1.1.8 Schnittstellen mit den Koordinatenachsen

Schnittstellen mit der \(x\)-Achse - Nullstellen

Für die Berechnung der Nullstelle(n) \(x_{i}\) einer Funktion \(f\) wird der Funktionsterm \(f(x)\) gleich Null gesetzt.

 

\[f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad N(x_{i}|0)\]

 

Nullstelle(n) einer Produktfunktion

Eine Produktfunktion \(f\) mit \(f(x) = p(x) \cdot q(x)\) ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren \(p(x)\) oder \(q(x)\) gleich Null ist (gilt analog für mehr als zwei Faktoren).

 

\[f(x) = p(x) \cdot q(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad p(x) = 0 \enspace \vee \enspace q(x) = 0\]

 

Schnittstelle mit der \(y\)-Achse

Für die Bestimmung der Schnittstelle des Graphen einer Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse wird der Funktionswert \(f(0)\) berechnet.

 

\(f(0)\) berechnen \(\quad \Longrightarrow \quad S_{y}(0|f(0))\)

 

Beispielaufgabe

Gegeben sei die Funktion \(f\colon x \mapsto 0{,}1(x^{2} - 4)(e^{x} + 1)(\ln x - 1)\left(\frac{1}{x} - 2 \right)\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{f}\). Geben Sie \(D_{f}\) an und bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion \(f\).

 

\[f(x) = 0{,}1(x^{2} - 4)(e^{x} + 1)(\ln x - 1)\left(\frac{1}{x} - 2 \right)\]

 

Maximale Definitionsmenge \(D_{f}\):

Die Logarithmusfunktion schränkt den Definitionsbereich ein. Die (natürliche) Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln x\) ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R^{+}\]

 

Nullstellen der Funktion \(f\):

Die Funktion \(f\) ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren der Funktion \(f\) gleich Null ist.

 

\[f(x) = 0{,}1(x^{2} - 4)(\underbrace{e^{x} + 1}_{> \, 0})(\ln x - 1)\left(\frac{1}{x} - 2 \right)\]

 

\[\begin{align*} f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad & & x^{2} - 4 &= 0 \\[0.8em]  &\vee & \ln x - 1 &= 0 \\[0.8em]  &\vee & \frac{1}{x} - 2 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}x^{2} - 4 &= 0 & &| + 4 \\[0.8em] x^{2} &= 4 & &| \; \sqrt{\enspace} \enspace (D_{f} = \mathbb R^{+}) \\[0.8em] x &= 2\end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \ln x - 1 &= 0 & &| + 1 \\[0.8em] \ln x &= 1 & &| \; \log_{a}a = 1 \\[0.8em] x &= e \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \frac{1}{x} - 2 &= 0 & &| + 2 \\[0.8em] \frac{1}{x} &= 2 & &| \cdot x \\[0.8em] 1 &= 2x & &| : 2 \\[0.8em] 0{,}5 &= x \end{align*}\]

 

Die Nullstellen der Funktion \(f\) sind: \(x_{1} = 0{,}5\), \(x_{2} = 2\) und \(x_{3} = e\).

 

Graph der Funktion f mit Nullstellen

Graph der Funktion \(f\colon x \mapsto 0{,}1(x^{2} - 4)(e^{x} + 1)(\ln x - 1)\left(\frac{1}{x} - 2 \right)\) mit Nullstellen \(x_{1} = 0{,}5\), \(x_{2} = 2\) und \(x_{3} = e\)