2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt
Spiegelung eines Punktes an einem Punkt
Die Entstehung eines Bildpunktes \(P'\), der durch Spiegelung eines Punktes \(P\) an einem Punkt \(Q\) hervorgeht, lässt sich durch Vektoraddition beschreiben.
\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{P} + 2 \cdot \overrightarrow{PQ}\]
oder
\[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{Q} + \overrightarrow{PQ}\]
Beispielaufgabe
Gegeben seien die Punkte \(A(8|-1|5)\) und \(B(1|2|5)\).
Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes \(A'\), welcher durch Spiegelung des Punktes \(A\) an Punkt \(B\) entsteht.
Verbindungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) ermitteln:
\(A(8|-1|5)\), \(B(1|2|5)\)
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Koordinaten des Bildpunktes \(A'\) berechnen:
\[\overrightarrow{A'} = \overrightarrow{A} + 2 \cdot \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 8 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad A'(-6|5|5)\]
oder
\[\overrightarrow{A'} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}\]
\[\Longrightarrow \quad A'(-6|5|5)\]
