Teilaufgabe 1a

In einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die \(x_1\)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \(x_2\)-Achse in Richtung Norden, die Längeneinheit ist 1 km.

Ein Flugzeug \(F_1\) steigt unmittelbar nach dem Abheben von der Startbahn im Punkt \(P\,(-10|0|0)\) längs der Geraden

\(g_1\colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow P + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5 \\ 1 \end {pmatrix}\,,\enspace \lambda \in \mathbb R\,,\)

auf. Flugzeug \(F_2\) fliegt entlang der Geraden

\(g_2\colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} 40 \\ 50 \\ 10 \end {pmatrix} + \mu \cdot \begin {pmatrix} 10 \\ -10 \\ 0 \end {pmatrix}\,,\enspace \mu \in \mathbb R\).

Geben Sie die Himmelsrichtung an, in der \(F_1\) fliegt und begründen Sie, dass \(F_2\) eine konstante Flughöhe hält.

(3 BE)

Teilaufgabe 1c

\(F_1\) überfliegt in einer Höhe von 6 km eine Radarstation im Punkt \(Z\) der \(x_1x_2\)-Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(Z\).

[Ergebnis: \(Z(20|30|0)\)]

(3 BE)

Teilaufgabe 1d

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge senkrecht schneiden.

Legen Sie dar, dass daraus auch bei unveränderten Flugbahnen nicht zwingend eine Kollision der beiden Flugzeuge folgt.

(5 BE)

Teilaufgabe 1e

Der Richtungsvektor von \(g_2\) beschreibt die konstante Geschwindigkeit des Flugzeugs \(F_2\) in der Einheit \(\frac{\text{km}}{\text{min}}\). Geben Sie die physikalische Bedeutung des Parameters \(\mu\) an.

(2 BE)

Teilaufgabe 3

Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks \(ABC\), das sich durch einen Punkt \(D\) zu einem Drachenviereck \(ABCD\) ergänzen lässt.

Beschreiben Sie eine Abfolge von Schritten zur rechnerischen Ermittlung der Koordinaten von \(D\).

(4 BE)