1.5.2 Ableitungsregeln

Die Ableitungen der elementaren Funktionen lassen sich mithilfe des Differentialquotienten (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Differentialquotient) nachweisen.

 

Ableitung elementarer Grundfunktionen und Ableitungsregeln

 

Erste Ableitung elementarer Funktionen (vgl. Merkhilfe)
Funktion \(f(x)\) Ableitung \(f'(x)\)
Konstante Funktion \(c \quad (c \in \mathbb R)\) \(0\)
Potenzfunktion \(x^{r} \quad (r \in \mathbb R)\) \(r \cdot x^{r - 1}\)
Wurzelfunktion \(\sqrt{x}\) \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Trigonometrische Funktionen \(\sin{x}\) \(\cos{x}\)
\(\cos{x}\) \(-\sin{x}\)
\(\tan{x}\) \(\dfrac{1}{\cos^{2}{x}}\)
Exponentialfunktionen \(e^{x}\) \(e^{x}\)
\(a^{x}\) \((\ln{a}) \cdot a^{x}\)
Logarithmusfunktionen \(\ln{x}\) \(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_{a}(x)\) \(\dfrac{1}{(\ln{a}) \cdot x}\)

 

Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe)
Faktorregel \(\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#cc071e}{u(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= a \cdot \textcolor{#cc071e}{u'(x)}\end{align*}\)
Summenregel \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#cc071e}{u(x)} + \textcolor{#0087c1}{v(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#cc071e}{u'(x)} + \textcolor{#0087c1}{v'(x)}\end{align*}\)
Produktregel \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#cc071e}{u(x)} \cdot \textcolor{#0087c1}{v(x)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#cc071e}{u'(x)} \cdot \textcolor{#0087c1}{v(x)} + \textcolor{#cc071e}{u(x)} \cdot \textcolor{#0087c1}{v'(x)}\end{align*}\)
Quotientenregel \(\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#cc071e}{u(x)}}{\textcolor{#0087c1}{v(x)}} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#cc071e}{u'(x)} \cdot \textcolor{#0087c1}{v(x)} - \textcolor{#cc071e}{u(x)} \cdot \textcolor{#0087c1}{v'(x)}}{[\textcolor{#0087c1}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\)
Kettenregel \(\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#cc071e}{u(}\textcolor{#0087c1}{v(x)}\textcolor{#cc071e}{)} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad f'(x) &= \textcolor{#cc071e}{u'(}\textcolor{#0087c1}{v(x)}\textcolor{#cc071e}{)} \cdot \textcolor{#0087c1}{v'(x)}\end{align*}\)

Beispielaufgaben

 

1. Beispielaufgabe

Bestimmen Sie die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f \colon \mapsto \dfrac{1 - x^{2}}{2x^{2} - 1}\).

 

\[f(x) = \frac{1 - x^{2}}{2x^{2} - 1} = \frac{u(x)}{v(x)}\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird mithilfe der Quotientenregel bestimmt, wobei für die Ableitung des Zähler- bzw. Nennerterms die Faktorregel und die Summenregel, sowie die Ableitung einer konstanten Funktion und die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt wird.

\[\begin{align*} u(x) &= 1 - x^{2} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad u'(x) &= 0 - 2x \\[0.8em] &= -2x \end{align*}\]

\[\begin{align*} v(x) &= 2x^{2} - 1 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad v'(x) &= 2 \cdot 2x - 0 \\[0.8em] &= 4x \end{align*}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^{2}} \\[0.8em] &= \frac{-2x \cdot (2x^{2} - 1) - (1 - x^{2}) \cdot 4x}{(2x^{2} - 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{-4x^{3} + 2x - 4x + 4x^{3}}{(2x^{2} - 1)^{2}} \\[0.8em] &= -\frac{2x}{(2x^{2} - 1)^{2}} \end{align*}\]

 

2.Beispielaufgabe

Bestimmen Sie die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto x^{2} \cdot e^{4x - 1}\).

 

\[f(x) = x^{2} \cdot e^{4x - 1} = u(x) \cdot v(x)\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird mithilfe der Produktregel bestimmt, wobei auf den Faktor \(u(x) = x^{2}\) die Ableitung einer Potenzfunktion anzuwenden ist, und für den Faktor \(v(x) = e^{4x - 1}\) die Ableitung der \(e\)-Funktion sowie die Kettenregel benötigt wird.

\[\begin{align*} u(x) &= x^{2} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad u'(x) &= 2x \end{align*}\]

\[\begin{align*}v(x) &= e^{4x - 1} \\[0.8em] \Longrightarrow \quad v'(x) &= e^{4x - 1} \cdot (4 - 0) \\[0.8em] &= 4e^{4x - 1} \end{align*}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\[0.8em] &= 2x \cdot e^{4x - 1} + x^{2} \cdot 4e^{4x - 1} \\[0.8em] &= e^{4x - 1} \cdot (4x^{2} + 2x) \\[0.8em] &= 2x \cdot e^{4x - 1} \cdot (2x + 1) \end{align*}\]