2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen

Orthogonale Ebene zu einer Geraden

Orthogonale (senkrechte) Ebene E zur Geraden g durch den Punkt P

Eine orthogonale (senkrechte) Ebene \(E\) zu einer Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\) ist durch einen beliebigen Punkt \(P \in E\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) der Geraden \(g\) eindeutig festgelegt.

 

\[E \colon \overrightarrow{u} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P})\]

 

Jedes Vielfache des Richtungsvektors \(\overrightarrow{u}\) der Geraden \(g\) ist ebenfalls ein Normalenvektor der Ebene \(E\).

 

Beispiel:

Gegeben sei die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\).

Geben Sie die Gleichung einer Ebene \(E\) an, welche den Punkt \(P(0|-4|3)\) enthält und senkrecht zur Geraden \(g\) ist.

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[P(0|-4|3)\]

 

\[\Longrightarrow \quad E \colon \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = 0\]