Abiturlösungen Mathematik Bayern Beispiel-Abiturprüfung 2026 Prüfungsteil B Aufgabe B1 (Analysis)

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{100} \cdot \left( 2x^3 - 43x^2 + 248x \right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\) im Bereich \(0 \leq x \leq 10\).

Abb. 1

Begründen Sie anhand des Terms von \(f\), dass \(G_f\) nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und zeigen Sie rechnerisch, dass \(G_f\) für \(x < 7\frac{1}{6}\) rechtsgekrümmt ist.

(4 BE) 

Es gibt eine Stelle \(x_0 \in [0;10]\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) mit der mittleren Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([0;10]\) übereinstimmt. Ermitteln Sie grafisch anhand von Abbildung 1 einen Näherungswert für \(x_0\).

(3 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente \(t\) an \(G_f\) im Punkt \((10|f(10))\) und zeichnen Sie \(t\) für \(x \geq 10\) in Abbildung 1 ein.

(zur Kontrolle: Gleichung von \(t \colon y = -0{,}12x + 3\))

(4 BE)

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_k \colon x \mapsto 3x \cdot e^{kx}\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Der Graph jeder Funktion \(g_k\) der Schar hat genau einen Extrempunkt \(E_k\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G\) einer Funktion dieser Schar.

Abb. 2

Alle Extrempunkte \(E_k\) liegen auf der Gerade \(h\). Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von \(h\).

(5 BE)

Der Graph besitzt den Hochpunkt \(H\big(4\big|\frac{12}{e}\big)\).

Begründen Sie, dass \(G\) der Graph der Funktion \(g_k\) mit \(k = -0{,}25\) ist.

(2 BE)

Geben Sie alle Werte \(a \in \mathbb R\) an, für die die Gleichung \(3x \cdot e^{-0{,}25x} = a\) genau eine Lösung besitzt.

(2 BE)

Junge Hunde wachsen in ihren ersten Lebensmonaten sehr schnell zu ausgewachsenen Hunden heran. Zur Beschreibung der Zunahme der Körpermasse eines Hundes einer bestimmten Rasse in den ersten 25 Lebensmonaten werden die folgenden beiden Modelle betrachtet:

• Für Modell \(A\) wird für \(0 \leq x \leq 10\) der Graph aus Aufgabe 1 und für \(10 \leq x \leq 25\) die Tangente \(t\) (vgl. Aufgabe 1d) verwendet.
• Für Modell \(B\) wird für \(0 \leq x \leq 25\) der Graph \(G\) der Funktion \(g_{-0{,}25}\) aus Aufgabe 2 genutzt.

In beiden Modellen steht die \(x\)-Koordinate des jeweiligen Punkts auf den Graphen bzw. der Tangente für die Zeit in Monaten, die seit der Geburt des Hundes vergangen sind, und seine \(y\)-Koordinate für die momentane Änderungsrate der Körpermasse des Hundes in Kilogramm pro Monat. Dabei wird vereinfachend davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

Formulieren Sie eine Aussage im Sachzusammenhang, die für beide Modelle für \(x = 4\) zutrifft.

(1 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage von Modell \(A\), wie viele Monate nach der Geburt ein Hund der betrachteten Rasse erstmals nicht mehr an Körpermasse zunimmt.

(zur Kontrolle: 25 Monate)

(2 BE)

Begründen Sie, dass auf der Grundlage von Modell \(A\) die Masse in Kilogramm, um die ein Hund der betrachteten Rasse in den ersten 25 Monaten nach seiner Geburt insgesamt zunimmt, mit dem Term \(\displaystyle \int_0^{10}f(x)dx + 13{,}5\) berechnet werden kann.

(3 BE)

Die Funktionen \(f\) und \(g_{-0{,}25}\), die für die Modelle \(A\) bzw. \(B\) verwendet werden, stimmen im Bereich \(0 \leq x \leq 10\) nur für \(x = 0\) in ihren Funktionswerten überein. Zur Entwicklung weiterer Modelle sind in \([0;10]\) definierte Funktionen gesucht, deren Funktionswerte für \(x > 0\) zwischen den Funktionswerten von \(f\) und \(g_{-0{,}25}\) liegen. Geben Sie für zwei verschiedene solche Funktionen jeweils einen Funktionsterm an.

(4 BE)