2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform

Umwandlung der Parameterform in die Normalenform

Ist eine Ebene \(E\) in der Parameterform \(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\) gegeben (vgl. 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform), ergibt das Vektorprodukt der Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) einen Normalenvektor \(n_{E}\) der Ebene \(E\) (vgl. 2.1.4 Vektorprodukt).

 

\(\overrightarrow{n}_{E} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\) mit \(\overrightarrow{n}_{E} \perp \overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{n}_{E} \perp \overrightarrow{v}\)

 

Jedes Vielfache von \(\overrightarrow{n}_{E}\) ist ebenfalls ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

Mithilfe des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) und einem Aufpunkt \(A\) lässt sich die Gleichung der Ebene \(E\) in der Normalenform in Vektordarstellung oder in der Normalenform in Koordinatendarstellung beschreiben (vgl. 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform).

 

Normalenform in Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]

Normalenform in Koordinatendarstellung

\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]

mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)

 

Beispiel:

Gegeben sei die Ebene \(E \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda, \mu \in \mathbb R\).

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Vektordarstellung und in Normalenform in Koordinatendarstellung.

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\):

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} &= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 2 & \cdot & 5 & - & 1 & \cdot & 3 \\ 1 & \cdot & 1 & - & 4 & \cdot & 5 \\ 4 & \cdot & 3 & - & 2 & \cdot & 1 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 7 \\ -19 \\ 10 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 7 \\ -19 \\ 10 \end{pmatrix}\]

 

Normalenform der Ebene \(E\) in Vektordarstellung:

 

\[E \colon \begin{pmatrix} 7 \\ -19 \\ 10 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Normalenform der Ebene \(E\) in Koordinatendarstellung:

Das Ausmultiplizieren des Skalarprodukts der Normalenform in Vektordarstellung führt zur Normalenform in Koordinatendarstellung (vgl. 2.1.3 Skalarprodukt).

 

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 7 \\ -19 \\ 10 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] 7x_{1} - 14 - 19x_{2} + 57 + 10x_{3} - 10 &= 0 \\[0.8em] 7x_{1} - 19x_{2} + 10x_{3} + 33 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon 7x_{1} - 19x_{2} + 10x_{3} + 33 = 0\]

  

Umwandlung der Normalenform in die Parameterform

Liegt die Gleichung einer Ebene \(E\) in der Normalenform in Vektordarstellung vor, wird diese zunächst in die Normalenform in Koordinatendarstellung gebracht (vgl. 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform).

Anschließend wird die Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatendarstellung nach einer der Koordinaten aufgelöst, beispielsweise nach der Koordinate \(x_{3}\). Die beiden freien Koordinaten \(x_{1}\) und \(x_{2}\) werden mit Parametern besetzt, z.B. \(x_{1} = \lambda\) und \(x_{2} = \mu\) mit \(\lambda, \mu \in \mathbb R\). Damit lassen sich alle drei Koordinaten in Abhängigkeit der gewählten Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) angeben. 

Die auf diese Weise formulierten Koordinaten beschreiben den Ortsvektor \(\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}\) eines beliebigen Punktes \(X \in E\). Man erhält daraus die Parameterform der Ebenengleichung, indem man den Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) in der nach dem Ortsvektor des Aufpunkts und den Richtungsvektoren getrennten Schreibweise formuliert.

 

\[E \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\,; \enspace \lambda, \mu \in \mathbb R\]

 

Anmerkung: Es ist immer auch möglich, drei in der Ebene liegende Punkte zu ermitteln und damit die Ebenengleichung in Parameterform aufzustellen (vgl. 2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform). Hierfür eignen sich insbesondere die Spurpunkte einer Ebene (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen), die sich im Falle einer vorliegenden Ebenengleichung in Normalenform in Koordinatendarstellung bequem bestimmen lassen (vgl. 2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform, Spurgerade).

 

Beispiel:

Gegeben sei die Ebene \(E \colon 4x_{1} + 2x_{2} - x_{3} - 20 = 0\).

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Parameterform.

 

Die Gleichung der Ebene \(E\) wird z.B. nach der Koordinate \(x_{3}\) aufgelöst. Die freien Koordinaten \(x_{1}\) und \(x_{2}\) werden mit Parametern besetzt.

 

\[4x_{1} + 2x_{2} - x_{3} - 20 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{3} = -20 + 4x_{1} + 2x_{2}\]

 

\[x_{1} = \lambda; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[x_{2} = \mu; \; \mu \in \mathbb R\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_{3} = -20 + 4\lambda + 2\mu\]

 

Damit lässt sich der Ortsvektor eines beliebigen Punktes \(X\) der Ebene \(E\) in Abhängigkeit der Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) beschreiben.

 

\[\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \\ -20 + 4\lambda + 2\mu \end{pmatrix}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\]

 

Abschließend formuliert man den Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) in der nach dem Ortsvektor des Aufpunkts und den Richtungsvektoren getrennten Schreibweise \(\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) und erhält dadurch die Parameterform der Gleichung der Ebene \(E\).

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \\ -20 + 4\lambda + 2\mu \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 + \lambda + 0 \\ 0 + 0 + \mu \\ -20 + 4\lambda + 2\mu \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -20 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -20 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\]

 

Beispielaufgabe

Gegeben seien die Punkte \(M(2|2|-3)\) und \(S(-2|6|5)\). Der Punkt \(S\) ist die Spitze einer Pyramide, deren Höhe durch die Strecke \([MS]\) festgelegt wird. Die Grundfläche der Pyramide liegt in der Ebene \(E\).

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Parameterform.

 

Die Strecke \([MS]\) (Höhe der Pyramide) steht senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide. Damit ist der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{MS}\) ein Normalenvektor der Ebene \(E\). Der Punkt \(M\) ist Höhenfußpunkt der Pyramide und liegt in der Ebene \(E\). Die Form der Pyramide spielt in dieser Aufgabe keine Rolle.

 

Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\)

 

\(M(2|2|-3)\), \(S(-2|6|5)\)

 

\[\overrightarrow{MS} = \overrightarrow{S} - \overrightarrow{M} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} = 4 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Vektordarstellung

 

\(M(2|2|-3)\), \(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

 

\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{M}) = 0\]

\[E \colon \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Gleichung der Ebene \(E\) in Parameterform

 

Die vorliegende Gleichung in Normalenform in Vektordarstellung wird zunächst in die Normalenform in Koordinatendarstellung gebracht.

 

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] -x_{1} + 3 + x_{2} - 2 + 2x_{3} + 6 &= 0 \\[0.8em] -x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 7 &= 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon -x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 7 = 0\]

 

Die Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform in Koodinatendarstellung wird nach einer der Koordinaten aufgelöst, beispielsweise nach der Koordinate \(x_{1}\). Die freien Koordinaten \(x_{2}\) und \(x_{3}\) werden mit Parametern besetzt.

 

\[-x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + 7 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1} = 7 + x_{2} + 2x_{3}\]

 

\[x_{2} = \lambda; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[x_{3} = \mu; \; \mu \in \mathbb R\]

 

\[\Longrightarrow \quad x_{1} = 7 + \lambda + 2\mu\]

 

Damit lässt sich der Ortsvektor eines beliebigen Punktes \(X\) der Ebene \(E\) in Abhängigkeit der Parameter \(\lambda\) und \(\mu\) beschreiben.

 

\[\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 7 + \lambda + 2\mu \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\]

 

Abschließend formuliert man den Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) in der nach dem Ortsvektor des Aufpunkts und den Richtungsvektoren getrennten Schreibweise \(\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\) und erhält dadurch die Parameterform der Gleichung der Ebene \(E\).

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 7 + \lambda + 2\mu \\ \lambda \\ \mu \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 7 + \lambda + 2\mu \\ 0 + \lambda + 0 \\ 0 + 0 + \mu \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda, \mu \in \mathbb R\]