1.7.6 Ortslinie / Trägergraph einer Funktionenschar

Ortslinie / Trägergraph einer Funktionenschar

Unter der Ortslinie (oder Ortskurve) einer Funktionenschar \(f_{k}\) versteht man den Graphen, auf dem die Extrempunkte oder Wendepunkte der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) liegen, auch als Trägergraph bezeichnet.

 

Vorgehensweise

Zunächst werden die Extrem- bzw. Wendepunkte der Kurvenschar einer Funktionenschar \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) ermittelt (vgl. 1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar).

Es können die folgenden vier Fälle auftreten:

 

Die \(\boldsymbol{x}\)- und die \(\boldsymbol{y}\)-Koordinate sind konstant.

Es existiert keine Ortslinie.

Beispiel: Alle Graphen einer Funktionenschar \(f_{k}\) verlaufen durch den gemeinsamen festen Wendepunkt \(W(0|0)\).

 

Die \(\boldsymbol{x}\)-Koordinate ist mit \(\boldsymbol{x = c}\) konstant.

Die Ortslinie ist eine vertikale Gerade mit der Gleichung \(x = c\).

Beispiel: Die Ortslinie der Wendepunkte \(W(2|4k)\) ist eine Gerade mit der Gleichung \(x = 2\).

 

Die \(\boldsymbol{y}\)-Koordinate  ist mit \(\boldsymbol{y = c}\) konstant.

Die Ortslinie ist eine horizontale Gerade mit der Gleichung \(y = c\).

Beispiel: Die Ortslinie der Wendepunkte \(W(2k|4)\) ist eine Gerade mit der Gleichung \(y = 4\).

 

Die \(\boldsymbol{x}\)- und die \(\boldsymbol{y}\)-Koordinate enthalten den Parameter \(\boldsymbol{k}\).

Die Ortslinie ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung sich mithilfe der Koordinaten \((x(k)|y(k))\) bestimmen lässt.

Hierfür wird die Koordinate \(x(k)\) nach dem Parameter \(k\) aufgelöst und in \(y(k)\) eingesetzt.

Beispiel: Gesucht sei die Ortslinie der Wendepunkte \(W(2k|k^{2})\).

 

\[x = 2k \quad \Longleftrightarrow \quad k = \frac{x}{2}\]

\[y = k^{2} = \left( \frac{x}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}x^{2}\]

 

Die Ortslinie der Wendepunkte \(W(2k|k^{2})\) ist eine Parabel mit der Funktionsgleichung \(y = \frac{1}{4}x^{2}\).

  

Beispielaufgabe

Gegeben sei die in \(\mathbb R\) definierte Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 0{,}5x^{2} + 4kx + 4\) mit \(k \in \mathbb R\).

Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion, auf deren Graph alle Extrempunkte der Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{k}\) liegen.

 

\[f_{k}(x) = 0{,}5x^{2} + 4kx + 4; \; D_{f_{k}} = \mathbb R, \; k \in \mathbb R\]

 

Extrempunkte in Abhängigkeit des Parameters \(k\) ermitteln:

Die notwendige Bedingung für Extremstellen der Funktionenschar \(f_{k}\) lautet: \(f'_{k}(x) \overset{!}{=} 0\) (vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte).

 

Erste Ableitung \(f'_{k}\) bilden:

Die Ableitung des Funktionsterms \(f_{k}(x)\) lässt sich unter Beachtung der Faktor- und der Summenregel und mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion formulieren (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln).

 

\[f_{k}(x) = 0{,}5x^{2} + 4kx + 4\]

 

\[f'_{k}(x) = 0{,}5 \cdot 2 \cdot x + 4k + 0 = x + 4k\]

 

Nullstelle von \(f'_{k}\) bestimmen:

 

\[\begin{align*} x + 4k &= 0 & &| - 4k \\[0.8em] x &= -4k \end{align*}\]

 

An den Stellen \(x = -4k\) besitzt die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{k}\) Extrempunkte. Da die Kurvenschar der quadratischen Funktionenschar \(f_{k}\) eine Parabelschar ist, deren Scheitelpunkte die Extrempunkte sind, kann der rechnerische Nachweis der Extrempunkte entfallen. Die Art der Extrempunkte spielt bei der vorliegenden Aufgabenstellung keine Rolle.

 

Koordinaten der Extrempunkte bestimmen:

 

\[f_{k}(x) = 0{,}5x^{2} + 4kx + 4\]

\[x = -4k\]

 

\[\begin{align*}f_{k}(-4k) &= 0{,}5 \cdot (-4k)^{2} + 4k \cdot (-4k) + 4 \\[0.8em] &= 0{,}5 \cdot 16k^{2} - 16k^{2} + 4 \\[0.8em] &= 8k^{2} - 16k^{2} + 4 \\[0.8em] &= -8k^{2} + 4 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E(-4k|-8k^{2} + 4)\]

 

Aus den Koordinaten der Extrempunkte \(E\) ergeben sich die beiden folgenden Gleichungen:

 

\[x = -4k\]

\[y = -8k^{2} + 4\]

 

\(x(k)\) nach dem Parameter \(k\) auflösen:

 

\[\begin{align*} x &= -4k & &| : (-4) \\[0.8em] -\frac{x}{4} &= k \end{align*}\]

 

\(k = -\frac{x}{4}\) in \(y(k)\) einsetzen:

 

\[\begin{align*} y & = -8k^{2} + 4 \\[0.8em] &= (-8) \cdot \left( -\frac{x}{4} \right)^{2} + 4 \\[0.8em] &= (-8) \cdot \frac{x^{2}}{16} + 4 \\[0.8em] &= -\frac{1}{2}x^{2} + 4 \end{align*}\]

 

Die Ortslinie der Extrempunkte der Funktionenschar ist einen nach unten geöffnete Parabel.

Die Ortslinie aller Extrempunkte \(E(-4k|-8k^{2} + 4)\) der Kurvenschar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 0{,}5x^{2} + 4kx + 4\) mit \(k \in \mathbb R\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit der Funktionsgleichung \(y = -\frac{1}{2}x^{2} + 4\).