2.7.4 Lagebeziehung Ebene - Kugel

Lagebeziehung Ebene - Kugel

Die gegenseitige Lage zwischen einer Ebene \(E\) und einer Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M\) wird durch den Abstand \(d(M;E)\) des Mittelpunktes \(M\) von der Ebene \(E\) bestimmt. Dieser Abstand kann wie in Abschnitt 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene beschrieben ermittelt werden.

Es lassen sich drei Fälle unterscheiden:

 

Die Ebene \(E\) und die Kugel \(K\) haben keine gemeinsamen Punkte.

\[d(M;E) > r\]

Die Ebene E und die Kugel K haben keine gemeinsamen Punkte

 

Die Ebene \(E\) und die Kugel \(K\) berühren sich in einem Punkt.

\[d(M;E) = r\]

Die Ebene E und die Kugel K berühren sich in einem Punkt

 

Die Ebene \(E\) und die Kugel \(K\) schneiden sich in einem Schnittkreis.

\[d(M;E) < r\]

Die Ebene E und die Kugel K schneiden sich in einem Schnittkreis

 

Beispielaufgabe

Gegeben sei die Ebene \(E \colon x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 4 = 0\) sowie die Kugel \(K \colon (x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} - 2)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = 25\).

Untersuchen sie die gegenseitige Lage der Ebene \(E\) und der Kugel \(K\).

 

Abstand \(d(M;E)\) des Kugelmittelpunkts \(M\) von der Ebene \(E\) bestimmen:

 

\[K \colon (x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} - 2)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} = 25\]

 

\[\Longrightarrow \quad M(1|2|3),\, r = 5\]

 

Die Berechnung des Abstands \(d(M;E)\) erfolgt wie in Abschnitt 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene beschrieben.

 

\[E \colon x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\]

\[M(1|2|3)\]

 

\[\begin{align*} d(M;E) &= \left| \frac{m_{1} + 2m_{2} + 3m_{3} - 4}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 - 4}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} \right| \\[0.8em] &= \frac{10}{\sqrt{14}} \\[0.8em] &= \frac{5\sqrt{14}}{7} \\[0.8em] &\approx 2{,}67 \end{align*}\]

 

Schlussfolgerung:

 

\[d(M;E) \approx 2{,}67, \, r = 5\]

 

\[\Longrightarrow \quad d(M;E) < r\]

\(\Longrightarrow \quad\)Die Ebene \(E\) und die Kugel \(K\) schneiden sich in einem Schnittkreis.