1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar

Extrem- und Wendepunkte einer Kurvenschar

 

Extrem- und Wendepunkte dreier Graphen einer ganzrationalen Funktionenschar

Die Abbildung zeigt für drei verschiedene Werte des Parameters \(k\) die Extrem- und Wendepunkte der zugehörigen Graphen einer ganzrationalen Funktionenschar sechster Ordnung der Form \(f_{k} \colon x \mapsto a_{1}x^{6} + a_{2}kx^{5} + a_{3}k^{2}x^{4} + a_{4}k^{3}x^{3} + a_{5}k^{4}x^{2} + a_{6}k^{5}x\) (vgl. 1.1.3 Ganzrationale Funktion).

Es wird deutlich, dass die Anzahl sowie die Lage und die Art der Extrem- und Wendepunkte vom Wert des Parameters \(k\) maßgeblich bestimmt werden.

 

Vorgehensweise - Extrem- und Wendepunkte einer Kurvenschar

Die möglichen Extrem- bzw. Wendestellen einer Funktionenschar \(f_{k}\) werden zunächst, wie in den Kapiteln 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte bzw. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte beschrieben, ermittelt und in Abhängigkeit des Parameters \(k\) formuliert.

Anschließend gilt es zu überprüfen, für welche Werte des Parameters \(k\) tatsächlich eine Extremstelle bzw. eine Wendestelle vorliegt, von welcher Art diese ist und ob ggf. die Vorraussetzungen für einen Terrassenpunkt erfüllt sind.

 

Beispiel:

Gegeben sei die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto \frac{1}{6} \left( x^{3} -2kx^{2} + k^{2}x \right)\) mit \(k \in \mathbb R_{0}^{+}\).

Ermitteln Sie in Abhängigkeit des Parameters \(k\) die Lage und die Art der Extrem- und Wendepunkte der Kurvenschar von \(f_{k}\).

 

\[f_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( x^{3} - 2kx^{2} + k^{2}x \right); \; D_{f_{k}} = \mathbb R, \; k \in \mathbb R_{0}^{+}\]

 

Extrempunkte der Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{k}\)

Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle der Funktionenschar \(f_{k}\) lautet: \(f'_{k}(x) = 0\) (vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte).

 

Erste Ableitung \(f'_{k}\) bilden:

Die Ableitung des Funktionsterms \(f_{k}(x)\) kann unter Beachtung der Faktor- und der Summenregel und mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion erfolgen. Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( x^{3} - 2kx^{2} + k^{2}x \right)\]

 

\[\begin{align*} f'_{k}(x) &= \frac{1}{6}\left( 3 \cdot x^{2} - 2k \cdot 2 \cdot x +k^{2} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6}\left( 3x^{2} - 4kx + k^{2} \right) \end{align*}\]

 

Nullstellen von \(f'_{k}\) bestimmen:

 

\[f'_{k}(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3x^{2} - 4kx + k^{2}\]

 

Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden (vgl. 1.1.2 Quadratische Funktion, Lösungsformel für quadratische Gleichungen, vgl. Merkhilfe):

 

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{4k \pm \sqrt{(-4k)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot k^{2}}}{2 \cdot 3} \\[0.8em] &= \frac{4k \pm \sqrt{16k^{2} - 12k^{2}}}{6} \\[0.8em] &= \frac{4k \pm 2k}{6} \\[0.8em] &= \frac{2}{3}k \pm \frac{1}{3}k \end{align*}\]

 

\[x_{1} = \frac{2}{3}k - \frac{1}{3}k = \frac{1}{3}k\]

\[x_{2} = \frac{2}{3}k + \frac{1}{3}k = k\]

 

An den Stellen \(x_{1} = \frac{1}{3}k\) und \(x_{2} = k\) mit \(k \in \mathbb R_{0}^{+}\) besitzt die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{k}\) waagrechte Tangenten. 

Nun ist zu untersuchen, für welche Werte des Parameters \(k\) die Stellen \(x_{1}\) und \(x_{2}\) einfache Nullstellen von \(f'_{k}\) sind, das heißt Nullstellen mit Vorzeichenwechsel, welche Extremstellen bestätigen.

Und es ist zu prüfen, ob es ggf. einen Wert \(k \in \mathbb R_{0}^{+}\) gibt, sodass mit \(x_{1} = x_{2}\) eine doppelte Nullstelle von \(f'_{k}\) ohne Vorzeichenwechsel vorliegt, welche auf einen Terrassenpunkt verweist.

(vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte)

Es ergibt sich folgende Fallunterscheidung:

 

\[x_{1} = \frac{1}{3}k; \enspace x_{2} = k\]

\[f'_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( 3x^{2} - 4kx + k^{2} \right)\]

 

1. Fall: \(k = 0\)

 

\[x_{1} = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0\]

\[x_{2} = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_{1} = x_{2} = 0\]

\(\Longrightarrow \quad\) doppelte Nullstelle \(x = 0\) (ohne Vorzeichenwechsel) für \(k = 0\)

 

Aus der doppelten Nullstelle \(x = 0\) für \(k = 0\) lässt sich mithilfe des Monotoniekriteriums schlussfolgern, dass der Graph der Scharfunktion \(f_{0}\) an der Stelle \(x = 0\) einen Terrassenpunkt hat (vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte).

 

\[f'_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( 3x^{2} - 4kx + k^{2} \right)\]

\[f'_{0}(x) = \underbrace{\frac{1}{2}x^{2}}_{>\,0}\]

\[f'_{0}(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} = 0\]

 

In der Umgebung der doppelten Nullstelle \(x = 0\) für \(k = 0\) gilt stets \(f'_{0} > 0\). Der Graph der Scharfunktion \(f_{2}\) ist damit in der Umgebung von \(x = 0\) streng monoton steigend. Folglich besitzt er an der Stelle \(x = 0\) einen Terrassenpunkt.

 

\[\left. \begin{align*} f'_{0}(0) &= 0 \\[0.8em]  f'_{0}(x) &> 0 \; \text{für} \; x < 0 \\[0.8em] f'_{0}(x) &> 0 \; \text{für} \; x > 0  \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Terrassenpunkt}\; TeP (0|f_{0}(0))\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

 

  \(x < 0\) \(x = 0\) \(x > 0\)
\(f'_{0}(x) = \frac{1}{2} x^{2}\) \(+\) \(0\) \(+\)
\(G_{f_{0}}\) \(\nearrow\) \(TeP(0|f_{0}(0))\) \(\nearrow\)

 

Als Alternative bietet sich der Nachweis des Terrassenpunkts mithilfe der zweiten Ableitung \(f''_{0}\) oder mithilfe der dritten Ableitung \(f'''_{0}\) an (vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte, Terrassenpunkte). Die Ableitungen erfolgen wiederum unter Beachtung der Faktor- und der Summenregel und mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion. Der Parameter \(k\) wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f'_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( 3x^{2} - 4kx + k^{2} \right)\]

\[f'_{0}(x) = \frac{1}{2}x^{2}\]

\[f'_{0}(0) = \frac{1}{2} \cdot 0^{2} = 0\]

 

\[\begin{align*}f''_{k}(x) &= \frac{1}{6}\left( 2 \cdot 3x - 4k + 0 \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6}(6x - 4k) \\[0.8em] &= x - \frac{2}{3}k \end{align*}\]

\[f''_{0}(x) = x - \frac{2}{3} \cdot 0 = x\]

\[f''_{0}(0) = 0\]

 

\[f'''_{k}(x) = 1\]

\[f'''_{0}(x) = 1\]

\[f'''_{0}(0) = 1 \neq 0\]

 

Begründung des Terrassenpunkts mithilfe des Vorzeichenwechsels von \(f''_{0}\):

 

\[\left. \begin{align*} f'_{0}(0) &= 0 \\[0.8em] f''_{2}(0) &= 0 \\[0.8em] f''_{0}(x) &< 0 \; \text{für} \; x < 0 \\[0.8em] f''_{0}(x) &> 0 \; \text{für} \; x > 0  \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Terrassenpunkt}\; TeP (0|f_{0}(0))\]

 

Begründung des Terrassenpunkts mithilfe der dritten Ableitung \(f'''_{0}\):

 

\[\left. \begin{align*} f'_{0}(0) &= 0 \\[0.8em] f''_{2}(0) &= 0 \\[0.8em] f'''_{0}(0) &\neq 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Terrassenpunkt}\; TeP (0|f_{0}(0))\]

 

Lage (Koordinaten) des Terrassenpunkts:

 

\[f_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( x^{3} - 2kx^{2} + k^{2}x \right)\]

\[f_{0}(x) = \frac{1}{6}\left( x^{3} - 2 \cdot 0 \cdot x^{2} + 0^{2}x \right) = \frac{1}{6}x^{3}\]

\[f_{0}(0) = \frac{1}{6} \cdot 0^{3} = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Terrassenpunkt \(TeP(0|0)\)

 

Für \(k = 0\) besitzt der Graph der Scharfunktion \(f_{0}\) an der Stelle \(x = 0\) den Terrassenpunkt \(TeP(0|0)\).

 

2. Fall: \(k > 0\)

 

\[x_{1} = \frac{1}{3}k; \enspace x_{2} = k\]

\[f'_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( 3x^{2} - 4kx + k^{2} \right)\]

 

Für \(k > 0\) besitzt die erste Ableitung \(f'_{k}\) an den Stellen \(x_{1} = \frac{1}{3}k\) und \(x_{2} = k\) jeweils eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Das bedeutet, dass die Kurvenschar an den Stellen \(x_{1}\) und \(x_{2}\) jeweils das Monotonieverhalten ändert, was Extremstellen bestätigt.

Der Nachweis der Art der Extremstellen \(x_{1} = \frac{1}{3}k\) und \(x_{2} = k\) für \(k > 0\) kann mithilfe des Monotoniekriteriums oder mithilfe des Vorzeichens der zweiten Ableitung \(f''_{k}\) an den Stellen \(x_{1}\) und \(x_{2}\) erfolgen (vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte).

 

1. Nachweis der Art der Extremstellen mithilfe des Monotoniekriteriums

Um den Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung \(f'_{k}\) an deren Nullstellen \(x_{1}\) und \(x_{2}\) besser erkennen und dokumentieren zu können, ist es zweckmäßig, den Funktionsterm \(f'_{k}(x)\) zu faktorisieren. Die Nullstellen \(x_{1} = \frac{1}{3}k\) und \(x_{2} = k\) legen die Linearfaktoren \((x - \frac{1}{3}k)\) und \((x - k)\) fest. (vgl. 1.1.2 Quadratische Funktion, Produktform und Linearfaktorzerlegung).

Damit lässt sich der Funktionsterm \(f'_{k}(x)\) wie folgt in der Produktform angeben:

 

\[\begin{align*} f'_{k}(x) &= \frac{1}{6}\left( 3x^{2} - 4kx + k^{2} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot \left( x^{2} - \frac{4}{3}kx + \frac{1}{3}k^{2} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{3}k \right)(x - k) \end{align*}\]

 

Art der Extremstellen \(x_{1} = \frac{1}{3}k\):

 

\[\left. \begin{align*} &\textstyle f'_{k}\left( \frac{1}{3}k \right) = 0 \\[0.8em] &f'_{k}(x) > 0 \; \text{für} \; \textstyle x < \frac{1}{3}k \\[0.8em] &f'_{k}(x) < 0 \; \text{für} \; \textstyle x > \frac{1}{3}k \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkte}\; \textstyle HoP\left(\small{\frac{1}{3}k}\,\Big|\,f_{k}\left( \frac{1}{3}k \right) \right) \]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

 

 \((k > 0)\) \(x < \frac{1}{3}k\) \(x = \frac{1}{3}k\) \(x > \frac{1}{3}k\)
\(\left( x - \frac{1}{3}k \right)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\((x - k)\) \(-\) \(-\) \(-\)
\(f'_{k}(x)\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(G_{f_{k}}\) \(\nearrow\) \(HoP \left(\frac{1}{3}k\, \Big|\, f_{k}\left(\frac{1}{3}k \right) \right)\) \(\searrow\)

 

Art der Extremstellen \(x_{2} = k\):

 

\[\left. \begin{align*}  &f'_{k}(k) = 0 \\[0.8em] &f'_{k}(x) < 0 \; \text{für} \; x < k \\[0.8em] &f'_{k}(x) > 0 \; \text{für} \; x > k \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkte}\; TiP(k| f_{k}(k))\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Monotonietabelle:

 

\((k > 0)\)  \(x < k\) \(x = k\) \(x > k\)
\(\left( x - \frac{1}{3}k \right)\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((x - k)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f'_{k}(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f_{k}}\) \(\searrow\) \(TiP(k| f_{k}(k))\) \(\nearrow\)

 

2. Nachweis der Art der Extremstellen mithilfe der zweiten Ableitung 

(vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte)

 

\[f'_{k}(x) = \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{3}k \right)(x - k)\]

\(f''_{k}(x) = x - \dfrac{2}{3}k\) (vgl. oben)

 

Art der Extremstellen \(x_{1} = \frac{1}{3}k\):

 

\[f''_{k}\left( \textstyle \frac{1}{3}k \right) = \frac{1}{3}k - \frac{2}{3}k = -\frac{1}{3}k; \; (k > 0)\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'_{k}\left( \textstyle \frac{1}{3}k \right) = 0 \\[0.8em] &f''_{k}\left( \textstyle \frac{1}{3}k \right) < 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkte} \; HoP\left(\textstyle \frac{1}{3}k \, \Big| \, f_{k}\left( \textstyle \frac{1}{3}k \right)  \right)\]

 

Art der Extremstellen \(x_{2} = k\):

 

\[f''_{k}(k) = k - \frac{2}{3}k = \frac{1}{3}k; \; (k > 0)\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'_{k}(k) = 0 \\[0.8em] &f''_{k}(k) > 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkte} \; TiP(k| f_{k}(k))\]

 

Lage (Koordinaten) der Extremstellen:

 

\[HoP\left(\textstyle \frac{1}{3}k \, \Big| \, f_{k}\left( \textstyle \frac{1}{3}k \right)  \right)\]

\[TiP(k|f_{k}(k))\]

\[f_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( x^{3} - 2kx^{2} + k^{2}x \right)\]

 

\[\begin{align*} f_{k}\left( \textstyle \frac{1}{3}k \right) &= \frac{1}{6}\left( \left( \frac{1}{3}k \right)^{3} - 2k \cdot \left( \frac{1}{3}k \right)^{2} + k^{2} \cdot \frac{1}{3}k \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6}\left( \frac{1}{27}k^{3} - \frac{2}{9}k^{3} + \frac{1}{3}k^{3} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6}\left( \frac{1}{27}k^{3} - \frac{6}{27}k^{3} + \frac{9}{27}k^{3} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{27}k^{3} \\[0.8em] &= \frac{2}{81}k^{3} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad HoP\left(\textstyle \frac{1}{3}k \, \Big| \, \textstyle \frac{2}{81}k^{3} \right)\]

 

\[\begin{align*} f_{k}(k) &= \frac{1}{6}\left( k^{3} - 2k \cdot k^{2} + k^{2} \cdot k \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6}\left( k^{3} - 2k^{3} + k^{3} \right) \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad TiP(k|0)\]

 

Extrempunkte der Kurvenschar für k > 0 und Terrassenpunkt des Graphen der Scharfunktion f₀ für k = 0

Extrempunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto \frac{1}{6}\left( x^{3} -2kx^{2} + k^{2}x \right)\) für \(k > 0\) und Terrassenpunkt des Graphen \(G_{f_{0}}\) der Scharfunktion \(f_{0} \colon x \mapsto \frac{1}{6}x^{3}\) für \(k = 0\)

 

Wendepunkte der Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{k}\)

Die Bestimmung der Extrempunkte der Funktionenschar \(f_{k}\) hat bereits ergeben, dass für \(k = 0\) der Graph \(G_{f_{0}}\) der Scharfunktion \(f_{0}\) den Terrassenpunkt \(TeP(0|0)\) besitzt. Somit verbleibt die Untersuchung der Wendepunkte für den Fall \(k > 0\) (vgl. 1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte).

 

\(f''_{k}(x) = x - \dfrac{2}{3}k\) (vgl. oben)

 

Nullstelle(n) von \(f''_{k}\) bestimmen:

 

\[\begin{align*}f''_{k}(x) &= 0 \\[0.8em] x - \frac{2}{3}k &= 0 & &| + \frac{2}{3}k \\[0.8em] x = \frac{2}{3}k \end{align*}\]

 

Für \(k > 0\) sind die Stellen \(x = \frac{2}{3}k\) mögliche Wendestellen der Kurvenschar von \(f_{k}\).

 

Begründung der Wendestellen mithilfe des Vorzeichenwechsels von \(f''_{k}\):

 

\[\left. \begin{align*} f''_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) = 0 \\[0.8em] f''_{k}(x) < 0 \; \text{für} \, x < \textstyle \frac{2}{3}k \\[0.8em] f''_{k}(x) > 0 \; \text{für} \; x > \textstyle \frac{2}{3}k \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkte} \; W\left(\textstyle \frac{2}{3}k \, \Big| \,  f_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) \right)\]

 

Veranschaulichung mithilfe einer Krümmungstabelle:

 

\((k > 0)\)  \(x < \frac{2}{3}k\) \(x = \frac{2}{3}k\) \(x > \frac{2}{3}k\)
\(f''_{k}(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f_{k}}\) \(\Large \curvearrowright\) \(W\left(\textstyle \frac{2}{3}k \, \Big| \,  f_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) \right)\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0.5turn);}{\Large \curvearrowleft}\)

 

Begründung der Wendestellen mithilfe der dritten Ableitung \(f'''_{k}\):

 

\(f'''_{k}(x) = 1\) (vgl. oben)

 

\[\left. \begin{align*} &f''_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) = 0 \\[0.8em] &f'''_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) \neq 0 \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Wendepunkte} \; W\left(\textstyle \frac{2}{3}k \, \Big| \,  f_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) \right)\]

 

Lage (Koordinaten) der Wendestellen:

 

\[W\left(\textstyle \frac{2}{3}k \, \Big| \,  f_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) \right)\]

\[f_{k}(x) = \frac{1}{6}\left( x^{3} - 2kx^{2} + k^{2}x \right)\]

 

\[\begin{align*} f_{k}\left( \textstyle \frac{2}{3}k \right) &= \frac{1}{6}\left( \left( \frac{2}{3}k \right)^{3} - 2k \cdot \left( \frac{2}{3}k \right)^{2} + k^{2} \cdot \frac{2}{3}k \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6}\left( \frac{8}{27}k^{3} - \frac{8}{9}k^{3} + \frac{2}{3}k^{3} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6}\left( \frac{8}{27}k^{3} - \frac{24}{27}k^{3} + \frac{18}{27}k^{3} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{27}k^{3} \\[0.8em] &= \frac{1}{81}k^{3} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad W\left(\textstyle \frac{2}{3}k \, \Big| \, \textstyle \frac{1}{81}k^{3} \right)\]

 

Wendepunkte der Kurvenschar für k > 0 und Terrassenpunkt des Graphen der Scharfunktion f₀ für k = 0

Wendepunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto \frac{1}{6}\left( x^{3} -2kx^{2} + k^{2}x \right)\) für \(k > 0\) und Terrassenpunkt des Graphen \(G_{f_{0}}\) der Scharfunktion \(f_{0} \colon x \mapsto \frac{1}{6}x^{3}\) für \(k = 0\)


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