3.1.1 Ereignisse

Ergebnisraum und Ereignisse

 

Ergebnis

Die Versuchsausgänge von Zufallsexperimenten werden als Ergebnisse \(\omega\) bezeichnet.

 

Ergebnisraum

Die Menge aller Ergebnisse \(\omega\) bildet den Ergebnisraum \(\Omega\), wobei jedes mögliche Ergebnis genau einmal in \(\Omega\) vorkommt.

 

Mächtigkeit des Ergebnisraums

Die Anzahl der Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\) wird als Mächtigkeit \(\vert \Omega \vert\) des Ergebnisraums bezeichnet

 

Ereignis

Jede Teilmenge \(E\) des Ergebnisraums \(\Omega\) beschreibt ein Ereignis. Ein Ereignis \(E\) tritt ein, wenn ein Versuchsergebnis \(\omega\) ein Element der Menge \(E\) ist. Ereignisse können als Menge \(E = \{\omega_{1}, \omega_{2}, ...\}\) oder in sprachlicher Form \(E \colon „\text{Beschreibung des Ereignisses}"\) angegeben werden.

 

Mächtigkeit eines Ereignisses

Die Anzahl der Elemente eines Ereignisses \(E\) wird als Mächtigkeit \(\vert E \vert\) des Ereignisses bezeichnet.

 

Elementarereignis

Ein Ereignis, das nur ein Versuchsergebnis enthält, wird als Elementarereignis bezeichnet.

 

Unmögliches Ereignis

Das unmögliche Ereignis \(\{\,\}\) (leere Menge, auch: \(\varnothing\)), enthält kein Ergebnis und tritt nie ein.

 

Sicheres Ereignis

Das sichere Ereignis \(\Omega\) tritt immer ein.

 

Verknüpfung von Ereignissen

Durch die Verknüpfung von einzelnen Ereignissen \(E_{1}, E_{2}, ...\), beispielsweise durch Bildung der Schnittmenge \(E_{1} \cap E_{2}\) oder der Vereinigungsmenge \(E_{1} \cup E_{2}\), entstehen neue Ereignisse, die wiederum Teilmengen des Ergenisraums \(\Omega\) sind.

Die folgende Tabelle gibt ausgehend von zwei Ereignissen \(A\) und \(B\) einen Überblick über die Verknüpfung von Ereignissen.

 

Symbolschreibweise und Sprechweise
Veranschaulichung als Mengendiagramm
\(\overline{A} = \Omega \backslash A\)
 
Gegenereignis zu \(A\);
Nicht das Ereignis \(A\)
Gegenereignis zu A
\(A \cap B\)
 
Schnittmenge
Ereignis \(A\) und Ereignis \(B\);
Beide Ereignisse zugleich;
Sowohl \(A\) als auch \(B\) 
Schnittmenge, Ereignis A und Ereignis B
 \(A \cup B = (A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A}) \cup (A \cap B)\)
 
Vereinigungsmenge
Ereignis \(A\) oder Ereignis \(B\) oder beide zugleich;
Mindestens eines der beiden Ereignisse
Vereinigungsmenge, Ereignis A oder Ereignis B oder beide zugleich
\(A \cap \overline{B} = A \backslash B\)
 
Ereignis \(A\) und nicht Ereignis \(B\);
Ereignis \(A\) ohne Ereignis \(B\) 
Ereignis A und nicht Ereignis B
\(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\)
 
Weder Ereignis \(A\) noch Ereignis \(B\);
Keines der beiden Ereignisse
Weder Ereignis A noch Ereignis B
\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
 
Nicht beide Ereignisse zugleich;
Höchstens eines der beiden Ereignisse
Nicht beide Ereignisse zugleich
\((A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A}) = A \backslash B \cup B \backslash A\)
 
Entweder Ereignis \(A\) oder Ereignis \(B\);
Genau eines der beiden Ereignisse
Entweder Ereignis A oder Ereignis B

 

Gesetze der Ereignisalgebra

Es gelten folgende Gesetze der Ereignisalgebra (Auszug):

 

Kommutativgesetz
\(A \cap B = B \cap A\)
 
\(A \cup B = B \cup A\)
Assoziativgesetz
\((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\)
 
\((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\)
Distributivgesetz
\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
 
\(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)
De-Morgan-Gesetze
\(\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}\)
 
\(\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}\)
Komplemente
\(A \cap \overline{A} = \varnothing\)
 
\(A \cup \overline{A} = \Omega\)
 
\(\overline{\overline{A}} = A\)

 

Beispielaufgabe

Ein Markforschungsinstitut untersucht das Konsumverhalten der Bevölkerung Deutschlands hinsichtlich der Kaufabsicht eines Tablets. Bei einer Befragung von Passanten in der Fußgängerzone einer Großstadt werden unter anderem folgende Ereignisse berücksichtigt:

\(S\): „Die befragte Person ist über 60 Jahre alt."

\(T\): „Die befragte Person beabsichtigt den Kauf eines Tablets."

Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse im Sachzusammenhang.

a) \((\overline{S} \cap T) \cup (\overline{T} \cap S)\)

b) \(\overline{\overline{S} \cap T}\)

c) \(\overline{S \cup \overline{T}}\)

 

a) Ereignis \((\overline{S} \cap T) \cup (\overline{T} \cap S)\)

 

\(\overline{S} \cap T = T \backslash S\):

„Die befragte Person ist unter 60 Jahre alt und beabsichtigt den Kauf eines Tablets."

\(\overline{T} \cap S = S \backslash T\):

„Die befragte Person ist über 60 Jahre alt und beabsichtigt nicht den Kauf eines Tablets."

\((\overline{S} \cap T) \cup (\overline{T} \cap S) = T \backslash S \cup S \backslash T\):

„Die befragte Person ist entweder unter 60 Jahre alt und beabsichtigt den Kauf eines Tablets oder sie ist über 60 Jahre alt und beabsichtigt nicht den Kauf eines Tablets."

 

b) Ereignis \(\overline{\overline{S} \cap T}\)

Gesetz von De Morgan anwenden:

\(\overline{\overline{S} \cap T} = S \cup \overline{T}\):

„Die befragt Person ist über 60 Jahre alt oder beabsichtigt den Kauf eines Tablets (oder beides zugleich)."

 

c) Ereignis  \(\overline{S \cup \overline{T}}\)

Gesetz von De Morgan anwenden:

\(\overline{S \cup \overline{T}} = \overline{S} \cap T\):

„Die befragte Person ist unter 60 Jahre alt und beabsichtigt den Kauf eines Tablets."