1.6.2 Unbestimmtes Integral

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral einer Funktion \(f\) gibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\) an.

\[\int f(x) \,dx = F(x) + C\,; \enspace C \in \mathbb R\]

\(C\) heißt Integrationskonstante.

 

 

Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe)

\[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\]
\[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\]
\[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\]
\[\int \cos{x} \, dx = \sin{x} + C\]
\[\int e^{x} dx = e^{x} + C\]
\[\int \ln{x}\, dx = -x + x \cdot \ln{x} + C\]
\[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\]
\[\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\]

\(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.

 

 

Beispielaufgaben

Bestimmen Sie die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen:

1. \(f(x) = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x + 4\)

2. \(f(x) = \dfrac{5}{x} - \dfrac{1}{x^{2}}\)

3. \(f(x) = \dfrac{3x + 2}{3x^{2} + 4x}\)

4. \(f(x) = \dfrac{2}{3}e^{2x + 5}\)

5. \(f(x) = \sin{\left( \dfrac{3}{2}x - 2 \right)}\)

 

1. Beispielaufgabe

 

\[f(x) = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x + 4\]

 

Die Menge der Stammfunktionen der ganzrationalen Funktion \(f\) wird gebildet, indem auf jeden Summanden das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C\) angewendet wird. Die Faktoren vor den Potenzen bleiben als solche erhalten. Die Integrationskonstanten werden in Summe zu einer Integrationskonstante \(C\) zusammengefasst.

 

\[f(x) = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x + 4 = 3x^{3} + 7x^{2} - 5x^{1} + 4x^{0}\]

 

\[\begin{align*} F(x) &= 3 \cdot \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + 7 \cdot \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} - 5 \cdot \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} + 4 \cdot \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} + C \\[0.8em] &= \frac{3}{4}x^{4} + \frac{7}{3}x^{3} - \frac{5}{2}x^{2} + 4x + C \end{align*}\]

 

2. Beispielaufgabe

 

\[f(x) = \dfrac{5}{x} - \dfrac{1}{x^{2}}\]

 

Auf den Term \(\dfrac{5}{x}\) kann das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\) angewendet werden, wobei der Faktor 5 als solcher erhalten bleibt. Auf den Term \(\dfrac{1}{x^{2}}\) kann das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C\) angewendet werden. Die Integrationskonstanten werden in Summe zu einer Integrationskonstante \(C\) zusammengefasst.

 

\[f(x) = \dfrac{5}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 5 \cdot \frac{1}{x} - x^{-2}\]

 

\[\begin{align*} F(x) &= 5 \cdot \ln{\vert x \vert} - \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} + C \\[0.8em] &= 5 \ln{\vert x \vert} + x^{-1} + C \\[0.8em] &= 5 \ln{\vert x \vert} + \frac{1}{x} + C \end{align*}\]

 

3. Beispielaufgabe

 

\[f(x) = \dfrac{3x + 2}{3x^{2} + 4x}\]

 

Nach geeigneter Umformung kann das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln{\vert f(x) \vert} + C\) angewendet wreden.

 

\[f(x) = \frac{3x + 2}{3x^{2} + 4x} = \frac{3x + 2}{2 \cdot (1{,}5x^{2} + 2x)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{g'(x)}{g(x)}\]

\[g(x) = 1{,}5x^{2} + 2x\]

\[g'(x) = 3x + 2\]

 

\[F(x) = \frac{1}{2} \cdot \ln{\vert g(x) \vert} + C = \frac{1}{2} \cdot \ln{\vert 1{,}5x^{2} + 2x \vert} + C\]

 

4. Beispielaufgabe

 

\[f(x) = \dfrac{2}{3}e^{2x + 5}\]

 

Nach geeigneter Umformung kann das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C\) angewendet werden.

 

\[f(x) = \frac{2}{3}e^{2x + 5} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot e^{2x + 5} = \frac{1}{3} \cdot g'(x) \cdot e^{g(x)}\]

\[g(x) = 2x + 5\]

\[g'(x) = 2\]

 

\[F(x) = \frac{1}{3} \cdot e^{g(x)} + C = \frac{1}{3} \cdot e^{2x + 5} + C\]

 

5. Beispielaufgabe

 

\[f(x) = \sin{\left( \dfrac{3}{2}x - 2 \right)}\]

 

Das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax + b) + C\) kann direkt angewendet werden. Eine Stammfunktion von \(\sin x\) wird mithilfe des unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int \sin{x} = -\cos{x} + C\) gebildet.

 

\[F(x) = \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot \left[ -\cos{\left(\frac{3}{2}x - 2\right)} \right] + C = -\frac{2}{3}\cos{\left( \frac{3}{2}x - 2\right)} + C\]