1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte

Mithilfe der Ableitung lassen sich Funktionen auf bestimmte Eigenschaften hin untersuchen und der Verlauf von Funktionsgraphen beschreiben. Die erste Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der betrachteten Stelle an (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung). Die zweite Ableitung (die Ableitung von der ersten Ableitung), beschreibt die Änderung der Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion und damit das Krümmungsverhalten des Graphen (vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte).

 

Monotonieverhalten

Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion.

 

Eine Funktion \(f\) heißt in einem Intervall \(I\) des Definitionsbereichs \(D_{f}\) für alle \(x_{1}, x_{2} \in I\) mit \(x_{1} < x_{2}\)

monoton steigend, falls \(f(x_{1}) \leq f(x_{2})\)
streng monoton steigend, falls \(f(x_{1}) < f(x_{2})\)
monoton fallend, falls \(f(x_{1}) \geq f(x_{2})\)
streng monoton fallend, falls \(f(x_{1}) > f(x_{2})\)

gilt.

 

Graph einer streng monoton steigenden Funktion

Graph einer streng monoton steigenden Funktion

Graph einer streng monoton fallenden Funktion

Graph einer streng monoton fallenden Funktion

Da die erste Ableitung die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion angibt, lässt sich das Monotonieverhalten einer Funktion mithilfe der ersten Ableitung beschreiben.

 

Streng monoton steigende Funktion

Streng monoton steigende Funktion

Streng monoton fallende Funktion

Streng monoton fallende Funktion

 

Monotoniekriterium (vgl. Merkhilfe)

\(f'(x) < 0\) im Intervall \(I \quad\) \(\Longrightarrow \quad\) Der Graph \(G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \(I \quad\) \(\Longrightarrow \quad\) Der Graph \(G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

 

 

Extrem- und Terrassenpunkte

 

Extrempunkte und Terrassenpunkte mit waagrechter Tangente

An den Extremstellen und Terrassenstellen besitzt der Graph einer Funktion waagrechte Tangenten. Das bedeutet, dass die Steigung einer Tangente an einem Extrem- oder Terrassenpunkt den Wert Null annimmt. Da die erste Ableitung einer Funktion die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion beschreibt, gilt an einer Extrem- bzw. Terrassenstelle \(x_{0}\): \(f'(x_{0}) = 0\).

 

Notwendige Bedingung für Extremstellen einer Funktion \(f\)

\[f'(x_{0}) \overset{!}{=} 0\]

 

 

Diese Bedingung ist für die Existenz einer Extremstelle zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Denn in einem Extrempunkt verläuft die Tangente zwar stets waagrecht, doch ist nicht jeder Graphenpunkt mit waagrechter Tangente ein Extrempunkt. Es könnte auch ein Terrassenpunkt sein. Eine Hinreichende Bedingung für die Bestätigung und die Feststellung der Art eines Extrempunkts lässt sich mithilfe des Monotoniekriteriums formulieren.

 

Verhalten des Graphen einer Funktion in der Umgebung einer Extremsten und einer Terrassenstelle

In der Umgebung eines Hochpunkts wechselt die Monotonie des Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) von steigend (positive Tangentensteigung) nach fallend (negative Tangentensteigung). Folglich wechselt die erste Ableitung \(f'\) in der Umgebung eines Hochpunkts das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\).

In der Umgebung eines Tiefpunkts wechselt die Monotonie des Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) von fallend (negative Tangentensteigung) nach steigend (positive Tangentensteigung). Folglich wechselt die erste Ableitung \(f'\) in der Umgebung eines Tiefpunkts das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\).

In der Umgebung eines Terrassenpunkts ändert sich das Monotonieverhalten des Graph \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) nicht.

 

Art von Extrempunkten mithilfe des Monotoniekriteriums

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt (vgl. Merkhilfe).

\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x < x_{0} \\[0.8em] &f'(x_{0}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x > x_{0} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{relatives Minimum bei}\; x_{0}\]

\[\left. \begin{align*} &f'(x) > 0 \enspace \text{für} \enspace x < x_{0} \\[0.8em] &f'(x_{0}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) < 0 \enspace \text{für} \enspace x > x_{0} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{relatives Maximum bei}\; x_{0}\]

 

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle

 

  \(x < x_{0}\) \(x = x_{0}\) \(x > x_{0}\)
\(f'(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\searrow\) relatives Minimum \(\nearrow\)

 

  \(x < x_{0}\) \(x = x_{0}\) \(x > x_{0}\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(G_{f}\) \(\nearrow\) relatives Maximum \(\searrow\)

 

Die Art von Extrempunkten kann auch mit der zweiten Ableitung nachgewiesen werden, da die zweite Ableitung Auskunft über das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion an einer betrachteten Stelle gibt (vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte). Ist der Graph an der betrachteten Extremstelle linksgekrümmt, liegt ein relatives Minimum (Tiefpunkt) vor. Ist der Graph an der betrachteten Extremstelle rechtsgekrümmt, liegt ein relatives Maximum (Hochpunkt) vor.

 

Art von Extrempunkten mithilfe der zweiten Ableitung

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) > 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) < 0\), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) ein relatives Maximum (Hochpunkt).

 

 

Ergibt sich \(f'(x_{0}) = 0\) und \(f''(x_{0}) = 0\), so weist dies auf einen möglichen Terrassenpunkt hin. Ein Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit einer waagrechten Wendetangente. Ob tatsächlich ein Terrassenpunkt vorliegt muss durch einen Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung in der Umgebung von \(x_{0}\) nachgewiesen werden (vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte).

Eine Monotonietabelle bietet im Falle eines Terrassenpunkt also den Vorteil, dass dieser ohne weiteren Nachweis erkannt wird.

 

Randextrema

Der Nachweis von Extremwerten mithilfe der Ableitung setzt voraus, dass die Funktion an der betrachteten Stelle differenzierbar (ableitbar) ist (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Differenzierbarkeit). Ist eine Funktion nur auf einem Teilbereich von \(\mathbb R\) definiert, ist sie an den Ränder des Teilbereichs nicht differenzierbar. In diesem Fall können Randextrema vorliegen, welche separat untersucht werden müssen. Dies ist insbesondere bei Extremwertaufgaben (vgl. 1.5.7 Extremwertaufgaben) zu berücksichtigen.

 

Beispielaufgabe

Gegeben sei die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{40}x^{4} - \dfrac{1}{6}x^{3}\). Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) sowie die Art und die Lage der Punkte, in denen der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente besitzt.

 

\[f(x) = \frac{1}{40}x^{4} - \frac{1}{6}x^{3}\,; \enspace D_{f} = \mathbb R\]

 

Der Graph \(G_{f}\) der ganzrationalen Funktion \(f\) ändert das Monotonieverhalten an den Extremstellen. Die Punkte, in denen \(G_{f}\) eine waagrechte Tangente besitzt, sind Extrem- oder Terrassenpunkte.

 

1. Lösungsansatz: Anhand der Extremstellen auf das Monotonieverhalten schließen

 

Notwendige Bedingung für Extremstellen von \(f\):

 

\[f'(x) \overset{!}{=} 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Der Funktionsterm \(f(x)\) lässt sich mithilfe der Faktor-, Summen- und Potenzregel ableiten (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f(x) = \frac{1}{40}x^{4} - \frac{1}{6}x^{3}\]

 

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{40} \cdot 4 \cdot x^{3} -\frac{1}{6} \cdot 3 \cdot x^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{10}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{10}x^{2} \cdot (x - 5) \end{align*}\]

 

Nullstelle(n) von \(f'\) bestimmen:

 

\[\begin{align*}f'(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{1}{10}x^{2} \cdot (x - 5) &= 0 \end{align*}\]

 

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[\Longrightarrow \quad x = 0 \enspace \vee \enspace x = 5\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) besitzt für x = 0 eine doppelte Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel) und für \(x = 5\) eine einfache Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel) (vgl. 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen). Dies weist auf einen Terrassenpunkt an der Stelle \(x = 0\) und einen Extrempunkt an der Stelle \(x = 5\) hin.

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

 

\[f'(x) = \frac{1}{10}x^{2} \cdot (x - 5)\]

 

  \(x < 0\) \(x = 0\) \(0 < x < 5\) \(x = 5\) \(x > 5\)
\(f'(x)\) \(-\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\searrow\) Terrassenpunkt \(\searrow\) relatives Minimum \(\nearrow\)

 

Montonieverhalten:

Das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) kann der Monotonietabelle entnommen werden.

 

\(G_{f}\) ist für \(x \in \; ]-\infty;5[\) streng monoton fallend und für \(x \in \; ]5;+\infty[\) streng monoton steigend.

 

Lage des Terrassenpunkts und des relativen Minimums (Tiefpunkt):

 

\[f(x) = \frac{1}{40}x^{4} - \frac{1}{6}x^{3}\]

 

\[f(0) = \frac{1}{40} \cdot 0^{4} - \frac{1}{6} \cdot 0^{3} = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Terrassenpunkt \(TeP\,(0|0)\)

 

\[f(5) = \frac{1}{40} \cdot 5^{4} - \frac{1}{6} \cdot 5^{3} = \frac{625}{40} - \frac{125}{6} = -\frac{125}{24} \approx -5{,}21\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Tiefpunkt \(TiP\,(5|-5{,}21)\)

 

Art der Extremwerte mithilfe der zweiten Ableitung:

 

\[f'(x) = \frac{1}{10}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2}\]

 

Nullstellen von \(f'\): \(x = 0\) und \(x = 5\) (mögliche Extremstellen, siehe oben)

 

Zweite Ableitung \(f''\) bilden:

 

Der Funktionsterm \(f'(x)\) lässt sich mithilfe der Faktor-, Summen- und Potenzregel ableiten (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[\begin{align*}f''(x) &= \frac{1}{10} \cdot 3 \cdot x^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x \\[0.8em] &= \frac{3}{10}x^{2} - x \end{align*}\]

 

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung an einer möglichen Extremstelle legt die Art der Extremstelle fest.

 

\[f''(0) = \frac{3}{10} \cdot 0^{2} - 0 = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Hinweis auf einen Terrassenpunkt.

 

Der Nachweis des Terrassenpunkts muss separat mithilfe des Vorzeichenwechsels der zweiten Ableitung erfolgen (vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte), oder durch Untersuchung des Monotonieverhaltens in der Umgebung des möglichen Terrassenpunkts (vgl. Monotonietabelle).

 

\[f''(5) = \frac{3}{10} \cdot 5^{2} - 5 = \frac{75}{10} - 5 = 2{,}5\]

 

\(\Longrightarrow \quad f''(5) > 0 \quad \Longrightarrow \quad\)Tiefpunkt \(TiP\,(5|f(5))\)

 

2. Lösungsansatz: Anhand des Monotonieverhaltens auf Extrem- bzw. Terrassenpunkte schließen

 

Gemäß dem Monotoniekriterium werden die beiden Fälle \(f'(x) < 0\) und \(f'(x) > 0\) betrachtet.

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

 

Der Funktionsterm \(f(x)\) lässt sich mithilfe der Faktor-, Summen- und Potenzielle ableiten (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f(x) = \frac{1}{40}x^{4} - \frac{1}{6}x^{3}\]

 

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{40} \cdot 4 \cdot x^{3} -\frac{1}{6} \cdot 3 \cdot x^{2} \\[0.8em] &= \frac{1}{10}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} \\[0.8em] &= \underbrace{\frac{1}{10}x^{2}}_{>\,0} \cdot (x - 5) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}f'(x) < 0 \quad \Longrightarrow \quad x - 5 &< 0 & &| + 5 \\[0.8em] x &< 5 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x \in \: ]-\infty;5[\) streng monoton fallend.

 

\[\begin{align*}f'(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad x - 5 &> 0 & &| + 5 \\[0.8em] x &> 5 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x \in \: ]5;+\infty[\) streng monoton steigend.

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) besitzt an der Stelle \(x = 5\) ein relatives Minimum (Tiefpunkt).

 

Am Fuktionsterm \(f'(x) = \dfrac{1}{10}x^{2} \cdot (x - 5)\) ist ersichtlich, dass \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) eine Nullstelle hat. Da \(f'\) für \(x \in \;]-\infty;5[\) streng monoton fällt, muss \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 0\) einen Terrassenpunkt haben.

 

Lage des Terrassenpunkts und des relativen Minimums (Tiefpunkt):

 

\[f(x) = \frac{1}{40}x^{4} - \frac{1}{6}x^{3}\]

 

\[f(0) = \frac{1}{40} \cdot 0^{4} - \frac{1}{6} \cdot 0^{3} = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Terrassenpunkt \(TeP\,(0|0)\)

 

\[f(5) = \frac{1}{40} \cdot 5^{4} - \frac{1}{6} \cdot 5^{3} = \frac{625}{40} - \frac{125}{6} = -\frac{125}{24} \approx -5{,}21\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Tiefpunkt \(TiP\,(5|-5{,}21)\)

 

Verlauf des Graphen der Funktion f und des Graphen der Ableitung f', Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunk

Verlauf des Graphen der Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{40}x^{4} - \dfrac{1}{6}x^{3}\) und des Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\)