1.1.9 Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Achsensymmetrie bzgl. der \(y\)-Achse

Der Graph einer Funktion \(f\) verläuft achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, wenn \(f(-x) = f(x)\) gilt.

 

Achsensymmetrie von \(\boldsymbol{G_{f}}\) bzgl. der \(\boldsymbol{y}\)-Achse

\[f(-x) = f(x)\]

 

Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse am Beispiel der Normalparabel der quadratischen Funktion x ↦ x²

Normalparabel der Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2}\)

 

Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs \(O(0|0)\)

Der Graph einer Funktion \(f\) verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn \(f(-x) = -f(x)\) gilt.

 

Punktsymmetrie von \(\boldsymbol{G_{f}}\) bzgl. des Koordinatenursprungs \(\boldsymbol{O(0|0)}\)

\[f(-x) = -f(x)\]

 

Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs am Beispiel des Graphen der kubischen Funktion x ↦ x³

Graph der kubischen Funktion \(f\colon x \mapsto x^{3}\)

 

Beispielaufgabe

Gegeben sei die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin x\). Überprüfen Sie rechnerisch das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion \(f\) bzgl. des Koordinatensystems.

 

\[f(x) = x^{2} \cdot \sin x; \; D = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*}f(-x) &= (-x)^{2} \cdot \sin {(-x)} & &| \; \sin {(-x)} = - \sin x \\[0.8em] &= -x^{2} \cdot \sin x \\[0.8em] &= -f(x) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Graph der Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

 

Graph der Funktion f:x ↦ x²・sin x

Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2} \cdot \sin x\)