1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen

Schnittwinkel zweier Funktionsgraphen

Schneiden sich die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) zweier Funktionen \(f\) und \(g\) an einer Stelle \(x_{0}\) in einem Schnittpunkt \(S\), so wird der spitze Winkel, unter dem sich die Tangente \(T_{f}\) im Punkt \(S\) an \(G_{f}\) und die Tangente \(T_{g}\) im Punkt \(S\) an \(G_{g}\) schneiden, als Schnittwinkel \(\varphi\) der Funktionsgraphen bezeichnet.

 

Schnittwinkel φ zweier sich im Punkt S schneidenden Graphen der Funktionen f und g

Schnittwinkel \(\varphi\) zweier sich im Schnittpunkt \(S\) schneidenden Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\)

 

Der Schnittwinkel \(\varphi\) lässt sich mithilfe der Steigungen \(m_{T_{f}}\) und \(m_{T_{g}}\) der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) bestimmen, indem der Zusammenhang zwischen den Tangentensteigungen und den Steigungswinkeln der Tangenten betrachtet wird.

Der Steigungswinkel einer Geraden ist der in mathematisch positivem Sinn (gegen den Uhrzeigersinn) gemessenen Winkel, den die Gerade mit der positiven \(x\)-Achse einschließt.

Für den Steigungswinkel \(\alpha\) einer Geraden mit der Steigung \(m\) gilt (vgl. 1.1.1 Lineare Funktion, Steigung und Steigungswinkel einer Geraden):

 

\[\tan{\alpha} = m; \enspace \alpha \neq 90^{\circ}\]

 

Für die Steigungswinkel \(\alpha_{1}\) und \(\alpha_{2}\) der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) mit den Steigungen \(m_{T_{f}}\) und \(m_{T_{g}}\) gilt analog:

 

\[\tan{\alpha_{1}} = m_{T_{f}}\]

\[\tan{\alpha_{2}} = m_{T_{g}}\]

 

Da die erste Ableitung der Funktionen \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x_{0}\) des Schnittpunkts \(S\) die Steigung der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) an der Stelle \(x_{0}\) beschreibt, folgt (vgl. 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung):

 

\[\tan{\alpha_{1}} = m_{T_{f}} = f'(x_{0})\]

\[\tan{\alpha_{2}} = m_{T_{g}} = g'(x_{0})\]

 

Die positive Differenz der Steigungswinkel \(\alpha_{1}\) und \(\alpha_{2}\) der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) ergibt einen von zwei möglichen Winkeln, unter dem sich die Tangenten schneiden. Ergibt die Differenz einen stumpfen Winkel zwischen 90° und 180°, so ist der Ergänzungswinkel zu 180° der gesuchte (spitze) Schnittwinkel der Tangenten bzw. der Funktionsgraphen.

 

\[0^{\circ} < \vert \alpha_{1} - \alpha_{2} \vert \leq 90^{\circ} \quad \Longrightarrow \quad \varphi = \vert \alpha_{1} - \alpha_{2}\vert\]

\[90^{\circ} < \vert \alpha_{1} - \alpha_{2} \vert < 180^{\circ} \quad \Longrightarrow \quad \varphi = 180^{\circ} - \vert \alpha_{1} - \alpha_{2}\vert\]

 

Anmerkung:

Der Betrag der Differenz der Schnittwinkel ist nur dann zu berücksichtigen, wenn nicht darauf geachtet wird, welcher der Steigungswinkel größer ist. Eine positive Tangentensteigung entspricht einem Steigungswinkel \(0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}\) und eine negative Steigung entspricht einem Steigungswinkel \(90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\).

 

Bitte beachten:

Der Tangens ist am Einheitskreis für Winkel \(-90^{\circ} < \alpha < +90^{\circ}\) definiert. Deshalb gibt der Taschenrechner im Falle einer negativen Tangentensteigung und einem zugehörigen stumpfen Steigungswinkel \(90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}\) mit der Inversfunktion \(\tan^{-1}\) den Winkel, den die Tangente mit der \(x\)-Achse einschließt, in mathematisch negativem Sinn (im Uhrzeigersinn) aus. Um den stumpfen Steigungswinkel in mathematisch positivem Sinn (gegen den Uhrezeigersinn) zu erhalten, addiert man zum Ergebnis 180° (vgl. Abbildung, Steigungswinkel \(\alpha_{1}\) der Tangente \(T_{f}\)).

 

Veranschaulichung: Bestimmung eines stumpfen Steigungswinkels im Falle einer negativen Tangentensteigung

Veranschaulichung: Bestimmung des stumpfen Steigungswinkels \(\alpha_{1}\) im Falle der negativen Tangentensteigung von \(T_{f}\)

  

Spezialfall - Othogonalität zweier Funktionsgraphen

Für die Steigungen \(m_{1}\) und \(m_{2}\) zweier zueinander senkrechter Geraden gilt: \(m_{1} \cdot m_{2} = -1 \enspace \Leftrightarrow \enspace m_{1} = -\dfrac{1}{m_{2}}\) (vgl. 1.1.1 Lineare Funktion, Steigung einer Geraden).

Folglich gilt an einer Schnittstelle \(x_{0}\) zweier sich senkrecht zueinander schneidenden Funktionsgraphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\):

 

\[\begin{align*} m_{T_{f}} &= -\frac{1}{m_{T_{g}}} \\[0.8em] f'(x_{0}) &= -\frac{1}{g'(x_{0})} \end{align*}\]

 

Schnittwinkelformel

Unter Anwendung eines nicht abiturrelevanten Additionstheorems (für den Tangens der Differenz zweier Winkel) lässt sich folgende Formel für die Bestimmung des Schnittwinkels \(\varphi\) zweier sich an einer Stelle \(x_{0}\) schneidenden Funktionsgraphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) angeben:

 

\[\tan{\varphi} = \left| \frac{m_{T_{f}} - m_{T_{g}}}{1 + m_{T_{f}} \cdot m_{T_{g}}} \right| = \left| \frac{f'(x_{0}) - g'(x_{0})}{1 + f'(x_{0}) \cdot g'(x_{0})} \right|\]

 

Vorgehensweise - Schnittwinkel zwischen zwei Funktionsgraphen

In einem ersten Schritt wird die Schnittstelle \(x_{0}\) der Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\) bestimmt. Hierfür werden die Funktionsterme \(f(x)\) und \(g(x)\) gleichgesetzt. Jede Lösung der Gleichung ist eine mögliche Schnittstelle \(x_{0}\). Die Möglichkeit eines Berührpunkts muss ggf. ausgeschlossen werden (vgl. 1.5.9 Seite 3 - Berührpunkt zweier Funktionsgraphen).

 

\[f(f) = g(x) \quad \Longrightarrow \quad x_{0}\]

 

Anschließend wird mithilfe der Steigungswinkel der Tangenten \(T_{f}\) und \(T_{g}\) an der Schnittstelle \(x_{0}\) oder mithilfe der Schnittwinkelformel der Schnittwinkel \(\varphi\) der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) bestimmt.

 

Steigungswinkel:

\[\tan{\alpha_{1}} = f'(x_{0}) \quad \Longrightarrow \quad \alpha_{1}\]

\[\tan{\alpha_{2}} = g'(x_{0}) \quad \Longrightarrow \quad \alpha_{2}\]

\[\varphi = \vert \alpha_{1} - \alpha_{2} \vert\]

bzw.

\[\varphi = 180^{\circ} - \vert \alpha_{1} - \alpha_{2} \vert \]

Schnittwinkelformel:

\[\tan{\varphi} = \left| \frac{f'(x_{0}) - g'(x_{0})}{1 + f'(x_{0}) \cdot g'(x_{0})} \right|\]

\[\Longrightarrow \quad \varphi\]

 

Beispiel:

Gegeben seien die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{4} - \dfrac{1}{2}x^{2} - \dfrac{1}{2}\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} + \dfrac{1}{2}\). Untersuchen Sie die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) auf Schnittstellen und berechnen Sie die Schnittwinkel der Funktionsgraphen an den Schnittstellen.

 

\[f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}; \: D_{f} = \mathbb R\]

\[g(x) = \frac{1}{4}x^{2} + \frac{1}{2}; \; D_{g} = \mathbb R\]

 

Schnittstellen der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\)

Für die Berechnung der Schnittstellen werden die Funktionsterme \(f(x)\) und \(g(x)\) gleichgesetzt.

 

\[\begin{align*} f(x) &= g(x) \\[0.8em] \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2} &= \frac{1}{4}x^{2} + \frac{1}{2} & &| -\frac{1}{4}x^{2} - \frac{1}{2} \\[0.8em] \frac{1}{4}x^{4} -\frac{3}{4}x^{2} - 1 &= 0 \end{align*}\]

 

Die Gleichung kann durch die Substitution \(u = x^{2}\) mit \(u > 0\) in eine quadratische Gleichung umgewandelt werden. Diese lässt sich mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen (vgl. 1.1.2 Quadratische Funktion, Lösungsformel für quadratische Gleichungen, vgl. Merkhilfe). Die Lösungen der Rücksubstitution \(x^{2} = u\) ergeben die gesuchten Schnittstellen.

Durch die Substitution können sich Scheinlösungen ergeben, die mit \(u > 0\) ausgeschlossen werden können.

 

Substitution \(u = x^{2}\):

 

\[\begin{align*}\frac{1}{4}x^{4} -\frac{3}{4}x^{2} - 1 &= 0 & &| \; a^{m \cdot n} = \left( a^{m} \right)^{n} \\[0.8em] \frac{1}{4}\left(x^{2}\right)^{2} - \frac{1}{2}x^{2} - 1 &= 0 & &| \: u = x^{2}; \; u > 0 \\[0.8em] \frac{1}{4}u^{2} - \frac{3}{4}u - 1  &= 0 & &| \cdot 4 \\[0.8em] u^{2} - 3u - 4 &= 0\end{align*}\]

 

Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden:

 

\[\begin{align*} u_{1,2} &= \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \\[0.8em] &= \frac{3 \pm 5}{2} \end{align*}\]

 

\[\left( u_{1} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \right)\]

\[u_{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\]

 

Rücksubstitution \(x^{2} = u_{2}\):

 

\[\begin{align*} x^{2} &= 4 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 2 \end{align*}\]

 

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich an den Stellen \(x_{1} = -2\) und \(x_{2} = 2\).

 

Schnittwinkel der Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\)

 

1. Möglichkeit: Steigungswinkel der Tangenten berechnen

 

Erste Ableitungen \(f'\) und \(g'\) bilden:

Die Ableitungen der Funktionsterme \(f(x)\) und \(g(x)\) können mithilfe der Faktorregel, der Summenregel und der Ableitung einer Potenzfunktion erfolgen (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}\]

 

\[f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x - 0 = x^{3} - x\]

 

\[g(x) = \frac{1}{4}x^{2} + \frac{1}{2}\]

 

\[g'(x) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot x + 0 = \frac{1}{2}x\]

 

Schnittwinkel \(\varphi_{1}\) an der Schnittstelle \(x_{1} = -2\):

Es sei \(\alpha_{1}\) der Steigungswinkel der Tangente \(T_{f}\) an den Graphen der Funktion \(f\) und \(\alpha_{2}\) der Steigungswinkel der Tangente \(T_{g}\) an den Graphen der Funktion \(g\), jeweils an der Schnittstelle \(x_{1} = -2\).

 

Steigungswinkel \(\alpha_{1}\):

 

\[\begin{align*} \tan{\alpha_{1}} &= f'(-2) \\[0.8em] &= (-2)^{3} - (-2) \\[0.8em] &= -8 + 2 \\[0.8em] &= -6 & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}(-6) \approx -80{,}5^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \alpha_{1} = -80{,}5^{\circ} + 180^{\circ} = 99{,}5^{\circ}\]

 

Steigungswinkel \(\alpha_{2}\):

 

\[\begin{align*} \tan{\alpha_{2}} &= g'(-2) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\[0.8em] &= -1 & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}(-1) = -45^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \alpha_{2} = -45^{\circ} + 180^{\circ} = 135^{\circ} \]

 

Schnittwinkel \(\varphi_{1}\):

 

\[\varphi_{1} = \vert \alpha_{1} - \alpha_{2} \vert =  \vert 99{,}5^{\circ} - 135^{\circ} \vert = \vert -35{,}5^{\circ} \vert = 35{,}5^{\circ}\]

 

Schnittwinkel \(\varphi_{2}\) an der Schnittstelle \(x_{2} = 2\):

Es sei \(\alpha_{3}\) der Steigungswinkel der Tangente \(T_{f}\) an den Graphen der Funktion \(f\) und \(\alpha_{4}\) der Steigungswinkel der Tangente \(T_{g}\) an den Graphen der Funktion \(g\), jeweils an der Schnittstelle \(x_{2} = 2\).

 

Steigungswinkel \(\alpha_{3}\):

 

\[\begin{align*} \tan{\alpha_{3}} &= f'(2) \\[0.8em] &= 2^{3} - 2 \\[0.8em] &= 8 - 2 \\[0.8em] &= 6 & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}(6) \approx 80{,}5^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \alpha_{3} = 80{,}5^{\circ}\]

 

Steigungswinkel \(\alpha_{4}\):

 

\[\begin{align*} \tan{\alpha_{4}} &= g'(2) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 2 \\[0.8em] &= 1 & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}(1) = 45^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \alpha_{4} = 45^{\circ}\]

 

Schnittwinkel \(\varphi_{2}\):

 

\[\varphi_{2} = \vert \alpha_{3} - \alpha_{4} \vert =  \vert 80{,}5^{\circ} - 45^{\circ} \vert = 35{,}5^{\circ}\]

 

Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich an den Schnittstellen \(x_{1} = -2\) und \(x_{2} = 2\) jeweils in einem Winkel von 45°.

 

Anmerkung:

Beachtet man, dass die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sind, da deren Funktionsterme ausschließlich gerade Potenzen enthalten, verkürzt sich der Lösungsweg entsprechend (vgl. 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Symmetrieverhalten).

 

2. Möglichkeit: Schnittwinkelformel anwenden

 

Schnittwinkel \(\varphi_{1}\):

 

\[x_{1} = -2; \enspace f'(-2) = -6; \enspace g'(-2) = -1\]

 

\[\begin{align*}\tan{\varphi_{1}} &= \left| \frac{f'(-2) - g'(-2)}{1 + f'(-2) \cdot g'(-2)} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{-6 - (-1)}{1 + (-6) \cdot (-1)} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{-5}{7} \right| \\[0.8em] &= \frac{5}{7} & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}\left( \frac{5}{7} \right) \approx 35{,}5^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \varphi_{1} \approx 35{,}5^{\circ}\]

 

Schnittwinkel \(\varphi_{2}\):

 

\[x_{1} = 2; \enspace f'(2) = 6; \enspace g'(2) = 1\]

 

\[\begin{align*}\tan{\varphi_{2}} &= \left| \frac{f'(2) - g'(2)}{1 + f'(2) \cdot g'(2)} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{6 - 1}{1 + 6 \cdot 1} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{5}{7} \right| \\[0.8em] &= \frac{5}{7} & &| \; \text{TR:} \; \tan^{-1}(\dots) \end{align*}\]

 

\[\tan^{-1}\left( \frac{5}{7} \right) \approx 35{,}5^{\circ}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \varphi_{2} \approx 35{,}5^{\circ}\]

 

Schnittstellen x₁ = -2 und x₂ = 2 sowie Schnittwinkel φ₁ und φ₂ der Graphen der Funktionen f und g

Schnittstellen \(x_{1} = -2\) und \(x_{2} = 2\) sowie Schnittwinkel \(\varphi_{1} = \varphi_{2} \approx 35{,}5^{\circ}\) der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) der Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{4} - \dfrac{1}{2}x^{2} - \dfrac{1}{2}\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} + \dfrac{1}{2}\).