2.2.1 Geradengleichung in Parameterform

Gleichung einer Geraden in Parameterform

Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform

\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.

Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) der Richtungsvektor der Geraden \(g\).

 

 

Eine Gerade wird durch folgende Angaben eindeutig festgelegt:

 

Ein Punkt \(A\) und ein Vektor \(\overrightarrow{u}\)

Punkt-Richtung-Form

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in \mathbb R\]

Gerade g, festgelegt durch Punkt A und einen Richtungsvektor

 

Zwei Punkte \(A\) und \(B\)

Zwei-Punkte-Form

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}; \; \lambda \in \mathbb R\]

Gerade g, festgelegt durch die Punkte A und B

 

Zu jedem Wert des Parameters \(\lambda\) gehört genau ein Punkt \(X\) auf der Geraden \(g\). Als Aufpunkt \(A\) kann jeder Punkt der Geraden verwendet werden. Als Richtungsvektor der Geraden kommt jedes beliebige Vielfache des Vektors \(\overrightarrow{u}\) bzw. \(\overrightarrow{AB}\) in Frage. Die Gleichung einer Geraden in Parameterform ist also nicht eindeutig bestimmt.

 

Lage einer Geraden im Koordinatensystem

Will man die Lage einer Geraden bezüglich der Koordinatenachsen oder der Koordinatenebenen beschreiben, betrachtet man den Richtungsvektor der Geraden.

 

Parallelität einer Geraden zu einer Koordinatenachse

 

\[g \colon \overrightarrow{X} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in R\]

 

\[\overrightarrow{u} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{1}\text{-Achse}\]

\[\overrightarrow{u} = k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{2}\text{-Achse}\]

\[\overrightarrow{u} = k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{3}\text{-Achse}\]

 

Sind also zwei Vektorkoordinaten des Richtungsvektors einer Geraden gleich Null, so verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen.

 

Parallelität einer Geraden zu einer Koordinatenebene

 

\[g \colon \overrightarrow{X} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in R\]

 

\[\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace u_{1}, u_{2} \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]

\[\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} u_{1} \\ 0 \\ u_{3} \end{pmatrix}; \enspace u_{1}, u_{3} \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{1}x_{3}\text{-Ebene}\]

\[\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ u_{2} \\ u_{3} \end{pmatrix}; \enspace u_{2}, u_{3} \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{2}x_{3}\text{-Ebene}\]

 

Ist also eine Vektorkoordinate des Richtungsvektors einer Geraden gleich Null, so verläuft die Gerade parallel zu einer der Koordinatenebenen.

 

Spurpunkte einer Geraden

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Anhand der Spurpunkte lässt sich die Lage einer Geraden im Koordinatensystem veranschaulichen.

 

Bestimmung der Spurpunkte einer Geraden

Eine Koordinate eines Spurpunkts einer Geraden ist gleich Null, da dieser in einer Koordinatenebene liegt. Sonderfall: Der Spurpunkt liegt auf einer Koordinatenachse. Dann sind zwei Koordinaten des Spurpunkts gleich Null.

 

Spurpunkt in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene: \(S_{x_{1}x_{2}}(s_{1}|s_{2}|0)\)

Spurpunkt in der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene: \(S_{x_{1}x_{3}}(s_{1}|0|s_{3})\)

Spurpunkt in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene: \(S_{x_{2}x_{3}}(0|s_{2}|s_{3})\)

 

Damit lautet die Bedingung für einen Spurpunkt einer Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\)

mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene: \(a_{3} + \lambda \cdot u_{3} = 0\)

mit der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene: \(a_{2} + \lambda \cdot u_{2} = 0\)

mit der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene: \(a_{1} + \lambda \cdot u_{1} = 0\)

 

Existiert ein Spurpunkt mit einer Koordinatenebene, liefert die jeweilige Gleichung einen Wert für den Parameter \(\lambda\). Diesen setzt man in die Geradengleichung ein und erhält den Ortsvektor des jeweiligen Spurpunkts.

 

Beispiel:

Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie die Spurpunkte der Geraden \(g\).

 

Spurpunkt der Geraden \(g\) mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[S_{x_{1}x_{2}}(s_{1}|s_{2}|0)\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 3 + 2\lambda &= 0 & &| - 3 \\[0.8em] 2\lambda &= -3 & &| : 2 \\[0.8em] \lambda &= -\frac{3}{2} \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = -\dfrac{3}{2}\) in die Gleichung der Geraden \(g\) einsetzen:

 

\[\overrightarrow{S}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} - \frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}x_{2}}(8|-5|0)\]

 

Spurpunkt der Geraden \(g\) mit der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[S_{x_{1}x_{3}}(s_{1}|0|s_{3})\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 2{,}5 + 5\lambda &= 0 & &| - 2{,}5 \\[0.8em] 5\lambda &= -2{,}5 & &| : 5 \\[0.8em] \lambda &= -\frac{1}{2} \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = -\dfrac{1}{2}\) in die Gleichung der Geraden \(g\) einsetzen:

 

\[\overrightarrow{S}_{x_{1}x_{3}} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}x_{2}}(4|0|2)\]

 

Spurpunkt der Geraden \(g\) mit der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[S_{x_{2}x_{3}}(0|s_{2}|s_{3})\]

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 2 - 4\lambda &= 0 & &| + 4\lambda \\[0.8em] 2 &= 4\lambda & &| : 4 \\[0.8em] \frac{1}{2} &= \lambda \end{align*}\]

 

Parameterwert \(\lambda = \dfrac{1}{2}\) in die Gleichung der Geraden \(g\) einsetzen:

 

\[\overrightarrow{S}_{x_{2}x_{3}} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}x_{2}}(0|5|4)\]

 

Spurpunkte der Geraden g mit den Koordinatenebenen

Spurpunkte der Geraden \(g\) mit den Koordinatenebenen

 

Beispielaufgabe

Gegeben seien die Punkte \(A(-4|3|-2)\), \(B(5|-5|3)\), \(C(14|-13|8)\) und \(D(-4|-8|-1)\).

Prüfen Sie, ob die Punkte \(C\) und \(D\) auf der Geraden durch die Punkte \(A\) und \(B\) liegen.

 

Man formuliert zunächst eine Gleichung der Geraden \(AB\) und überprüft anschließend, ob die Ortsvektoren der Punkte \(C\) und \(D\) die Geradengleichung erfüllen (Punktprobe).

 

Gleichung der Geraden \(AB\) in Parameterform 

Als Aufpunkt für die Gleichung der Geraden \(AB\) wählt man beispielsweise den Punkt \(A\) und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\).

 

\[AB \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) berechnen:

 

\(A(-4|3|-2)\), \(B(5|-5|3)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad AB \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Prüfung, ob die Punkte \(C\) und \(D\) auf der Geraden \(AB\) liegen

 

\[AB \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\]

\(C(14|-13|8)\), \(D(-4|-8|-1)\)

 

\[C \in AB \colon \begin{pmatrix} 14 \\ -13 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \begin{cases} \enspace \; 14 = -4 + 9\lambda \quad \Longleftrightarrow \quad \enspace \; 18 = \enspace \; 9\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = 2 \\[0.8em] -13 = \enspace \; 3 - 8\lambda \quad \Longleftrightarrow \quad -16 = -8\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = 2 \\[0.8em] \quad \; 8 = -2 + 5\lambda \quad \Longleftrightarrow \quad \enspace \; 10 = \enspace \; 5\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = 2 \end{cases}\]

 

\(\Longrightarrow \quad C \in AB\) (Der Punkt \(C\) liegt auf der Geraden \(AB\).)

 

\[D \in AB \colon \begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \begin{cases} -4 = -4 + 9\lambda \quad \Longleftrightarrow \qquad \; 0 = \enspace \; 9\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = 0 \\[0.8em] -8 = \enspace \; 3 - 8\lambda \quad \Longleftrightarrow \quad -11 = -8\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{11}{8} \\[0.8em] \enspace \; 1 = -2 + 5\lambda \quad \Longleftrightarrow \qquad \; 3 = \enspace \; 5\lambda \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{3}{5} \end{cases}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Keine eindeutige Lösung für \(\lambda \quad \Longrightarrow \quad D \notin AB\)