2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform

Ebenengleichung in Normalenform

Die Richtung einer Ebene \(E\) kann anstelle zweier Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) (vgl. 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform) auch durch einen senkrecht auf der Ebene \(E\) stehenden Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) festgelegt werden. Ist eine Ebene \(E\) in der Parameterform gegeben, liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\) einen Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) (vgl. 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform). Jedes Vielfache von \(\overrightarrow{n}_{E}\) ist ebenfalls ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

 

Ebene E mit Normalenvektor

Ein Punkt \(X\) liegt genau dann in der Ebene \(E\), wenn der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AX}\), ausgehend von einem beliebigen Aufpunkt \(A \in E\), und der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) zueinander senkrecht sind. Wenn also gilt: \(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{AX} = 0\) (vgl. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).

 

Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)

Jeden Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)

 

Die Normalenform in Koordinatendarstellung ergibt sich durch Ausmultiplizieren der Normalenform in Vektordarstellung:

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] n_{1}x_{1} - n_{1}a_{1} + n_{2}x_{2} - n_{2}a_{2} + n_{3}x_{3} - n_{3}a_{3} &= 0 \\[0.8em] n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} \: \underbrace{- \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}}_{n_{0}} &= 0 \\[0.8em] n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} &= 0 \end{align*}\]

 

Hessesche Normalenform (HNF)

Ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E}\vert}\) mit \(\vert \overrightarrow{n}^{0}_{E} \vert = 1\) ein Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) einer Ebene \(E\) und \(A\) ein Aufpunkt der Ebene \(E\), so bezeichnet man die zugehörige Normalenform \(E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\) der Ebenengleichung als Hessesche Normalenform.

Man erhält die Hessesche Normalenform der Gleichung einer Ebene \(E\), indem man die Ebenengleichung in Normalenform durch den Betrag des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) dividiert.

 

Vektordarstellung

\[\begin{align*}&E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 & &| : \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert \\[0.8em] &E \colon \frac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 & & | \; \frac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} = \overrightarrow{n}^{0}_{E} \\[0.8em] &E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \end{align*}\]

Koordinatendarstellung

\[\begin{align*} &E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0 & &| : \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert \\[0.8em] &E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} = 0 \\[0.8em] &E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \end{align*}\]

 

Bedeutung der Hesseschen Normalenform:

Die Hessesche Normalenform spielt bei der Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene eine große Rolle. Setzt man die Koordinaten eines beliebigen Punktes in die Gleichung einer Ebene in der Hesseschen Normalenform ein, erhält man als Ergebnis den Abstand des Punktes von der Ebene. (vgl. 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene).

 

Lage einer Ebene im Koordinatensystem

Will man die Lage einer Ebene bezüglich der Koordinatenachsen oder der Koordiantenebenen beschreiben, betrachtet man den Normalenvektor der Ebene. Dafür wird die Gleichung der Ebene ggf. in die Normalenform umgewandelt (vgl. 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform).

 

Parallelität einer Ebene zu einer Koordinatenachse

 

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ n_{2} \\ n_{3} \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad E \parallel x_{1}\text{-Achse}\]

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} n_{1} \\ 0 \\ n_{3} \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad E \parallel x_{2}\text{-Achse}\]

\[\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} n_{1} \\ n_{2} \\ 0 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad E \parallel x_{3}\text{-Achse}\]

 

Ist also eine Vektorkoordinate des Normalenvektors einer Ebene gleich Null, so liegt die Ebene Parallel parallel zu einer Koordinatenachse.

 

Parallelität einer Ebene zu einer Koordinatenebene

 

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

 

\[\overrightarrow{n}_{E} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad E \parallel x_{2}x_{3}\text{-Ebene}\]

\[\overrightarrow{n}_{E} = k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad E \parallel x_{1}x_{3}\text{-Ebene}\]

\[\overrightarrow{n}_{E} = k \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad E \parallel x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]

 

Sind also zwei Vektorkoordinaten des Normalenvektors einer Ebene gleich Null, so liegt die Ebene parallel zu einer Koordinatenebene.

 

Spurgeraden einer Ebene

Spurgeraden sind die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen. Anhand der Spurgeraden lässt sich die Lage einer Ebene im Koordinatensystem veranschaulichen.

 

Bestimmung der Spurgeraden einer Ebene

Man bestimmt zunächst die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte). Anschließend formuliert man mithilfe dieser Schnittpunkte die Gleichungen der Spurgeraden. Zwei Koordinaten eines Schnittpunkts einer Ebene mit einer Koordinatenachse sind gleich Null. Sonderfall: Eine Ebene verläuft durch den Ursprung.

 

Schnittpunkt einer Ebene mit der \(x_{1}\)-Achse: \(S_{x_{1}}(s_{1}|0|0)\)

Schnittpunkt einer Ebene mit der \(x_{2}\)-Achse: \(S_{x_{2}}(0|s_{2}|0)\)

Schnittpunkt einer Ebene mit der \(x_{3}\)-Achse: \(S_{x_{3}}(0|0|s_{3})\)

 

Liegt die Gleichung der Ebene in der Normalenform in Koordinatendarstellung vor, lassen sich die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte) bequem ermitteln. Hierfür setzt man die Koordinaten des Schnittpunkts \(S_{x_{1}}\), \(S_{x_{2}}\) bzw. \(S_{x_{3}}\) in die Ebenengleichung ein und löst die Gleichung nach der zu bestimmenden Koordinate \(s_{1}\), \(s_{2}\) bzw. \(s_{3}\) auf.

 

Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse:

 

\[S_{x_{1}}(s_{1}|0|0)\]

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[S_{x_{1}} \in E \quad \Longrightarrow \quad n_{1}s_{1} + n_{0} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad s_{1} = -\frac{n_{0}}{n_{1}}\]

 

Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse:

 

\[S_{x_{2}}(0|s_{2}|0)\]

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[S_{x_{2}} \in E \quad \Longrightarrow \quad n_{2}s_{2} + n_{0} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad s_{2} = -\frac{n_{0}}{n_{2}}\]

 

Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse:

 

\[S_{x_{3}}(0|0|s_{3})\]

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

\[S_{x_{3}} \in E \quad \Longrightarrow \quad n_{3}s_{3} + n_{0} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad s_{3} = -\frac{n_{0}}{n_{3}}\]

 

Beispiel:

Geben sei die Ebene \(E \colon 4x_{1} + 5x_{2} + 5x_{3} - 20 = 0\).

Ermitteln Sie die Gleichungen der Spurgeraden der Ebene \(E\).

 

Um die Gleichungen der Spurgeraden aufstellen zu können, werden zunächst die Schnittpunkte \(S_{x_{1}}\), \(S_{x_{2}}\) und \(S_{x_{3}}\) der Ebene \(E\) mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte) bestimmt.

 

Schnittpunkt \(S_{x_{1}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse

 

\[S_{x_{1}}(s_{1}|0|0)\]

\[E \colon 4x_{1} + 5x_{2} + 5x_{3} - 20 = 0\]

 

\[S_{x_{1}} \in E \quad \Longrightarrow \quad 4s_{1} - 20 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad s_{1} = \frac{20}{4} = 5\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}}(5|0|0)\]

 

Schnittpunkt \(S_{x_{2}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse

 

\[S_{x_{2}}(0|s_{2}|0)\]

\[E \colon 4x_{1} + 5x_{2} + 5x_{3} - 20 = 0\]

 

\[S_{x_{2}} \in E \quad \Longrightarrow \quad 5s_{2} - 20 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad s_{2} = \frac{20}{5} = 4\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{2}}(0|4|0)\]

 

Schnittpunkt \(S_{x_{3}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{3}\)-Achse

 

\[S_{x_{3}}(0|0|s_{3})\]

\[E \colon 4x_{1} + 5x_{2} + 5x_{3} - 20 = 0\]

 

\[S_{x_{3}} \in E \quad \Longrightarrow \quad 5s_{3} - 20 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad s_{3} = \frac{20}{5} = 4\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{3}}(0|0|4)\]

 

Gleichungen der Spurgeraden

Jeweils zwei Schnittpunkte der Ebene \(E\) mit einer Koordinatenachse legen eine Spurgerade fest. Als Aufpunkt für die Geradengleichung einer Spurgeraden lkann einer der Schnittpunkte gewählt werden. Als Richtungsvektor eignet sich der Verbindungsvektor zweier Schnittpunkte (vgl. 2.2.1 Geradengleichung in Parameterform).

 

Spurgerade der Ebene \(E\) in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene

 

\(S_{x_{1}}(5|0|0)\), \(S_{x_{2}}(0|4|0)\)

 

\[S_{x_{1}}S_{x_{2}} \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S}_{x_{1}} + \lambda \cdot \overrightarrow{S_{x_{1}}S_{x_{2}}}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{S_{x_{1}}S_{x_{2}}} = \overrightarrow{S}_{x_{2}} - \overrightarrow{S}_{x_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}}S_{x_{2}} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Spurgerade der Ebene \(E\) in der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene

 

\(S_{x_{1}}(5|0|0)\), \(S_{x_{3}}(0|0|4)\)

 

\[S_{x_{1}}S_{x_{3}} \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S}_{x_{1}} + \mu \cdot \overrightarrow{S_{x_{1}}S_{x_{3}}}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{S_{x_{1}}S_{x_{3}}} = \overrightarrow{S}_{x_{3}} - \overrightarrow{S}_{x_{1}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}}S_{x_{3}} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Spurgerade der Ebene \(E\) in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene

 

\(S_{x_{2}}(0|4|0)\), \(S_{x_{3}}(0|0|4)\)

 

\[S_{x_{2}}S_{x_{3}} \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S}_{x_{2}} + \tau \cdot \overrightarrow{S_{x_{2}}S_{x_{3}}}; \; \tau \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{S_{x_{2}}S_{x_{3}}} = \overrightarrow{S}_{x_{3}} - \overrightarrow{S}_{x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad S_{x_{2}}S_{x_{3}} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \tau \in \mathbb R\]

 

Spurgeraden der Ebene E

Schnittpunkte \(S_{x_{1}}\), \(S_{x_{2}}\) und \(S_{x_{3}}\) der Ebene \(E\) mit den Koordinatenachsen sowie Spurgeraden \(S_{x_{1}}S_{x_{2}}\), \(S_{x_{1}}S_{x_{3}}\) und \(S_{x_{2}}S_{x_{3}}\) der Ebene \(E\) mit den Koordinatenebenen. Das Dreieck \(S_{x_{1}}S_{x_{2}}S_{x_{3}}\) repräsentiert die Ebene \(E\).

 

Beispielaufgabe

Gegeben seien die Punkte \(A(5|-2|1)\), \(B(3|4|-2)\) und \(C(-3|2|5)\), welche die Ebene \(E\) festlegen.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung.

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\)

Ein Normalenvektor der Ebene \(E\) lässt sich mithilfe des Vektorprodukts zweier linear unabhängiger Verbindungsvektoren der Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) berechnen (vgl. 2.1.4 Vektorprodukt). Beispielsweise wählt man \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\).

 

Planskizze: Normalenvektor der Ebene E

Planskizze: Normalenvektor der Ebene \(E\)

 

\(A(5|-2|1)\), \(B(3|4|-2)\), \(C(-3|2|5)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -8 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 6 & \cdot & 4 & - & (-3) & \cdot & 4 \\ (-3) & \cdot & (-8) & - & (-2) & \cdot & 4 \\ (-2) & \cdot & 4 & - & 6 & \cdot & (-8) \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 36 \\ 32 \\ 40 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 4 \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koordinatendarstellung

Als Ansatz kann die Normalenform in Vektordarstellung oder direkt die Normalenform in Koordinatendarstellung gewählt werden.

 

Ansatz mit der Normalenform in Vektordarstellung

Es sei \(A\) der Aufpunkt der Ebene \(E\).

 

\(A(5|-2|1)\), \(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\)

 

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

 

Das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts der Normalenform in Vektordarstellung führt zur Normalenform in Koordinatendarstellung (vgl. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren).

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 9x_{1} - 45 + 8x_{2} + 16 + 10x_{3} - 10 &= 0 \\[0.8em] 9x_{1} + 8x_{2} + 10x_{3} - 39 &= 0\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 9x_{1} + 8x_{2} + 10x_{3} - 39 = 0\]

 

Ansatz mit der Normalenform in Koordinatendarstellung

Mithilfe des Normalenvektors \(n_{E}\) kann die Gleichung der Ebene \(E\) bis auf \(n_{0}\) direkt in der Koordinatendarstellung formuliert werden. Den Wert für \(n_{0}\) erhält man, indem man die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Ebene \(E\) in die Gleichung einsetzt und diese nach \(n_{0}\) auflöst.

 

\(A(5|-2|1)\), \(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\)

 

\[E \colon 9x_{1} + 8x_{2} + 10x_{3} +n_{0} = 0\]

 

\[\begin{align*} A \in E \colon 9 \cdot 5 + 8 \cdot (-2) + 10 \cdot 1 + n_{0} &= 0 \\[0.8em] 39 + n_{0} &= 0 & &| - 39 \\[0.8em] n_{0} &= -39 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 9x_{1} + 8x_{2} + 10x_{3} - 39 = 0\]