1.6.1 Stammfunktion

Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion \(F(x)\) heißt eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn

\(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\)

gilt.

 

 

Da jede Funktion \(F(x)\), für die \(F'(x) = f(x)\) gilt, eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist, gibt es unendlich viele Stammfunktionen von \(f(x)\), welche sich durch eine additive Konstante \(C\) voneinander unterscheiden.

 

Beispiel:

 

\(f(x) = x^{2}\)

 

\(F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 5\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\), denn es gilt:

\(F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + 0 = x^{2} = f(x)\).

 

Ebenso ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^{3} - 3\) eine Stammfunktion von \(f(x)\), da

\(F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + 0 = x^{2} = f(x)\) gilt.

 

Die Menge aller Stammfunktionen von \(f(x) = x^{2}\) ist somit gegeben durch \(F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + C\) (vgl. 1.6.2 Unbestimmtes Integral).

 

Eigenschaften von Stammfunktionen

Sind \(G\) und \(H\) jeweils Stammfunktionen von \(g\) und \(h\), so gilt:

Ist \(f(x) = c \cdot g(x)\), so ist \(F(x) = c \cdot G(x)\) eine mögliche Stammfunktion.

Ist \(f(x) = g(x) + h(x)\), so ist \(F(x) = G(x) + H(x)\) eine mögliche Stammfunktion.

 

 

Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion

Beim Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion \(F\) zu einem gegebenen Graphen einer Funktion \(f\) achtet man insbesondere auf die Lage und Art der Nullstellen sowie auf die Extremstellen von \(G_{f}\). Wegen \(F'(x) = f(x)\) beschreibt \(G_{f}\) den Graphen der Ableitung von \(F\).

 

Folglich bedeutet

eine einfache Nullstelle von \(G_{f}\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) einen Hochpunkt von \(G_{F}\) und mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)  einen Tiefpunkt von \(G_{F}\),

eine doppelte Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel) von \(G_{f}\) einen Terrassenpunkt von \(G_{F}\) und

eine Extremstelle von \(G_{f}\) einen Wendepunkt von \(G_{F}\).

(vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte und 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte)

 

Der Graph einer Stammfunktion kann immer nur in seinem charakteristischen Verlauf skizziert werden. Denn aufgrund der additiven Konstante \(C \in \mathbb R\) einer Stammfunktion, kann der Graph einer Stammfunktion beliebig in \(y\)-Richtung verschoben sein (vgl. 1.1.7 Entwicklung von Funktionen, Verschieben von Funktionsgraphen).

 

Graph einer ganzratiomalen Funktion f und Graph einer zugehörigen Stammfunktion F

Graph einer ganzrationalen Funktion \(f\) und Graph einer zugehörigen Stammfunktion \(F\)

 

An der Stelle \(x = -5\) besitzt \(G_{f}\) eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass der Graph \(G_{F}\) einer Stammfunktion von \(f\) dort einen Hochpunkt (\(HoP\)) hat.

An der Stelle \(x = -2\) besitzt \(G_{f}\) eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass \(G_{F}\) dort einen Tiefpunkt (\(TiP\)) hat.

An der Stelle \(x = 3\) besitzt \(G_{f}\) eine doppelte Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel). Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass \(G_{F}\) dort einen Terrassenpunkt (\(TeP\)) hat.

An den Extremstellen von \(G_{f}\) gilt \(f'(x) = F''(x) = 0\). Außerdem wechselt \(G_{f}\) das Monotonieverhalten und somit \(f'(x) = F''(x)\) das Vorzeichen. Folglich hat \(G_{F}\) an den Extremstellen von \(G_{f}\) einen Wendepunkt (\(W\)).

 

In y-Richtung verschobene Graphen von Stammfunktionen F einer ganzrationalen Funktion f

In \(y\)-Richtung verschobene Graphen von Stammfunktionen \(F\) einer ganzrationalen Funktion \(f\)

 

Beispielaufgabe

 

Graph der Funktiom f

Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto 4(x - 3)^{2} \cdot e^{x - 3} - 1\).

Skizzieren Sie im gesamten dargestellten Bereich den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) . Weisen Sie nach, dass \(F(x) = 4e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17) - x\) eine Stammfunktion von \(f(x)\) ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm der Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt \(P(3|0)\) verläuft.

 

Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion von \(f\)

 

Verhalten von \(G_{F}\) für \(x \to -\infty\):

 

Verhalten des Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f für x → -∞

Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der Funktion \(f\) asymptotisch der Geraden \(y = -1\) an. Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass sich der Graph einer Stammfunktion \(F\) für \(x \to -\infty\) einer Geraden mit der Steigung -1 annähert.

 

Betrachtung der Nullstellen von \(G_{f}\):

 

Nullstellen des Graphen der Funktion f und Extremstellen des Graphen einer Stammfunktion F

An der Stelle \(x \approx -1{,}3\) besitzt \(G_{f}\) eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass \(G_{F}\) dort einen Tiefpunkt (\(TiP\)) hat.

An der Stelle \(x \approx 2{,}3\) besitzt \(G_{f}\) eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\). Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass \(G_{F}\) dort einen Hochpunkt (\(HoP\)) hat.

An der Stelle \(x \approx 3{,}4\) besitzt \(G_{f}\) eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt daraus, dass \(G_{F}\) dort einen Tiefpunkt (\(TiP\)) hat.

 

Die vertikalen Abstände der Extrempunkte von \(G_{F}\) lassen sich besser abschätzen, wenn man zugleich die Lage der Wendepunkte von \(G_{F}\) und die Steigung der zugehörigen Wendetangenten betrachtet.

 

Betrachtung der Extremstellen von \(G_{f}\):

 

Extremstellen des Graphen der Funktion f und Wendepunkte mit Wendetangenten des Graphen der Stammfunktion F

An den Extremstellen von \(G_{f}\) gilt \(f'(x) = F''(x) = 0\). Außerdem wechselt \(G_{f}\) das Monotonieverhalten und somit \(f'(x) = F''(x)\) das Vorzeichen. Folglich hat \(G_{F}\) an den Extremstellen von \(G_{f}\) einen Wendepunkt.

Die Steigung der Wendetangenten kann näherungsweise an \(G_{f}\) abgelesen werden.

An der Wendestelle \(x = 1\) gilt \(f(x) \approx 1{,}2\). Mit \(F'(x) = f(x)\) ergibt sich die Steigung der Wendetangente \(w_{1}\) folglich zu \(m_{w_{1}} \approx 1{},2\).

An der Wendestelle \(x = 3\) gilt \(f(x) = -1\). Mit \(F'(x) = f(x)\) ergibt sich die Steigung der Wendetangente \(w_{2}\) folglich zu \(m_{w_{2}} = -1\).

 

Verhalten von \(G_{F}\) für \(x \to +\infty\):

 

Verlauf des Graphen einer Stammfunktion F für x → +∞

Für \(x \to +\infty\) verläuft \(G_{f}\) schnell gegen \(+\infty\). Mit \(F'(x) = f(x)\) folgt draus, dass die Steigung des Graphen einer Stammfunktion \(F\) schnell gegen \(+\infty\) geht und \(G_{F}\) streng monoton steigend gegen \(+\infty\) verläuft.

 

Zusammenfassung:

 

Extrempunkte, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen des Graphen einer Stammfunktion F

Zusammenfassung: Extrempunkte, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen des Graphen einer Stammfunktion F

 

Charakteristischer Verlauf des Graphen einer Stammfunktion F

Charakteristischer Verlauf des Graphen einer Stammfunktion F der Funktion \(f \colon x \mapsto 4(x - 3)^{2} \cdot e^{x - 3} - 1\)

 

In y-Richtung verschobene Graphen einer Stammfunktion F

Der Graph einer Stammfunktion \(F\) der Funktion \(f\) kann beliebig in \(y\)-Richtung verschoben sein. Der charakteristische Verlauf bleibt dabei erhalten.

 

Nachweis der Stammfunktion \(F(x) = 4e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17) - x\)

Der Nachweis ergibt sich aus der Definition einer Stammfunktion. Gilt \(F'(x) = f(x)\), so ist die Funktion \(F\) eine Stammfunktion der Funktion \(f\).

 

Erste Ableitung \(F'\) bilden:

Die erste Ableitung \(F'\) der Funktion \(F\) kann mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Faktorregel, der Summenregel, der Potenzregel sowie der Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion formuliert werden (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f(x) = 4(x - 3)^{2} \cdot e^{x - 3} - 1\]

\[F(x) = 4e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17) - x\]

 

\[\begin{align*}F'(x) &= 4 \cdot \left[ e^{x - 3} \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8x + 17) + e^{x - 3} \cdot (2x - 8) \right] - 1 \\[0.8em] &= 4e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17 + 2x - 8) - 1 \\[0.8em] &= 4e^{x - 3} \cdot (\underbrace{x^{2} - 6x + 9}_{a^{2}\,-\,2ab\,+\,b^{2}\, =\, (a \,-\,b)^{2}}) - 1 \\[0.8em] &= 4(x - 3)^{2} \cdot e^{x - 3} - 1 \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)\(F(x)\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\).

 

Funktionsterm der Stammfunktion \(F\), deren Graph durch den Punkt \(P(3|0)\) verläuft

Eine beliebige additive Konstante \(C\) mit \(C \in \mathbb R\) unterscheidet die Stammfunktionen der Funktion \(f \) voneinander.

 

\[F(x) = 4e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17) - x + C\]

 

\[\begin{align*} P(3|0) \in G_{f} \colon 0 &= 4 \cdot e^{3 - 3} \cdot (3^{2} - 8 \cdot 3 + 17) - 3 + C \\[0.8em] 0 &= 4 \cdot e^{0} \cdot 2 - 3 + C \\[0.8em] 0 &= 5 + C & &| - 5 \\[0.8em] -5 &= C  \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad F(x) &= 4e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17) - 3 - 5 \\[0.8em] &= 4e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17) - 8 \\[0.8em] &= 4 \left[ e^{x - 3} \cdot (x^{2} - 8x + 17) - 2 \right] \end{align*}\]

 

Graph der Stammfunktion von f, welcher durch den Punkt P(3|0) verläuft.

Graph der Stammfunktion \(F\) der Funktion \(f\), welcher durch den Punkt \(P(3|0)\) verläuft.