durch Streckung des Graphen der Funktion \(f\) um den Faktor \(\frac{1}{2}\) in \(x\)-Richtung (entspricht einer Stauchung um den Faktor \(2\)).

Der Graph der Funktion \(h\) entsteht durch Streckung des Graphen der Funktion \(f\) um den Faktor \(2\) in \(x\)-Richtung.

 

Spiegeln von Funktionsgraphen an den Koordinatenachsen

 

Spiegelung an der \(x\)-Achse

Der Graph der Funktion \(g\) mit \(g(x) = -f(x)\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(f\) an der \(x\)-Achse.

 

Spiegelung an der \(\boldsymbol{x}\)-Achse

\[g(x) = -f(x)\]

 

Spiegelung von Funktionsgraphen an der x-Achse am Beispiel der Wurzelfunktion

Der Graph der Funktion \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(f\) an der \(x\)-Achse.

 

Spiegelung an der \(y\)-Achse

Der Graph der Funktion \(g\) mit \(g(x) = f(-x)\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(f\) an der \(y\)-Achse.

 

Spiegelung an der \(\boldsymbol{y}\)-Achse

\[g(x) = f(-x)\]

 

Spiegelung von Funktionsgraphen an der y-Achse am Beispiel der Wurzelfunktion

Der Graph der Funktion \(g\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(f\) an der \(y\)-Achse.

 

Beispielaufgabe

Beschreiben Sie schrittweise, wie der Graph der Funktion \(h\colon x \mapsto 0{,}5e^{\frac{x}{2}- 1} - 3\) aus dem Graphen der Funktion \(f\colon x \mapsto e^{x}\) entsteht.

 

\[f(x) = e^{x}\,; \quad h(x) = 0{,}5e^{\frac{x}{2}- 1} - 3\]

 

1. Streckung in \(y\)-Richtung um den Faktor \(0{,}5\) (entspricht einer Stauchung um den Faktor \(2\))

 

\[\Longrightarrow \quad f_{1}(x) = 0{,}5f(x) = 0{,}5e^{x}\]

 

2. Streckung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(2\)

 

\[\Longrightarrow \quad f_{2}(x) = f_{1}(\textstyle{\frac{1}{2}}x) = 0{,}5e^{\frac{x}{2}} \]

 

3. Verschiebung um \(-3\) in \(y\)-Richtung

 

\[\Longrightarrow \quad f_{3}(x) = f_{2}(x) - 3 = 0{,}5e^{\frac{x}{2}} - 3\]

 

4. Verschiebung um \(2\) in \(x\)-Richtung

 

\[\Longrightarrow \quad f_{4}(x) = f_{3}(x - 2) = 0{,}5e^{\frac{x - 2}{2}} - 3 = 0{,}5e^{\frac{x}{2} - 1} - 3 = h(x)\]

 

Entstehung des Graphen der Funktion h aus dem Graphen der Funktion f

Entstehung des Graphen der Funktion \(h\colon x \mapsto 0{,}5e^{\frac{x}{2}- 1} - 3\) aus dem Graphen der Funktion \(f\colon x \mapsto e^{x}\)