2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene

Winkelhalbierende Gerade zweier Geraden

Winkelhalbierende w₁ und w₂ von zwei sich im Punkt S schneidenden Geraden g und h

Um die Richtungsvektoren der Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\) von zwei zwei sich im Punkt \(S\) schneidenden Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{B} + \mu \cdot \overrightarrow{v}\,; \; \mu \in \mathbb R\) zu bestimmen, berechnet man die Einheitsvektoren \(\overrightarrow{u}^{0}\) und \(\overrightarrow{v}^{0}\) der Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) der Geraden \(g\) und \(h\) (vgl. 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Einheitsvektor).

Die Vektoraddition \(\overrightarrow{u}^{0} + \overrightarrow{v}^{0}\) bzw. die Vektorsubtraktion \(\overrightarrow{u}^{0} - \overrightarrow{v}^{0}\) der Einheitsvektoren \(\overrightarrow{u}^{0}\) und \(\overrightarrow{v}^{0}\) liefert die Richtungsvektoren der Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\). Jedes Vielfache von \((\overrightarrow{u}^{0} + \overrightarrow{v}^{0})\) bzw. \((\overrightarrow{u}^{0} - \overrightarrow{v}^{0})\) ist ebenfalls ein Richtungsvektor der Winkelhalbierenden.

Als Aufpunkt für die Geradengleichungen Winkelhalbierenden dient der Schnittpunkt \(S\) der Geraden \(g\) und \(h\).

Die Winkelhalbierenden von zwei sich schneidenden Geraden sind stets zueinander senkrecht.

 

\[w_{1} \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S} + \tau \cdot (\overrightarrow{u}^{0} + \overrightarrow{v}^{0})\,; \; \tau \in \mathbb R\]

\[w_{2} \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S} + \sigma \cdot (\overrightarrow{u}^{0} - \overrightarrow{v}^{0})\,; \; \sigma \in \mathbb R\]

\[w_{1} \perp w_{2}\]

 

Beispiel:

Gegeben seien die Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\). Die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden sich im Punkt \(S(3|1|6)\).

Bestimmen Sie je eine Gleichung der Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\).

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

\[h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\]

\[S(3|1|6)\]

 

Einheitsvektoren der Richtungsvektoren von \(g\) und \(h\) ermitteln (vgl. 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Einheitsvektor):

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{u}^{0} = \frac{\overrightarrow{u}}{\vert \overrightarrow{u} \vert} = \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{v}^{0} = \frac{\overrightarrow{v}}{\vert \overrightarrow{v} \vert} = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektoren der Winkelhalbierenden bestimmen:

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{u}^{0} + \overrightarrow{v}^{0} &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Vektor \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist Richtungsvektor der Winkelhalbierenden \(w_{1}\)

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{u}^{0} - \overrightarrow{v}^{0} &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Vektor \(\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist Richtungsvektor der Winkelhalbierenden \(w_{2}\)

 

Gleichungen der Winkelhalbierenden formulieren:

Der Schnittpunkt \(S(3|1|6)\) der Geraden \(g\) und \(h\) ist Aufpunkt der Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\).

 

\[w_{1} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} + \tau \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \tau \in \mathbb R\]

\[w_{2} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}; \; \sigma \in \mathbb R\]

 

Probe:

Die Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\) von zwei sich schneidenden Geraden sind stets senkrecht zueinander. Die Aussage \(w_{1} \perp w_{2}\) lässt sich mit dem Skalarprodukt senkrechter Vektoren überprüfen (vgl. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).

 

\[w_{1} \perp w_{2} \quad \Longleftarrow \quad w_{1} \circ w_{2} = 0\]

 

\[\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-4) + 1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad w_{1} \perp w_{2}\]

 

Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen

Winkelhalbierende Ebenen W₁ und W₂ von zwei sich schneidenden Ebenen E und F   

Um die Normalenvektoren der beiden winkelhalbierenden Ebenen \(W_{1}\) und \(W_{2}\) von zwei sich schneidenden Ebenen \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A})\) und \(F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B})\) zu bestimmen, berechnet man die Einheitsvektoren \(\overrightarrow{n}_{E}^{0}\) und \(\overrightarrow{n}_{F}^{0}\) der Normalenvektoren \(\overrightarrow{n}_{E}\) und \(\overrightarrow{n}_{F}\) der Ebenen \(E\) und \(F\) (vgl. 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Einheitsvektor).

Die Vektoraddition \(\overrightarrow{n}_{E}^{0} + \overrightarrow{n}_{F}^{0}\) bzw. die Vektorsubtraktion \(\overrightarrow{n}_{E}^{0} - \overrightarrow{n}_{F}^{0}\) der Einheitsvektoren \(\overrightarrow{n}_{E}^{0}\) und \(\overrightarrow{n}_{F}^{0}\) liefert die Normalenvektoren der winkelhalbierenden Ebenen \(W_{1}\) und \(W_{2}\). Jedes Vielfache von \((\overrightarrow{n}_{E}^{0} + \overrightarrow{n}_{F}^{0})\) bzw. \((\overrightarrow{n}_{E}^{0} - \overrightarrow{n}_{F}^{0})\) ist ebenfalls ein Normalenvektor der winkelhalbierenden Ebenen.

Als Aufpunkt für die Ebenengleichungen von \(W_{1}\) und \(W_{2}\) wird ein gemeinsamer Punkt \(P\) der beiden Ebenen \(E\) und \(F\) bestimmt. Hierfür ermittelt man entweder die Schnittgerade \(s\) der Ebenen \(E\) und \(F\) und berechnet damit die Koordinaten eines beliebigen gemeinsamen Punktes \(P\) der Ebenen \(E\) und \(F\) (vgl. 2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen, Bestimmung der Schnittgeraden). Oder man errechnet die Koordinaten eines Spurpunktes der Schnittgeraden \(s\) (Schnittpunkt mit einer Koordinatenebene), indem man eine Koordinate der Ebenengleichungen von \(E\) und \(F\) gleich Null setzt und die zugehörigen Werte der beiden anderen Koordinaten bestimmt (vgl. anschließendes Beispiel).

Die winkelhalbierenden Ebenen von zwei sich schneidenden Ebenen sind stets zueinander senkrecht.

 

\[W_{1} \colon (\overrightarrow{n}_{E}^{0} + \overrightarrow{n}_{F}^{0}) \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P})\]

\[W_{2} \colon (\overrightarrow{n}_{E}^{0} - \overrightarrow{n}_{F}^{0}) \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P})\]

\[W_{1} \perp W_{2}\]

 

Beispiel:

Geben seien die Ebenen \(E \colon 2x_{1} - 2x_{2} + x_{3} - 3 = 0\) und \(F \colon x_{1} + 2x_{2} -2x_{3} + 3 = 0\). Die Ebenen \(E\) und \(F\) schneiden sich in einer Schnittgeraden \(s\).

Bestimmen Sie je eine Gleichung der beiden winkelhalbierenden Ebenen \(W_{1}\) und \(W_{2}\).

 

\[E \colon 2x_{1} - 2x_{2} + x_{3} - 3 = 0\]

\[F \colon x_{1} + 2x_{2} -2x_{3} + 3 = 0\]

 

Einheitsvektoren der Normalenvektoren von \(E\) und \(F\) ermitteln (vgl. 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Einheitsvektor):

 

\[E \colon 2x_{1} - 2x_{2} + x_{3} - 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[F \colon x_{1} + 2x_{2} -2x_{3} + 3 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{F} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{n}_{E}^{0} = \frac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}}{\sqrt{2^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{n}_{F}^{0} = \frac{\overrightarrow{n}_{F}}{\vert \overrightarrow{n}_{F} \vert} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\]

 

Normalenvektoren der winkelhalbierenden Ebenen bestimmen:

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{n}_{E}^{0} + \overrightarrow{n}_{F}^{0} &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Vektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist Normalenvektor der winkelhalbierenden Ebene \(W_{1}\).

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{n}_{E}^{0} - \overrightarrow{n}_{F}^{0} &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Vektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist Normalenvektor der winkelhalbierenden Ebene \(W_{2}\).

 

Als Aufpunkt für die Ebenengleichungen von \(W_{1}\) und \(W_{2}\) wird ein gemeinsamer Punkt \(P\) der beiden Ebenen \(E\) und \(F\) bestimmt.

 

1. Möglichkeit: Koordinaten eines Spurpunktes der Schnittgeraden \(s\) (Schnittpunkt mit einer Koordinatenebene)

 

\[E \colon 2x_{1} - 2x_{2} + x_{3} - 3 = 0\]

\[F \colon x_{1} + 2x_{2} -2x_{3} + 3 = 0\]

 

Lineares Gleichungssystem formulieren:

 

\[\Longrightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} \text{I} & & &  2x_{1} - 2x_{2} + \enspace x_{3} - 3 = 0 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \enspace x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} + 3 = 0 \end{align*} \right.\]

 

Eine Koordinate gleich Null setzen, z.B. \(x_{3} = 0\). Damit wird ein gemeinsamer Punkt beider Ebenen \(E\) und \(F\) in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene Festgelegt, d.h. der Spurpunkt der Schnittgeraden \(s\) in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

 

\[\Longrightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} \text{I} & & &  2x_{1} - 2x_{2} - 3 = 0 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \enspace x_{1} + 2x_{2} + 3 = 0 \end{align*} \right.\]

 

Gleichungssystem lösen, z.B. mit dem Additionsverfahren:

 

\[\begin{align*} \text{I} + \text{II} \colon \; 2x_{1} + x_{1} - 2x_{2} + 2x_{2} - 3 + 3 &= 0 \\[0.8em] 3x_{1} &= 0 \\[0.8em] x_{1} &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} x_{1} = 0 \; \text{in II} \colon \; 0  + 2x_{2} + 3 &= 0 & &| - 3 \\[0.8em] 2x_{2} &= -3 & &| : 2 \\[0.8em] x_{2} &= -1{,}5 \end{align*}\]

 

Der Punkt \(P(0|-1{,}5|0)\) ist Spukpunkt der Schnittgeraden \(s\) der Ebenen \(E\) und \(F\) in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.

 

\(\Longrightarrow \quad P(0|-1{,}5|0)\) ist Aufpunkt von \(W_{1}\) und \(W_{2}\).

 

2. Möglichkeit: Schnittgerade \(s\) der Ebenen \(E\) und \(F\) ermitteln (vgl. 2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen, Bestimmung der Schnittgeraden).

 

\[E \colon 2x_{1} - 2x_{2} + x_{3} - 3 = 0\]

\[F \colon x_{1} + 2x_{2} -2x_{3} + 3 = 0\]

 

Lineares Gleichungssystem formulieren:

 

\[\Longrightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} \text{I} & & &  2x_{1} - 2x_{2} + \enspace x_{3} - 3 = 0 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \enspace x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} + 3 = 0 \end{align*} \right.\]

 

Eine Koordinate mit einem Parameter besetzen, z.B. \(x_{1} = \lambda\) mit \(\lambda \in \mathbb R\):

 

\[\Longrightarrow \enspace \left\{ \begin{align*} \text{I} & & &  2\lambda - 2x_{2} + \enspace x_{3} - 3 = 0 \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & \enspace \lambda + 2x_{2} - 2x_{3} + 3 = 0 \end{align*} \right.\]

 

Gleichungssystem in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) lösen, z.B. mit dem Additionsverfahren:

 

\[\begin{align*} \text{I} + \text{II} \colon \; 2\lambda + \lambda - 2x_{2} + 2x_{2} + x_{3} - 2x_{3} - 3 + 3 &= 0 \\[0.8em] 3\lambda - x_{3} &= 0 & &| + x_{3} \\[0.8em] 3\lambda &= x_{3} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} x_{3} = 3\lambda \; \text{in II} \colon \; \lambda  + 2x_{2} - 2 \cdot 3\lambda + 3 &= 0 \\[0.8em] 2x_{2} - 5\lambda + 3 &= 0 & &| + 5\lambda - 3 \\[0.8em] 2x_{2} &= 5\lambda - 3 & &| : 2 \\[0.8em] x_{2} &= 2{,}5\lambda - 1{,}5 \end{align*}\]

 

Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) eines beliebigen Punktes \(X\) der Schnittgeraden \(s\) in Abhängigkeit des Parameters \(\lambda\) formulieren:

 

\[\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} \lambda \\ 2{,}5\lambda - 1{,}5 \\ 3\lambda \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Ortsvektor \(\overrightarrow{X}\) in der Parameterform der Geradengleichung der Schnittgeraden \(s\) formulieren:

 

\[\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} \lambda \\ 2{,}5\lambda -1{,}5 \\ 3\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + \lambda \\ -1{,}5 + 2{,}5\lambda \\ 0 + 3\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix}\]

 

\[\Longrightarrow \quad s \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2{,}5 \\ 3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

Punkt \(P \in s\) ermitteln:

 

Z.B. \(\lambda = 0 \quad \Longrightarrow \quad P(0|-1{,}5|0)\) ist Aufpunkt von \(W_{1}\) und \(W_{2}\).

 

Gleichungen der Winkelhalbierenden Ebenen \(W_{1}\) und \(W_{2}\) aufstellen:

 

Der Vektor \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist Normalenvektor der winkelhalbierenden Ebene \(W_{1}\).

Der Vektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix}\) ist Normalenvektor der winkelhalbierenden Ebene \(W_{2}\).

\(P(0|-1{,}5|0)\) ist Aufpunkt von \(W_{1}\) und \(W_{2}\).

 

\[\Longrightarrow \quad W_{1} \colon \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ -1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0\]

\[\Longrightarrow \quad W_{2} \colon \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[ \overrightarrow{X} - \begin{pmatrix} 0 \\ -1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0\]

 

Probe:

Die winkelhalbierenden Ebenen \(W_{1}\) und \(W_{2}\) von zwei sich schneidenden Ebenen sind stets senkrecht zueinander. Die Aussage \(W_{1} \perp W_{2}\) lässt sich mit dem Skalarprodukt senkrechter Vektoren überprüfen (vgl. 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts).

 

\[W_{1} \perp W_{2} \quad \Longrightarrow \overrightarrow{n}_{W_{1}} \perp \overrightarrow{n}_{W_{2}}\]

 

\[\overrightarrow{n}_{W_{1}} \perp \overrightarrow{n}_{W_{2}} \quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{W_{1}} \circ \overrightarrow{n}_{W_{2}} = 0\]

 

\[\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 + 0 \cdot (-4) + (-1) \cdot 3 = 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad W_{1} \perp W_{2}\]

  

Beispielaufgabe

Gegeben seien die Punkte \(A(4|-2|4)\), \(B(8|2|6)\) und \(C(-1|1|4)\) des Dreiecks \(ABC\).

Ermitteln Sie eine Gleichung der Winkelhalbierenden \(w\) des Innenwinkels \(\measuredangle BAC\).

 

Planskizze:

Planskizze: Dreieck ABC, Winkelhalbierende w zum Winkel ∡ BAC

Die Vektoraddition \(\overrightarrow{AB}^{0} + \overrightarrow{AC}^{0}\) der Einheitsvektoren \(\overrightarrow{AB}^{0}\) und \(\overrightarrow{AC}^{0}\) ergibt den Richtungsvektor der Winkelhalbierenden \(w\) des Innenwinkels \(\measuredangle BAC\). Der Punkt \(A\) dient als Aufpunkt der Geradengleichung von \(w\).

 

Einheitsvektoren der Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) bestimmen (vgl. 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Einheitsvektor):

 

\(A(4|-2|4)\), \(B(8|2|6)\), \(C(2|-6|0)\)

 

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}\]

 

\[\overrightarrow{AB}^{0} = \frac{\overrightarrow{AB}}{\vert \overrightarrow{AB} \vert} = \frac{\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}}{\sqrt{4^{2} + 4^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{AC}^{0} = \frac{\overrightarrow{AC}}{\vert \overrightarrow{AC} \vert} = \frac{\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^{2} + (-4)^{2} + (-4)^{2}}} = \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ .4 \\ -4 \end{pmatrix}\]

 

Richtungsvektor der Winkelhalbierenden \(w\) ermitteln:

 

\[\begin{align*}\overrightarrow{AB}^{0} + \overrightarrow{AC}^{0} &= \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ .4 \\ -4 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \left[\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ .4 \\ -4 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \\[0.8em] &=\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Der Vektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) ist Richtungsvektor der Winkelhalbierenden \(w\).

 

Gleichung der Winkelhalbierenden \(w\) formulieren:

 

Aufpunkt: \(A(4|-2|4)\)

 

\[\Longrightarrow \quad w \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]