1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Die Exponentialfunktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\) heißt Natürliche Exponentialfunktion Dabei ist \(e\) die durch den Grenzwert \(e = \lim \limits_{n \, \to \, \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = 2{,}718281 \dots\) definierte Eulersche Zahl. Die Natürliche Exponentialfunktion wird auch als \(e\)-Funktion bezeichnet.

Die Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln x\) heißt Natürliche Logarithmusfunktion. Dabei bezeichnet \(\ln\) den Logarithmus zur Basis \(e\) (\(\ln x = \log_{e} x\)).

 

Eigenschaften der Natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion

 

  Natürliche Exponentialfunktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\) Natürliche Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln x\)
Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R\) \(D_{f} = \mathbb R^{+}\)
Wertemenge
\(\begin{align*}&W_{f} = \mathbb R^{+} \\ &(e^{x} > 0 \; \text{für alle} \; x \in \mathbb R) \end{align*}\)
\(W_{f} = \mathbb R\)
Nullstelle Keine Nullstelle Einzige Nullstelle: \(x = 1\)
Asymptote \(x\)-Achse: \(y = 0\) \(y\)-Achse: \(x = 0\)
Wichtige Grenzwerte
\(\begin{align*}\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} e^{x} &= 0^{+} \\[0.8em] \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} e^{x} &= +\infty \end{align*}\)
\(\begin{align*}\lim \limits_{x \, \to \, 0^{+}} \ln x &= -\infty \\[0.8em] \lim \limits_{x \, \to \, +\infty} \ln x &= +\infty \end{align*}\)

 

Graph der Natürlichen Exponentialfunktion f:x ↦ eˣ

Graph der Natürlichen Exponentialfunktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\)

Graph der Natürlichen Logarithmusfunktion f:x ↦ ln x

Graph der Natürlichen Logarithmusfunktion \(f \colon x \mapsto \ln x\)

Die Natürliche Exponential- und die natürliche Logarithmusfunktion sind voneinander Umkehrfunktionen (vgl. 1.5.6 Umkehrfunktion).

 

Rechenregeln

Es gelten Folgende Rechenregeln:

 

\[\begin{align*}e^{0} &= 1 & & & \ln 1 &= 0 \\[0.8em] e^{1} &= e & & & \ln e &= 1 \\[0.8em] e^{\ln x} &= x & & & \ln{e^{x}} &= x \\[0.8em] \text{allg.:}\enspace a^{\log_{a}{x}} &= x & & & \log_{a}{a^{x}} &= x \quad (a > 0, \, a\neq 1) \end{align*}\]

 

Darüber hinaus finden die Rechenregeln für Potenzen und die Rechenregeln für Logarithmen Anwendung (vgl. Merkhilfe).

 

Rechenregeln für Potenzen

Für \(a, b \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und \(m, n \in \mathbb Z\) bzw. \(a, b \in \mathbb R^{+}\) und \(m, n \in \mathbb R\) gilt:

\(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\) \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}\) \(\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m \cdot n}\)
\(a^{m} \cdot b^{m} = (a \cdot b)^{m}\) \(\dfrac{a^{m}}{b^{m}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{m}\)  

 

Außerdem gilt:

\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\) für \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und \(n \in \mathbb N\)

\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}\) für \(a \in \mathbb R^{+}\) und \(m \in \mathbb Z, \, n \in \mathbb N\)

 

Rechenregeln für Logarithmen

Für \(a \in \mathbb R^{+}\) mit \(a \neq 1\) und \(b, c \in \mathbb R^{+}\) sowie \(n \in \mathbb R\) gilt:

\(\log_{a}(b \cdot c) = \log_{a}b + \log_{a}c\)
\(\log_{a}\left( \dfrac{b}{c}\right) = \log_{a}b - \log_{a}c\)
\(\log_{a}{b^{n}} = n \cdot \log_{a}b\)

 

Beispielaufgabe

Gegeben sei die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{f}\).

Bestimmen Sie \(D_{f}\) sowie die Nullstelle der Funktion \(f\). Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern ihres Definitionsbereichs \(D_{f}\)?

 

Maximale Definitionsmenge \(D_{f}\):

Die (Natürliche) Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert und schränkt damit die Definitionsmenge der Funktion \(f\) ein.

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad x + 3 &> 0 & &| - 3 \\[0.8em] x &> -3 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \; ]-3;+\infty[\]

 

Nullstelle der Funktion \(f\):

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)} &= 0 & &| \; a^{m} \cdot a^{n} = a^{m \cdot n} \\[0.8em] \frac{\ln{(x + 3)}}{e^{2x + 1}} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad \ln{(x + 3)} &= 0 & &| \; \ln 1 = 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad x + 3 &= 1 & &| - 3 \\[0.8em] x &= -2 \end{align*}\]

 

Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\):

 

\[D_{f} = \; ]-3;+\infty[\]

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} f(x) &= \lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} \frac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)} & &| \; \frac{1}{a^{n}} = a^{-n} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x \, \to \, -3^{+}} \underbrace{e^{-(2x + 1)}}_{\to \, e^{5}} \cdot \underbrace{\ln{(x + 3)}}_{\to \, -\infty} \\[0.8em] &= -\infty \end{align*}\]

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x) = \lim \limits_{x \, \to \, + \infty} \underbrace{\frac{1}{e^{2x + 1}}}_{\to \, 0} \cdot \underbrace{\ln{(x + 3)}}_{\to \, +\infty} = 0\]

 

Jede \(e\)-Funktion geht für \(x \to +\infty\) schneller gegen \(+\infty\) als jede (Natürliche) Logarithmusfunktion. Daher strebt der Term \(\dfrac{1}{e^{2x + 1}}\) schneller gegen Null als der Term \(\ln{(x + 3)}\) gegen \(+\infty\).

 

Graph der Funktion f

Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{e^{x} \cdot e^{x + 1}} \cdot \ln{(x + 3)}\)