2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen

Beispielaufgabe

Gegeben seien die Ebene \(E \colon 2x_{1} - 3x_{2} + x_{3} + 4 = 0\), die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und der Punkt \(P(0|-3|1)\).

Zeigen Sie, dass die Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) durch den Punkt \(P\) ebenfalls Lotgerade zur Geraden \(g\) ist.

 

\[E \colon 2x_{1} - 3x_{2} + x_{3} + 4 = 0\]

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[P(0|-3|1) \in \ell\]

 

Gleichung der Lotgeraden \(\ell \perp E\)

Der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) ist Richtungsvektor der Lotgeraden \(\ell\). Der Punkt \(P\) ist Aufpunkt der Lotgeraden \(\ell\).

 

\[E \colon 2x_{1} - 3x_{2} + x_{3} + 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[P(0|-3|1)\]

 

\[\Longrightarrow \quad \ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Nachweiß, dass die Lotgerade \(\ell \perp E\) auch Lotgerade zur Geraden \(g\) ist

Die Lotgerade \(\ell \perp E\) ist ebenfalls zur Geraden \(g\) eine Lotgerade, wenn sich \(\ell\) und \(g\) schneiden und wenn \(\ell \perp g\) gilt.

 

Nachweiß, dass sich \(\ell\) und \(g\) schneiden (vgl. 2.3.1 Lagebeziehung von Geraden):

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

Ortsvektoren \(\overrightarrow{X}_{g}\) und \(\overrightarrow{X}_{\ell}\) der Geraden \(g\) und \(\ell\) gleichsetzen:

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{X}_{g} &= \overrightarrow{X}_{\ell} \\[0.8em] \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\end{align*}\]

 

Lineares Gleichungssystem formulieren:

 

\[\begin{align*} \text{I} & & & \quad \; 4 - 2\lambda = \qquad \enspace 2\mu \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & -5 - \enspace \lambda = -3 - 3\mu \\[0.8em] \text{III} & & \wedge \enspace & \quad \; 1 + \enspace \lambda = \enspace \; 1 + \enspace \mu \end{align*}\]

 

Lineares Gleichungssystem Lösen:

Gleichung III liefert \(\lambda = \mu\). Damit bietet sich das Einsetzverfahren an.

 

\[\begin{align*} \lambda = \mu \: \text{in I} \colon \; 4 - 2\mu &= 2\mu & &| + 2\mu \\[0.8em] 4 &= 4\mu & &| : 4 \\[0.8em] 1 &= \mu \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad \lambda = 1\]

 

\[\begin{align*}\lambda = 1, \; \mu = 1 \; \text{in II (Probe)} \colon \; -5 - 1 &= -3 - 3 \cdot 1 \\[0.8em] -6 &= -6 \quad (\text{w}) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Die Geraden \(\ell\) und \(g\) schneiden sich.

 

Nachweiß, dass \(\ell \perp g\) gilt:

Der Nachweiß kann mithilfe des Skalarprodukts senkrechter Vektoren erfolgen (vgl. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[\ell \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

 

\[\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-2) + (-3) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad \ell \perp g\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Die Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) durch den Punkt \(P\) ist ebenfalls Lotgerade zur Geraden \(g\).


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