2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen

Lotgerade zu einer Geraden

Die Lotgerade \(\ell\) zu einer Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\) ist im \(\mathbb R^{3}\) durch die Angabe eines Punktes \(P\) mit den Eigenschaften \(P \in \ell\) und \(P \notin g\) eindeutig festgelegt.

 

Bestimmung der Gleichung der Lotgeraden \(\ell\)

 

Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P ∉ g

Sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Gerade \(g\), so lässt sich die Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Geraden \(g\) mithilfe des Aufpunktes \(P\) und dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) beschreiben.

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) zu bestimmen.

 

1. Möglichkeit: Skalarprodukt ortogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden 

Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P ∉ g

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geraden \(g\) und der Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) stehen senkrecht zueinander. Folglich ist das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich Null (vgl. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).

 

\[\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{PF} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} = 0\]

 

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Geraden \(g\) beschreiben.

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}\]

 

Wendet man nun das Skalarprodukt der orthogonalen Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{PF}\) an, liefert dies genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) festlegt.

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} &= 0 \\[0.8em] \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}) &= 0 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Parameterwert für \(\lambda\)

\(\Longrightarrow \quad \)Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\)

\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Beispiel:

Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(P(-4|8|2)\), welcher nicht auf der Geraden \(g\) liegt.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Geraden \(g\).

 

Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P ∉ g

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[P(-4|8|2)\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Geraden \(g\) beschreiben:

 

\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix}\]

 

Skalarprodukt der ortogonalen Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{PF}\) anwenden:

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{u} \circ \overrightarrow{PF} &= 0 \\[0.8em] \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} &= 0 \\[0.8em] (-3) \cdot (10 - 3\lambda) + 0 \cdot (-5) + 1 \cdot \lambda &= 0 \\[0.8em] -30 + 10\lambda &= 0 & &| + 30 \\[0.8em] 10\lambda &= 30 & &| : 10 \\[0.8em] \lambda &= 3 \end{align*}\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3 \cdot 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) formulieren:

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

\[P(-4|8|2)\]

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen

Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P, Hilfsebene H mit den Eigenschaften P ∈ H und g ⊥ H

Die Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschaften \(P \in H\) und \(g \perp H\) schneidet die Gerade \(g\) im Lotfußpunkt \(F\) des Lotes des Punktes \(P\) auf die Gerade \(g\).

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Um den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) zu bestimmen, stellt man eine Hilfsebene \(H\) auf, welche den Punkt \(P\) enthält und senkrecht zur Geraden \(g\) liegt. Als Normalenvektor für die Gleichung der Hilfsebene \(H\) in Normalenform dient der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geradengleichung von \(g\).

 

\[P \in H\]

\[g \perp H \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{H} = \overrightarrow{u}\]

\[H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P}) = 0\]

 

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Geraden \(g\) beschreiben.

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}\]

 

Schneidet man die Geraden \(g\) mit der Hilfsebene \(H\), erhält man genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) festlegt (vgl. 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts).

 

\[g \cap H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}) = 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Parameterwert für \(\lambda\)

\(\Longrightarrow \quad \)Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\)

\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Beispiel (vgl. 1. Möglichkeit):

Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(P(-4|8|2)\), welcher nicht auf der Geraden \(g\) liegt.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Geraden \(g\).

 

Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P, Hilfsebene H mit den Eigenschaften P ∈ H und g ⊥ H

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[P(-4|8|2)\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Gleichung der Hilfsebene \(H\) aufstellen:

 

\(P \in H\,, \; g \perp H\)

 

\[H \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P}) = 0\]

\[H \colon \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} \right] &= 0 \\[0.8em] (-3) \cdot (x_{1} + 4) + 0 \cdot (x_{2} - 8) + 1 \cdot (x_{3} - 2) &= 0 \\[0.8em] -3x_{1} - 12 + x_{3} - 2 &= 0 \\[0.8em] -3x_{1} + x_{3} - 14 &= 0 \end{align*}\]

 

\[H \colon -3x_{1} + x_{3} - 14 = 0\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Geraden \(g\) beschreiben:

 

\[F \in g \colon \overrightarrow{F} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix}\]

 

Geraden \(g\) mit der Hilfsebene \(H\) schneiden (vgl. 2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene, Bestimmung des Schnittpunkts):

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[H \colon -3x_{1} + x_{3} - 14 = 0\]

 

\[\begin{align*} g \cap H \colon (-3) \cdot (6 - 3\lambda) + 2 + \lambda - 14 &= 0 \\[0.8em] -18 + 9\lambda + 2 + \lambda - 14 &= 0 \\[0.8em] -30 + 10\lambda &= 0 & &| + 30 \\[0.8em] 10\lambda &= 30 & &| : 10 \\[0.8em] \lambda &= 3 \end{align*}\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3 \cdot 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) formulieren:

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

\[P(-4|8|2)\]

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe)

Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P ∉ g, Strecke [PX] zwischen dem Punkt P und einem beliebigen Punkt X ∈g 

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Gerade \(g\).

 

Die Länge der Strecke \([PX]\) zwischen dem Punkt \(P\) und einem beliebigen Punkt \(X \in g\) ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{PX}\).

 

\[\overline{PX} = \vert \overrightarrow{PX} \vert\]

 

Der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PX}\) lässt sich in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Geraden \(g\) beschreiben.

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\overrightarrow{PX} = \overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} - \overrightarrow{P}\]

 

Für \(X = F\) ist die Länge der Strecke \(\overline{PX}\) minimal. Folglich muss die erste Ableitung \(\overline{PX}'\) gleich Null sein (vgl. 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte und 1.5.7 Extremwertaufgaben). Der Nachweis der Art des Extremwerts kann entfallen, denn für \(X \neq F\) nimmt die Länge der Strecke \([PX]\) einen beliebig großen Wert an. Somit existiert keine maximale Länge der Strecke \([PX]\).

Die Extremstelle \(\lambda_{min}\) liefert genau den Wert des Parameters \(\lambda\), der den Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) festlegt.

 

\[\overline{PX}'(\lambda) \overset{!}{=} 0\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Parameterwert für \(\lambda\)

\(\Longrightarrow \quad \)Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\)

\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Beispiel (vgl. 1. und 2. Möglichkeit):

Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie der Punkt \(P(-4|8|2)\), welcher nicht auf der Geraden \(g\) liegt.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) durch den Punkt \(P\) zur Geraden \(g\).

 

Gerade g und Lotgerade ℓ durch den Punkt P ∉ g, Strecke [PX] zwischen dem Punkt P und einem beliebigen Punkt X ∈g

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}  + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[P(-4|8|2)\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Verbindungsvektor \(\overrightarrow{PX}\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) der Gleichung der Geraden \(g\) beschreiben:

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{PX} = \overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} = \begin{pmatrix} 6 - 3\lambda \\ 3 \\ 2 + \lambda \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix}\]

 

Länge der Strecke \([PX]\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) formulieren:

 

\[\begin{align*} \overline{PX} &= \vert \overrightarrow{PX} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{(10 - 3\lambda)^{2} + (-5)^{2} + \lambda^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{100 - 60\lambda + 9\lambda^{2} + 25 + \lambda^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125} \end{align*}\]

 

Notwendige Bedingung \(\overline{PX}'(\lambda) = 0\) für minimale Länge der Strecke \([PX]\) (vgl. 1.5.2 Ableitungsregeln):

 

\[\begin{align*} \overline{PX}'(\lambda) &= 0 \\[0.8em] \left( \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125} \right)' &= 0 \\[0.8em] \frac{20\lambda - 60}{2 \cdot \sqrt{10\lambda^{2} - 60\lambda + 125}} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 20\lambda - 60 &= 0 & &| + 60 \\[0.8em] 20\lambda &= 60 & &| : 20 \\[0.8em] \lambda &= 3\end{align*}\]

 

Richtungsvektor \(\overrightarrow{PF}\) der Lotgeraden \(\ell\) berechnen:

 

\[\overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 10 - 3\lambda \\ -5 \\ \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 - 3 \cdot 3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

Gleichung der Lotgeraden \(\ell\) formulieren:

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \mu \cdot \overrightarrow{PF}\,; \; \mu \in \mathbb R\]

\[P(-4|8|2)\]

 

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]


zurück 1/6 weiter »