1.2.1 Nullstellen und Polstellen

Eine Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{z(x)}{n(x)}\), die sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen (Polynome) \(z(x)\) und \(n(x)\) darstellen lässt, heißt gebrochenrationale Funktion.

Gebrochenrationale Funktionen sind mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) in \(\mathbb R\) definiert.

 

\[f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = \frac{a_{m}x^{m} + a_{m - 1}x^{m - 1} + \dots + a_{1}x +a_{0}}{b_{n}x^{n} + b_{n - 1}x^{n - 1} + \dots + b_{1}x + b_{0}}\]

 

Nullstellen

Eine gebrochenrationale Funktion besitzt an den Stellen eine Nullstelle \(x_{0}\), an denen das Zählerpolynom \(z(x)\) gleich Null ist, und das Nennerpolynom \(n(x)\) ungleich Null ist.

 

\[f(x) = \frac{z(x)}{n(x)} = 0 \quad \Longrightarrow \quad z(x) = 0; \; n(x) \neq 0\]

 

Polstellen, Definitionslücken

Da die Division durch Null nicht erlaubt ist, ist eine gebrochenrationale Funktion an den Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) nicht definiert. Diese Nullstellen des Nennerpolynoms \(n(x)\) werden als Definitionslücken bezeichnet. Eine gebrochenrationale Funktion mit einem Nennerpolynom vom Grad \(n\) besitzt höchstens \(n\) Definitionslücken.

Eine Definitionslücke \(x_{0}\) (Nullstelle des Nennerpolynoms), die nicht zugleich Nullstelle des Zählerpolynoms \(z(x)\) ist heißt Polstelle. Eine Definitionslücke \(x_{0}\), die zugleich Nullstelle des Zählerpolynoms \(z(x)\) ist, wobei die Vielfachheit der Nullstelle des Zählerpolynoms \(z(x)\) kleiner ist als die Vielfachheit der Nullstelle des Nennerspolynoms \(n(x)\), heißt ebenfalls Polstelle.

Eine Definitionslücke \(x_{0}\), die zugleich Nullstelle des Zählerpolynoms \(z(x)\) ist, wobei die Vielfachheit der Nullstelle des Zählerpolynoms \(z(x)\) größer oder gleich der Vielfachheit der Nullstelle des Nennerpolynoms \(n(x)\) ist, heißt hebbare Definitionslücke. Die Definitionslücke kann durch Zusatzdefinition behoben werden. Andernfalls verbleibt ein Definitionsloch.

 

1. Beispiel:

 

\[f(x) = \frac{1}{x - 1}\]

 

Die Nullstelle \(x = 1\) des Nenners der gebrochenrationalen Funktion \(f\) ist nicht zugleich Nullstelle des Zählers. Die Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{1\}\]

 

Graph der gebrochenrationalen Funktion f mit Polstelle x = 1

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{x - 1}\) mit Polstelle \(x = 1\)

 

2.Beispiel:

 

\[g(x) = \frac{x^{2} - 4x + 3}{x^{2} - 2x + 1} = \frac{\cancel{(x - 1)}(x - 3)}{\cancel{(x - 1)}(x - 1)} = \frac{x - 3}{x - 1}\]

 

Die doppelte Nullstelle \(x = 1\) des Nenners der gebrochenrationalen Funktion \(g\) ist zugleich einfache Nullstelle des Zählers. Nach dem Kürzen des Faktors \((x - 1)\,, \; x \neq 1\) bleibt die nun einfache Nullstelle \(x = 1\) des Nenners erhalten. Die Funktion \(g\) besitzt an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{1\}\]

 

Graph der gebrochenrationalen Funktion g mit Polstelle x = 1

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 4x + 3}{x^{2} - 2x + 1}\) mit Polstelle \(x = 1\)

 

3. Beispiel:

 

\[h(x) = \frac{x^{2} - x}{2x - 2} = \frac{x\cancel{(x - 1)}}{2\cancel{(x - 1)}} = \frac{1}{2}x\]

 

Die einfache Nullstelle \(x = 1\) des Nenners der Funktion \(h\) ist zugleich einfache Nullstelle des Zählers. Der Faktor \((x - 1)\,,\; x \neq 1\) lässt sich vollständig kürzen. Die Funktion \(h\) besitzt an der Stelle \(x = 1\) eine hebbare Definitionslücke. Sie kann durch die Zusatzdefinition \(h(1) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{2}\) behoben werden. Ohne Zusatzdefinition besitzt der Graph der Funktion \(h(x) = \dfrac{1}{2}x\) an der Stelle \(x = 1\) ein Definitionsloch.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{1\}\]

 

Graph der gebrochenrationalen Funktion h mit Definitionsloch an der Stelle x = 1

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(h \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - x}{2x - 2}\) mit Definitionsloch an der Stelle \(x = 1\)

 

Graph der Funktion h mit Zusatzdefinition h(1) = 0,5

Graph der Funktion \(h \colon x \mapsto \begin{cases} \dfrac{x^{2} - x}{2x - 2} & \text{für} & x \in \mathbb R \backslash \{1\} \\[0.8em] \dfrac{1}{2} & \text{für} & x = 1 \end{cases}\)

 

Die Zusatzdefinition \(h(1) = \dfrac{1}{2}\) behebt die Definitionslücke bzw. das Definitionsloch an der Stelle \(x = 1\) vollständig. Der Graph der Funktion \(h\) verhält sich wie der Graph der linearen Funktion \(x \mapsto \dfrac{1}{2}x\).

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R\]

 

Bestimmung der Null- und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion

Bei gebrochenzrationalen Funktionen mit Zähler- bzw. Nennerpolynom ab dem Grad 2 empfiehlt sich folgende Vorgehensweise: 

1. Zählerpolynom und Nennerpolynom in Linearfaktoren zerlegen und soweit möglich gemeinsame Faktoren kürzen (vgl. 1.1.3 ganzrationale Funktion, Produktform und Linearfaktoren).

2. Die im Zähler verbleibenden Linearfaktoren liefern die Nullstellen, die im Nenner verbleibenden Linearfaktoren liefern die Polstellen der gebrochenrationalen Funktion

 

Beispieaufgabe

Gegeben sei die gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} + x}{x^{3} + 2x^{2} - 8x}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Bestimmen Sie \(D_{f}\) sowie die Nullstellen von \(f\).

 

\[f(x) = \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 2x^{2} - 8x}\]

 

Zähler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren zerlegen:

 

\[\begin{align*}f(x) &= \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 2x^{2} - 8x} & &| \; \text{Faktor}\; x \; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= \frac{x(x + 1)}{x(x^{2} + 2x - 8)} \end{align*}\]

 

Um den Nennerterm \(x^{2} + 2x - 8\) in seine Linearfaktoren zu zerlegen, ermittelt man zunächst dessen Nullstellen, d.h. die Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^{2} + 2x - 8 = 0\) (vgl. 1.1.2 Quadratische Funktion, Nullstellen einer quadratischen Funktion).

 

\[\begin{align*}x_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \\[0.8em] &= \frac{-2 \pm 6}{2} \end{align*}\]

 

\[x_{1} = -4; \; x_{2} = 2\]

 

\[\Longrightarrow \quad x^{2} + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)\]

 

Damit lässt sich die gebrochenrationale Funktion \(f\) in der vollständig faktorisierten Form angeben:

 

\[f(x) = \frac{x(x + 1)}{x(x + 4)(x - 2)}\]

 

Unter der Bedingung \(x \neq 0\) kann der Faktor \(x\) gekürzt werden. Die gebrochenrationale Funktion \(f\) hat somit an der Stelle \(x = 0\) eine hebbare Definitionslücke. Der Graph der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) ein Definitionsloch.

 

\[\begin{align*}f(x) &= \frac{\cancel{x}(x + 1)}{\cancel{x}(x + 4)(x - 2)} & &| \;x \neq 0 \\[0.8em] &= \frac{x + 1}{(x + 4)(x - 2)} \end{align*}\]

 

Die im Nenner verbleibenden Linearfaktoren \((x + 4)\) und \((x - 2)\) liefern die Polstellen \(x = -4\) und \(x = 2\).

 

Definitionsmenge \(D_{f}\):

 

Die gebrochenrationale Funktion \(f\) ist mit Ausnahme der Polstellen \(x = -4\) und \(x = 2\) sowie der hebbaren Definitionslücke \(x = 0\) (Definitionsloch) in \(\mathbb R\) definiert. 

 

\[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-4;0;2\}\]

 

Nullstelle von \(f\):

 

\[\begin{align*}f(x) = \frac{x + 1}{(x + 4)(x - 2)} \quad \Longrightarrow \quad x + 1 &= 0 & &| - 1 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\]

 

Graph der gebrochenrationalen Funktion f mit den Polstellen x = -4 und x = 2 sowie dem Definitionsloch an der Stelle x = 0

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} + x}{x^{3} + 2x^{2} - 8x}\) mit den Polstellen \(x = -4\) und \(x = 2\) sowie dem Definitionsloch an der Stelle \(x = 0\)