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3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.3 Zufallsgrößen Language: *
Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\)....

1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
das Thema Abstand Punkt - Gerade (vgl. Bestimmung des Abstands zwischen Punkt und Gerade - 3 Möglichkeiten, Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade) Planskizze (optional): Im Modell entspricht die Länge der kürzestmögliche Strecke von der Uferlinie...

1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *

2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von...

2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *

2.4.1 Abstand Punkt - Gerade

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe) Beispielaufgabe Sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gleichung \(y = 3\) als waagrechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mögliche Funktionsterme von \(h\) sind beispielsweise: \(h(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\quad\) oder \(\quad h(x) =...

1.5.7 Extremwertaufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
wird die Zielfunktion mit den Mitteln der Differentialrechnung auf Extremstellen hin untersucht (vgl. Abiturskript - 1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte). Je nach Aufgabenstellung ist es ggf. erforderlich, auch die Art der Extremstelle...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Planskizze (optional): Beispielsweise liefert das Vektorprodukt...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
von 50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) im Überwachungsbereich des Radars. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f 1. Lösungsansatz: Betrag eines Vektors / Länge einer Strecke 2. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
50 km. Berechnen Sie die Länge der Flugstrecke von \(F_2\) in dem vom Radar erfassten Bereich. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe e 1. Lösungsansatz: Betrag eines Vektors / Länge einer Strecke 2. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel 3....

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie den Inhalt der Fläche, die von \(G_{f}\) und der Strecke \([AB]\) eingeschlossen wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) der Fläche,...

3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.3 Zufallsgrößen Language: *
Tetraeder (Körper mit vier gleichseitigen dreieckigen Seitenflächen, vgl. Abbildung), dessen Seitenflächen die Augenzahlen 1 bis 4 tragen, wird zweimal geworfen. Es wird die Augenzahl der Fläche notiert, auf die das Tetraeder fällt. Die Zufallsgröße...

3.4.2 Signifikanztest

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.4 Beurteilende Statistik Language: *
für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit \(p\) ist ein Hypothesentest, welcher der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art eine Obergrenze, das sog. Signivikanzniveau \(\boldsymbol{\alpha}\), vorgibt. Da die Wahrscheinlichkeit \(\alpha'\) für den Fehler...

1.5.1 Die Ableitung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
Tangente an den Graphen der Funktion \(f\). Die Normale ist die Lotgerade zur Tangente im Berührpunkt. Für die Steigungen \(m_{1}\) und \(m_{2}\) zweier zueinander senkrechter Geraden gilt: \(m_{1} \cdot m_{2} = -1\) (vgl. Abiturskript - 1.1.1 Lineare...

1.6.4 Flächenberechnung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
den Graphen einer Funktion \(f\). Mithilfe der Abbildung soll näherungsweise der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{0}^{11} f(x)\, dx\) berechnet werden. 1. Möglichkeit: Zerlegung in geeignete Teilflächen Das Flächenstück, welches \(G_{f}\) mit...

1.2.2 Grenzwerte und Asymptoten

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.2 Gebrochenrationale Funktion Language: *
Polstellen, Asymptoten und Funktionsbestimmungen Mind Map - Gebrochenrationale Funktionen (HD-PDF mit Wasserzeichen)1.02 MB Mind Map - Gebrochenrationale Funktionen (komprimiertes PDF ohne Wasserzeichen)471.81 KB Einzelne Folien - Gebrochenrationale...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Weisen Sie nach, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) im Punkt \(T(3|12|-2)\) berührt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d 1. Möglichkeit: Berührpunkt mit Kugelgleichung bestimmen Kugelgleichung in Koordinatendarstellung aufstellen...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
zu Teilaufgabe 3b Zufallsgröße \(X\): Auszahlungsbetrag in Euro nach einer weiteren Drehung des Glücksrads. \[E(X) = (0+61+62+63+64+65+66+67+68+69)\cdot 0{,}1 = 58{,}5\] Da \(58{,}5...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
einem Spiel wird ein Würfel einmal geworfen und ein Glücksrad einmal gedreht. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert. Das Glücksrad hat zehn gleich große Sektoren, die mit den Zahlen von 1 bis 10 durchnummeriert sind. Man...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
beiden Kreise bezüglich der Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe b 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
mit der Erfolgsquote des Angestellten unzufrieden. Die Inhaberin möchte dem Angestellten das Gehalt kürzen, wenn weniger als 15 % der angesprochenen Besucher Lose kaufen. Die Entscheidung über die Gehaltskürzung soll mithilfe eines Signifikanztests auf...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt. (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform Die Punkte \(P\), \(Q\) und...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
die Ebene \(E\) fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\)) b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) der Ebene \(E\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Im Dezember 2021 wurden in Norwegen rund 14 000 Pkw neu zugelassen. In einer vereinfachten Übersicht sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten an diesen Neuzulassungen dargestellt. Für eine Untersuchung werden aus diesen Neuzulassungen 200...

2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *
zweier Ebenen Beispielaufgabe Winkelhalbierende Gerade zweier Geraden Um die Richtungsvektoren der Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\) von zwei sich im Punkt \(S\) schneidenden Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[A(k) \frac{2k}{x^{2} + 1}; \; k > 0\] Nachweis, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist sowie Berechnung des Wertes von \(k\)...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Ebene \(F\) schneidet die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\). (zur Kontrolle: \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\); \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(10\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = 2 \cdot...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Der Punkt \(T(7|10|0)\) liegt auf der Kante \([A_{3}A_{4}]\). Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet." \[\Rightarrow \enspace P(\overline{V} \cap \overline{R}) = 0{,}63\] 1. Möglichkeit: Baumdiagramm Nach der 1. bzw. 2. Pfadregel gilt: {slider Baumdiagramm - Pfadregeln (Knoten-, Produkt-,...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(G_{f}\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion \[f(x) = \frac{2}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{2}{x^{2} + 4x + 3}\,; \enspace...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
einen Computer besitzen. Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von 100 zufällig ausgewählten 12- bis 19-jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
Bei jeder Aufführung wird der Vorhang 15-mal geschlossen; dafür ist ein automatischer Mechanismus vorgesehen. Erfahrungsgemäß funktioniert der Mechanismus bei jedem Schließen des Vorhangs mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Nur dann, wenn der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wirksamkeit des Pflanzenschutzmittels gegen einen nur in den Tropen auftretenden Pilz zu untersuchen, wurde ein Experiment mit 150 Pflanzen durchgeführt. Dabei wurden 70 % der Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend alle 150...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
soll davon ausgegangen werden, dass \(X_n\) binomialverteilt ist mit den Parametern \(n\) und \(p = 0{,}05\). Es werden 15 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Gleichungen aller senkrechter Asymptoten Die...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\), die nur die Werte \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) und \(5\) annehmen kann. \(k\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(P(X = k)\) \(p_1\) \(p_2\) \(p_3\) \(0{,}2\) \(0{,}15\) Die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
und der Normale bestimmen. Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) berechnen. Gleichung der Tangente Ansatz: \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + t\) {slider Allgemeine Geradengleichung} Allgemeine Geradengleichung \[y = mx + t\] Wobei \(m\) die Steigung und...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} \times...

1.6.6 Integralfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
der Funktion \(f\) wird durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int x^{2} \, dx\) beschrieben (vgl. Abiturskript - 1.6.2 Unbestimmtes Integral). \[\int x^{2} \, dx = \frac{1}{2 + 1} \cdot x^{2 + 1} + C = \frac{1}{3}x^{3} + C\] Vergleich mit der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
zu Beobachtungsbeginn. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\] {slider Differentialquotient oder lokale (momentane) Änderungsrate}...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\), für die die Länge der Strecke \([PQ]\) minimal ist. Die Gerade \(x = -1\) und die Gerade \(x = 3\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein....

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene \[\cos{(90^{\circ} - \varphi)} = \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}}...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest. Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mithilfe der...

Aufgabe

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt \(P(104|-42|10)\) beschrieben, seine Richtung durch den Vektor \(\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Verkehrsschild...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
der Abbildung, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist \[\underbrace{\lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{\underset{x \,...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(K\), für den \(\overline{KE} = \overline{EF}\) gilt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d 1. Möglichkeit: Einheitsvektor \(\overrightarrow{ED}^{\circ}\) Planskizze (optional): Der Einheitsvektor...

2.4.2 Abstand paralleler Geraden

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
beliebigen Punktes \(P \in h\) zur Geraden \(g\) bzw. \(P \in g\) zur Geraden \(h\) zurückführen (vgl. Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade). Zweckmäßig wählt man den Aufpunkt \(B\) der Geradengleichung von \(h\) bzw. den Aufpunkt \(A\) der...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet -...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie \(D_{f}\) an. b) Ermitteln Sie die...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Kurve beginnt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(B\) und berechnen Sie den Kurvenradius im Modell. (Teilergebnis: \(B\left( -1|2\sqrt{2}|3 \right)\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Koordinaten eines Lotfußpunktes, Abstand Punkt Gerade...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen. Betrachte werden folgende Ereignisse: \(B\): „Es tritt eine...

3.4.1 Hypothesentest

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.4 Beurteilende Statistik Language: *
Hypothesentest und Alternativtest Fehler 1. Art und Fehler 2. Art Beispielaufgabe Hypothesentest und Alternativtest Ein Hypothesentest formuliert eine Vermutung (Hypothese) zu einem umfangreichen, nicht exakt zu bestimmenden statistischen Sachverhalt...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Wert von \(k\) mit \(k \geq 4\) stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für \(k\) und der Flächeninhalt des Trapezes für \(k + 1\) überein. (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Begründung, weshalb jedes der Vierecke ein Trapez ist Da die Punkte...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Rechnerische Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(f\) Gemäß dem...

3.1.4 Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Language: *
ab der zweiten Stufe die bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden eines Baumdiagramms zu notieren (vgl. Abiturskript - 3.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit). Ausnahme: Stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse (vgl. Abiturskript - 3.1.6...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Die notwendige Bedingung für einen...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(E \colon x_1+x_2+2x_3-20=0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Die Punkte \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(E\) (schematische Darstellung, vgl. Angabe). Somit liefert...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von \(F\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[F(x) =...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt \(H(50|70|15)\) beschrieben. Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
wird die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut eines Patienten gemessen. Die Funktion \(K \colon t \mapsto \dfrac{100t}{t^{2} + 25}\) mit \(t \geq 0\) beschreibt näherungsweise den Verlauf \(K(t)\) der Konzentration des Medikaments in Milligramm...

1.1.3 Ganzrationale Funktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.1 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Language: *
Verhalten für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) Beispielaufgabe Eine Funktion \(f\) mit \(f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \textstyle{\dots} + a_{1}x + a_{0}\) und \(n \in \mathbb N_{0}\) sowie den Koeffizienten \(a_{i} \in \mathbb R, a_{n}...

1.1.2 Quadratische Funktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.1 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Language: *
\in \mathbb R, a \neq 0\) heißt quadratische Funktion. Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen 2. Grades (vgl. 1.1.3 ). Definitionsmenge: \(D_{f} = \mathbb R\) Funktionsgraph einer quadratischen Funktion Der Funktionsgraph einer...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung von \(W\) in Koordinatenform Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt. (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\)) b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Grudfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen. c) Berechnen...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1\right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\). Abb. 1 Zeigen Sie, dass \(x = e^{-1}\) und \(x = e\) die einzigen...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\). \(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\). \(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\). a) Geben Sie einen möglichen...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Strecke \([PQ]\) mit den Eigenschaften \(P(8|-5|1)\) und \(Q\) ist Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt \(M(5|-1|1)\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q\) und weisen Sie nach, dass der Punkt \(R(9|-1|4)\) auf der Kugel liegt. (3 BE) Lösung...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die lokale Änderungsrate von \(g\) an der Stelle \(x_0\) stimmt mit der mittleren Änderungsrate von \(g\) im Intervall \([1;4]\) überein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Abb. 1 Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Die Steigung...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
„2022" an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung 1 beschriftet sind. Für einen Einsatz von 3 € darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer 2, die auf den...

2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *
(Un-)Abhängigkeit der Normalenvektoren \(\overrightarrow{n}_{E}\) und \(\overrightarrow{n}_{F}\) (vgl. Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren). Für die Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier Ebenen \(E \colon \overrightarrow{X}...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Vorgehensweise: Der Parameter \(k\) der Tangentengleichung \(t_k\) wird einmal durch einen Parameter \(\textcolor{#cc071e}{m}\) und einmal durch einen Parameter \(\textcolor{#0087c1}{n}\) ersetzt, wobei \(\textcolor{#cc071e}{m} \neq...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %." auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige...

1.3.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.3 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion Language: *
angeben. Vielfach ist es möglich, Gleichungen dieser Art mithilfe elementarer Umformungen (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion, Eigenschaften und Rechenregeln) und einer sich anschließenden Logarithmierung oder...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
binomialverteilten Zufallsgröße} Varianz \(Var(X)\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\): \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\) (vgl. Merkhilfe) Wobei \(n\) die Länge der Bernoulli-Kette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
der Funktion \(f\) an. b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an. c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
erzielt." \(B\): „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt." (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[\begin{align*} P(A) &= P_{0{}5}^{20}(X = 7) \\[0.8em] &= B(20;0{,}5;7) \\[0.8em] &= \binom{20}{7} \cdot 0{,}5^7 \cdot...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Vor der...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt: (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\). (2) Der Graph...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten. Begründen Sie, dass \(x = 0\) die...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\). (zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[x \mapsto \cos{x}\] \[g(x) =...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist. b) Gegeben ist die Funktion \[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax +...

1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der betrachteten Stelle an (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung). Die zweite Ableitung (die Ableitung von der ersten Ableitung), beschreibt die Änderung der...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Planskizze (optional): Der Verbindungsvektor...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Flächeninhaltsberechnung durch Integration \[f(x) = x^{4} - 2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\] Flächenstück, das \(G_{f}\) und die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Für den beschriebenen Test ergibt sich \(\{132;133; \dots ; 200\}\) als Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt: \(Y\): Anzahl der zufriedenen...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
\(g\) sind ganzzahlig. Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt. \[\text{A}\quad\frac{1}{x - 2} -x +4\] \[\text{B}\quad-\frac{1}{x-2} -x +4\] \[\text{C}\quad\frac{1}{2-x} +x - 4\]...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide. (Teilergebnis: \(V = 216\)) (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) Der Neigungswinkel der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\). Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\). Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform....

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt: (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\). (2) Der Graph...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(N_k\) enthält die \(x_3\)-Achse und den Punkt \(P_k(1-k|k|0)\) mit \(k \in \; ]0;1[\). Welche Kanten des Körpers von \(N_k\) geschnitten werden, ist abhängig von \(k\). Durchläuft \(k\) alle Werte zwischen \(0\) und \(1\), so gibt es...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
bequem mithilfe der in Teilaufgabe 2a erstellten Vierfeldertafel berechnen. \(S\) \(\overline{S}\) \(T\) \(\textcolor{#89ba17}{x}\) \(19 -x\) \(\textcolor{#89ba17}{19}\) \(\overline{T}\) \(105 - x\) \(\textcolor{#89ba17}{3x}\) \(131\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene weniger als 30° beträgt, wenn \(2k^2 > 1\) gilt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene (schematische...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(4x_2+3x_3-12=0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Die Punkte \(C\), \(D\) und \(S\) liegen in der Ebene \(E\) (vgl. Angabe). Somit liefert beispielsweise das Vektorprodukt...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der \(x\)-Achse ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[f_{\textcolor{#cc071e}{a},\textcolor{#0087c1}{b},\textcolor{#e9b509}{c}}(x) = \frac{\textcolor{#cc071e}{a}x + \textcolor{#0087c1}{b}}{x^{2} +...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Erscheint die Eins bei der ersten Drehung, erhält der Spieler 5 €, erscheint die Eins bei der zweiten Drehung, erhält er 1 €.. a) Berechnen Sie den Einsatz des Spiels, sodass das Spiel „fair" ist. b) Der Einsatz des Spiels beträgt nun 1 €. Wie sind die...

2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Gerade

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.6 Spiegelung von Punkten Language: *
R\) hervorgeht, lässt sich auf die Spiegelung des Punktes \(P\) am Lotfußpunkt \(F\) zurückführen (vgl. Abiturskript - 2.6.1 Spiegelung eines Punktes an einem Punkt). \[\overrightarrow{P'} = \overrightarrow{P} + 2 \cdot \overrightarrow{PF}\] oder...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(N(1{,}6|0|3{,}2)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \([KF]\). Begründen Sie, dass die Gerade \(EN\) den Innenwinkel des Dreiecks \(DFE\) bei \(E\) halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(S\) auf der Geraden \(EN\) liegt. (4 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene \(F\) liegt. (mögliches Teilergebnis: \(F\,\colon\, x_1 - x_2 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Ebene \(E\), Ebene \(F\), Dreieck \(ABC\), Gerde \(g\) (einfallender Lichtstrahl) und Gerade...

3.2.1 Grundformeln der Kombinatorik

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.2 Urnenmodelle Language: *
die Anzahl der Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\) und die Anzahl der Elemente des Ereignisses \(A\) (vgl. Abiturskript - 3.1.3 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit). Hierfür liefert die Kombinatorik wichtige Abzählmethoden (vgl....

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Pyramide \(ABCDS\) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\): \[\textsf{I}\quad \overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \; t \in [0;1]\] \[\textsf{II}\quad...

2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
zueinander senkrecht sind. Wenn also gilt: \(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{AX} = 0\) (vgl. Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts). Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe) Jeden Ebene...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel: Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat. \(\mathbb W = [-2;2]\) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b 1. Lösungsansatz: Sinusfunktion oder Kosinusfunktion Eine Sinusfunktion oder eine Kosinusfunktion, die nicht in \(y\)-Richtung...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
ist. \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 & &| - 4 \\[0.8em] 4x &= -4 & &| : 4 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\] oder \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (x + 1) &= 0 \\[0.8em] x...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze des Graphen der Stammfunktion \(F\)...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2f 1. Möglichkeit: Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 berücksichtigen Graph der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1, Trägergerade der...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade \(g\) die Uferlinie. Die Ebene \(E\) stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der...

3.3.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.3 Zufallsgrößen Language: *
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (vgl. Merkhilfe) Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2},..., x_{n}\) sind, dann gilt: Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) der Zufallsgröße \(X\) \[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\). b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\)...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens 4 € ausbezahlen muss. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[P(Z \geq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}\] \(Y\): Anzahl wie oft die SMV mindestens 4 € ausbezahlen muss....

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
ein Bewerber, der nur rät, den Vortest besteht, wenn man ihm zwölf Schriftproben vorlegen würde. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben" Analyse der Angabe: "... von zwölf...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\] Maximaler Definitionsbereich \(D_{f}\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Abbildung 1 zeigt die Pyramide \(ABCDS\) mit den Eckpunkten \(A(-3|-3|0)\), \(B(3|-3|0)\), \(C(3|3|0)\), \(D(-3|3|0)\) und \(S(0|0|4)\) sowie den Punkt \(O(0|0|0)\), der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche \(CDS\) der...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\). a) Berechnen Sie...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
\leq 0{,}3\) "Ein Skeptiker meint, dass die Raucherrate... höher als 0,3 ist." \(\Longrightarrow \quad\) Gegenhypothese \(H_1\): \(p > 0{,}3\) "Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage..." \[\Longrightarrow \quad n = 10\] "......

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d \[\begin{align*}k \cdot f_{a}\left( \frac{1}{k} \cdot x \right) &= k \cdot \frac{1}{k} \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left(\frac{1}{k} \cdot x\right)^2 + \frac{1}{2}}...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
dass der Bewerber die Stelle mit mehr als 7 % Wahrscheinlichkeit bekommen würde, wenn er nur rät. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Zufallsgröße \(S \colon \enspace\) "Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben" Analyse der Angabe: "... von zwölf...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie die \(x_3\)-Koordinate von \(Q\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Planskizze (optional): Das Dreieck \(\textcolor{#cc071e}{FQR}\) hat bei \(\textcolor{#cc071e}{Q}\) einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsvektoren...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
Anteil \(p\) der Jugendlichen, die den Roman gelesen haben, wesentlich erhöht hat. Die Nullhypothese \(H_0 \colon p \leq 0{,}15\) soll mithilfe einer Stichprobe von 100 Jugendlichen auf einem Signifikanzniveau von 10 % getestet werden. Bestimmen Sie die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Lösung zu Teilaufgabe 2e {slider Strecken von Funktionsgraphen} Strecken von Funktionsgraphen Streckung in \(\textcolor{#0087c1}{x}\)-Richtung mit Streckungsfaktor \(\textcolor{#0087c1}{k}\,\): \[h(x) = f\left(\textcolor{#0087c1}{\frac{1}{k}} \cdot x...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Körper \(ABCDEFGH\), bei dem die quadratische Grundfläche \(ABCD\) parallel zur quadratischen Deckfläche \(EFGH\) liegt. Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_1x_3\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_2x_3\)-Ebene....

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Winkel, den die Ebene \(\textcolor{#cc071e}{L}\) mit der \(\textcolor{#0087c1}{x_1x_2}\)-Ebene einschließt (Schnittwinkel), ist...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\). Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(-13|20|0)\) berührt die Ebene \(E\). Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\). (zur Kontrolle: \(F(-5|4|2)\), \(r = 18\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe 12 € ergeben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d \[\begin{align*}&\quad \; P(\text{„Drei untersch. Auszahlungen, in Summe 12 €"}) =...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zum Term \(x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden \(g\) mit der Gleichung \(y = x + 7\) für \(G_{f}\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Äquivalenzumformung eines Funktionsterms,...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe g 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(g\) an, die den Wertebereich \([-2;4]\) hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a zum Beispiel: \(g(x) = 3 \cdot \sin{x} + 1\) oder \(g(x) = 3 \cdot \cos{x} +1\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Der vorgegebene Wertebereich \([-2;4]\) schließt die...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
auf die Knickpyramide Sonnenstrahlen, die im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{15}E}\) dargestellt werden. Der Schatten der Spitze der Knickpyramide auf dem horizontalen Boden wird durch den Punkt \(T\)...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens 0,05." auf einem Signifikanzniveau von 1 % durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller,...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\,\). (8 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad D = \mathbb R \, \backslash \, \{-1\}\] Lage der Extrempunkte von \(G_f\) Notwendige...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen sie die zugehörige Entscheidungsregel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die Entscheidungsregel wird mithilfe eines Signifikanztests ermittelt. Ein Signifikanztest gibt der Wahrscheinlichkeit für...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Geben Sie das Verhalten für \( x \to -\infty\) sowie für \(x \to +\infty\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{x^2-9}{x+2}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-2\}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = -\infty\] \[\lim...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Modell liefert der Graph der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(q\) vierten Grades mit \(q(x) = -0{,}11x^4 - 0{,}81x^2 + 5\,\). Der Graph von \(q\) wird mit \(G_q\) bezeichnet. Weisen Sie rechnerisch nach, dass \(G_q\) symmetrisch...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
beim Werfen mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Jeder grüne Würfel trägt auf fünf Seitenflächen die Augenzahl 1 und auf einer die Augenzahl 6. Jeder rote Würfel trägt auf jeweils zwei Seitenflächen die Augenzahlen 1, 3 bzw. 6. In einer...

Teilaufgabe 1h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\((a|f(a))\) und \((b|f(b))\) mit \(a...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe e 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
für die Beschriftung dieser drei Seiten, sodass bei einmaligem Werfen des Würfels der Erwartungswert für die Zahl \(\dfrac{31}{6}\) beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise wählt man \(a\), \(b\) und \(c\) stellvertretend für die...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB} \times...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybride befinden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \dfrac{0{,}25}{0{,}25 + 0{,}65} = \dfrac{5}{18}\) \[\begin{align*}P(X = 10) &= B\Big(40;\small...

1.6.5 Uneigentliches Integral

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
dessen Integrandenfunktion an der unteren oder oberen Integrationsgrenze nicht beschränkt ist, heißt uneigentliches Integral. 1. Der Integrationsbereich ist nach mindestens einer Seite nicht beschränkt Ist \(f\) eine im Intervall \([a;+\infty[\) bzw....

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an. a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\) b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\) c) \(\displaystyle...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
die Gerade mit der Gleichung \(x = 5\) als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 10 besitzen. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe h Planskizze (optional): Aus Symmetriegründen (vgl. Angabe) ergibt sich...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als 40 % ihres Tageshöchstwerts von 10 kW beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(p(x) = \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}; \; 4 \leq x \leq 20\) (vgl. Angabe Aufgabe 3)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von \(G_{h}\) einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{10}^{20} h(x)dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b {slider Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale} Berechnung...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
49 % der Pakete enthalten Kleidung. Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten 91 % Kleidung. Es wird ein Paket zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse: \(R\): „Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure."...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
= \mathbb R \backslash \{0\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \frac{e^{2x}}{x};\; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] Bestimmung der Lage des Extrempunkts Die notwendige Bedingung...

1.5.8 Funktionsbestimmungen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
\(m_{T}\) bzw. Steigungswinkel \(\alpha\) einer Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung und Abiturskript - 1.1.1 Lineare Funktion, Steigungswinkel) \(m_{T} = f'(x_{0})\) bzw. \(\tan...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien entliehen werden \(n = 200\) (Länge der Bernoulli-Kette) \(p = 0{,}15\) (Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „Familie entleiht einen Bollerwagen.") Schematische Darstellung: Kleinster...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt \(L_{0}(1|1|6)\) beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte \(L_{t}\left(t + 1|t + 1|6{,}2 - 5 \cdot (t -...

3.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Language: *
\(P_{A}(B) = P_{\overline{A}}(B) = P(B)\), so sind die Ereignisse \(A\) und \(B\) unabhängig (vgl. Abiturskript - 3.1.6 Unabhängigkeit von Ereignissen). An den Enden der Pfade eines Baumdiagramms stehen die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) und berechnen Sie die \(x\)-Koordinate von \(T\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \(f(x) = \dfrac{x^2-4}{x+3} = x-3 + \dfrac{5}{x+3}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\) (vgl. Teilaufgabe 1c) Erste...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\). a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Betrachtet werden folgende Ereignisse: \(H\): „Einfamilienhaus ist mit einer Holzpelletheizung ausgestattet." \(\overline{H}\):...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von 2,1 t. Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe f \[1\,\text{m}^3 \, \mathrel{\widehat{=}} \, 2{,}1\,\text{t}\] 1. Lösungsansatz: \(V = G \cdot h\) (siehe...

2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
Koordinatenachse sind gleich Null. Sonderfall: Eine Ebene verläuft durch den Ursprung. Schnittpunkt einer Ebene mit der \(x_{1}\)-Achse: \(S_{x_{1}}(s_{1}|0|0)\) Schnittpunkt einer Ebene mit der \(x_{2}\)-Achse: \(S_{x_{2}}(0|s_{2}|0)\) Schnittpunkt...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Dreieck \(BCS\) beschreibt im Modell die südliche Außenwand des Pavillons. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d.h. die Grundfläche des Pavillons hat eine Seitenlänge von 12 m. Geben Sie die Koordinaten des Punkts \(B\) an und...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
bestimmt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) mit \(P(X = 0) = \frac{1}{55}\) und \(P(X = 3) = \frac{14}{55}\). Abb. 1...

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *
die Lineare (Un-)Abhängigkeit der Richtungsvektoren \(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) (vgl. Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren). Gilt \(\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}\,, \; k \in \mathbb R\),...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu \(s = 5\) gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = e^{2x + 1}; \; D_{f} =...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
im Nenner gekürzt. Wenn das einmal nicht funktioniert, liegt ein Rechenfehler vor. \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\); \(\textcolor{#cc071e}{x_0 = -2}\) 1. Möglichkeit: \(\boldsymbol{h}\)-Methode Der Tipp in der Aufgabenstellung verweist auf die \(h\)-Methode,...

1.1.4 Wurzelfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.1 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Language: *
der Wurzelfunktion Wurzelgleichungen Beispielaufgaben Eine Funktion \(f\) mit \(\displaystyle f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\) und \(n \in \mathbb N\) heißt Wurzelfunktion. Der mathematische Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt Radikand und...

1.5.6 Umkehrfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
Kriterium für die Umkehrbarkeit einer Funktion Bestimmung des Funktionsterms \(f^{-1}(x)\) einer Umkehrfunktion Funktionsgraph einer Umkehrfunktion Beispielaufgabe Eine Funktion \(f \colon x \mapsto f(x)\) mit der Definitionsmenge \(D_{f}\) und der...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Der Graph jeder Logarithmusfunktion \(x \mapsto \log_{a}{x}\) verläuft durch die Punkte \((1|0)\) und \((a|1)\). Der Graph \(G_{f}\) der natürlichen Logarithmusfunktion \(f\) verläuft also durch die Punkte \((1|0)\)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Term I oder Term II ist, ohne einen Term von \(\boldsymbol{f''}\) zu berechnen. \[\textsf{I}\quad\; f''(x) = \frac{50}{(x^2-10x)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\] \[\textsf{II}\quad f''(x) = \frac{50}{(10x-x^2)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
dafür zu berechnen, dass fünf Mädchen und fünf Jungen einen Ball erhalten, verwendet Max den Ansatz \[\binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{5}\] Geben Sie an, ob Max dabei vom Modell „Ziehen mit...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp g\), \(d(h;A) = 3\) \(A(-2|1|4)\), \(B(-4|0|6)\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Es gibt unendlich viele Geraden, welche die Gerade \(g\) im Punkt \(P\) bzw. \(P'\)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp g\), \(d(h;A) = 3\) \(A(-2|1|4)\), \(B(-4|0|6)\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Es gibt unendlich viele Geraden, welche die Gerade \(g\) im Punkt \(P\) bzw. \(P'\)...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
\([SB]\) und \([SC]\) sind. Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d 1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz 2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodunkts (Flächeninhalt eines...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[\begin{align*}f(x) &= \sqrt{x - 2} + 1 &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= (x - 2)^{\frac{1}{2}}...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems. b) Geben Sie die Art und die...

1.2.1 Nullstellen und Polstellen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.2 Gebrochenrationale Funktion Language: *
Polstellen, Asymptoten und Funktionsbestimmungen Mind Map - Gebrochenrationale Funktionen (HD-PDF mit Wasserzeichen)1.02 MB Mind Map - Gebrochenrationale Funktionen (komprimiertes PDF ohne Wasserzeichen)471.81 KB Einzelne Folien - Gebrochenrationale...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E \colon x_{1} + x_{3} = 2\), der Punkt \(A\left( 0|\sqrt{2}|2 \right)\) und die Gerade \(\displaystyle g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nachweis des Wendepunkts \(W\) Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt von \(G_{f}\) lautet: {slider Wendepunkt} Anwendung...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik I Language: *
stehen, beschließt der Gemeinderat, eine Umfrage unter den Wahlberechtigten der Gemeinde durchzuführen. In Niederberg werden 1722, in Oberberg 258 Einwohner befragt. 1089 aller Befragten äußern keine Einwände gegen die Windkraftanlage, darunter sind...

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
Zufallsgröße \(X \colon \enspace\) "Anzahl der Defekte des automatischen Mechanismus" Aus Teilaufgabe 4a ist bekannt: \(n = 15\,, \enspace p = 0{,}1\) Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(15;0{,}1)\) binomialverteilt. Die Standardabweichung ist ein Maß...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] \(g \colon y = -3\) bzw. \(g(x) = -3\) Flächeninhalt \(A\) der...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] \(g \colon y = -3\) bzw. \(g(x) = -3\) Flächeninhalt \(A\) der...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(p \colon x \mapsto \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}\); die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{p}\) von \(p\). Beschreiben Sie, wie \(G_{p}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion...

3.2.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.2 Urnenmodelle Language: *
weiße Kugel) zu ziehen. Ohne Beachtung der Reihenfolge entspricht dies dem Ziehen mit einem Griff (vgl. Abiturskript - 3.2.1 Grundformeln der Kombinatorik). Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge Werden aus einer Urne mit \(N\)...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von 10 Cent pro Kilowattstunde (kWh). Die in \([4;20]\) definierte Funktion \(x \mapsto E(x)\) gibt die elektrische Energie in kWh an, die...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Treffer von Lisa beschreibt. {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\). Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\). Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_1^x f(t)\,dt\). Berücksichtigen...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
+ 4}; \; D_{k} = \mathbb R\] Nullstellen von \(k\) Die gebrochenrationale Funktion \(k\) besitzt die Nullstellen \(x_{1} = 0\) und \(x_{2} = 2\) Begründung (nicht verlangt) Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(k\) sind alle Nullstellen des...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion \(F\) von \(f\), deren Graph durch den Punkt \((-1|5)\) verläuft. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 8x^3 + 3x; \; D_f = \mathbb R\] Zunächst wird die Menge aller Stammfunktionen \(F_C =...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Um für die Berechnung des Integrals \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\) die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 +...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist. {/sliders} Ansatz der Tangentengleichung: \(t \colon y = \textcolor{#cc071e}{m}x + \textcolor{#0087c1}{c}\) Es ist zu zeigen, dass \(\textcolor{#0087c1}{c} = \textcolor{#0087c1}{-f_a(u)}\) der...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\). Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\). (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
zu Teilaufgabe 2d Planskizze (optional) Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-\ln{3}}^{b}g(x)dx = \textcolor{#0087c1}{\int_{-\ln{3}}^{0}g(x)dx} + \textcolor{#cc071e}{\int_{0}^{b}g(x)dx}\) errechnet die Maßzahl des Inhalts der Fläche, die...

2.1.5 Spatprodukt

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
\circ (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})\) (Beispiel) Berechnung eines Spatprodukts (vgl. Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren und Abiturskript - 2.1.4 Vektorprodukt): \[\begin{align*}\overrightarrow{a} \circ (\overrightarrow{b}...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Koordinaten des Eckpunkts \(S\) Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \([PR]\) (vgl....

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
welche die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt. Nordufer \[A_{k}(x) = \frac{8}{1 + 7e^{kx}}; \; k...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\] \[D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\] Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
&= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left( \frac{8}{x}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{4}{x^{2}} \right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{\frac{8}{x}}^{\to\,0}}{1 +...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln. a) Erstellen Sie ein...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
oder den Faktor \(-0{,}5\) des anderen Exponenten durch die Zahl \(-0{,}4\). Es ergeben sich somit folgende Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\): \[f_{1}(x) = -3 \cdot \left( e^{0{,}5x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\] \[f_{2}(x) = -3 \cdot \left( e^{0{,}4x} +...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
für die \(d(x)\) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Extremwertaufgabe, Tangentensteigung, Normalensteigung \[d(x) = \sqrt{0{,}04x^{4} - x^{2} + 25}\] 1. Lösungsansatz:...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\). Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Die Aufgabenstellung gibt die Bedingung \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) vor. Außerdem gilt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \(X_n\): Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Die Zufallsgröße \(X_n\) ist nach...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\)...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Im Folgenden wird ein Glücksrad mit n gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 0 bis n - 1 durchnummeriert sind, betrachtet. Bestimmen Sie für n = 5 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Flächeninhalt \(A(c)\) des Rechtecks \(PQRS\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(c\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}; \; c \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe 1e) Notwendige Bedingung für einen...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Zuordnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) Da \(\boldsymbol{P(X = 4) = P(X = 10)}\) gilt (vgl. Teilaufgabe a) kann Diagramm III nicht die Wahrscheinlichkeitverteilung von \(X\) darstellen. Um die...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
des Nennerterms nicht definiert. \[\begin{align*} x^{2} - 9 &= 0 &&| + 9 \\[0.8em] x^{2} &= 9 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 3 \end{align*}\] oder \[\begin{align*} \underbrace{x^{2} - 9}_{\large{a^{2} \, - \, b^{2}}} &= 0 & &| \; \text{3....

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck \(CDS\) dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge 1,80 m zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende 1,40 m breite Öffnung in...

2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
\(\overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) einen Normalenvektor \(n_{E}\) der Ebene \(E\) (vgl. Abiturskript - 2.1.4 Vektorprodukt). \(\overrightarrow{n}_{E} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\) mit \(\overrightarrow{n}_{E} \perp...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\). b) Untersuchen Sie die...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
- auch bei unveränderten Flugbahnen - nicht zwingend kollidieren. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Flugbahn von Flugzeug \(F_1\): \[g_1\, \colon \, \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \lambda \cdot \begin {pmatrix} 5 \\ 5...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gerade \(OS\) die Ebene \(E_k\) schneidet, unabhängig von \(k\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f \[E_k \colon 4k \cdot x_1 + 4\sqrt{1-k^2} \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 - 12 = 0; \;k \in [-1;1]\] \(\textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 4k \\4\sqrt{1-k^2} \\...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h(x) =...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Person älter als 40 Jahre ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Eine klassische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „Mindestens 1 Treffer" „Bestimmen Sie die Anzahl der Abonnenten, die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Gummibärchen, das in die Tüte gelangt, ist ein rotes Gummibärchen." Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}25}\) (Anteil roter Gummibärchen, vgl. Angabe Aufgabe 2) \(q = 1 - p = 0{,}75\) (Anteil andersfarbiger...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\) b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\) a) Erste Ableitung der Funktion \(f(x)\) \[f(x) = (3x + 2) \cdot...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt 600 000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik I Language: *
Berechnen Sie, welcher Geldbetrag im Fall eines Gewinns ausgezahlt werden muss, damit im Mittel eine Einnahme von 1,25 Euro pro Spiel für die Ausstattung des Spielbereichs erwartet werden kann. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b 1. Lösungsansatz:...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Lage und Art des Extrempunkts des Graphen einer Funktion bestimmen \[f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right); \;...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
auch bei unveränderten Flugbahnen nicht zwingend eine Kollision der beiden Flugzeuge folgt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Flugbahn von Flugzeug \(F_1\): \[g_1 \colon \enspace \overrightarrow X = \begin {pmatrix} -10 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} + \lambda...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
dafür, dass unter 200 zufällig ausgewählten Paketen mehr als ein Viertel Retouren sind. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \(X\): Anzahl der Retouren unter 200 zufällig ausgewählten Paketen \[\begin{align*}P_{0{,}2}^{200}(X > 50) &= 1 - P_{0{,}2}^{200}(X...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, welche der Test höchstens nennen darf, damit die Trefferwarscheinlichkeit \(p = \frac{1}{x}\) mindestens einen bestimmten Wert annimmt. {slider Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette} Bernoulli-Experiment,...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
jeweils zwei gegenüberliegende zueinander parallel sind (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten). (vgl. Abiturskript - 2.1.6 Nachweis von Vierecken, spezielle Vierecke) Planskizze (schematisch, optional): Der Punkt \(C\) soll auf der Gerade \(h\)...

1.7.2 Nullstellen einer Funktionenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
\(f_{k}\). Eine Streckung in \(y\)-Richtung hat dagegen keinen Einfluss auf die Nullstellen (vgl. Abiturskript - 1.1.7 Entwicklung von Funktionen). \( f_{k}(x) = g(x) + k\) oder \(f_{k}(x) = g(x + k)\) oder \(f_{k}(x) = g(kx) \quad \Longrightarrow...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Betrachtet werden die Schar der Geraden \(g_k \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1+k\\1-k\\-1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) und \(k \in \mathbb R\) sowie der Punkt...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) drittens Grades mit Definitions­menge \(\mathbb R\). \(G_{f}\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 0\), \(x = 5\) und \(x = 10\) und verläuft durch den Punkt \((1|2)\)....

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\ -1 \end{pmatrix}\) repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt \(G\) und schneidet die Seitenwand \(OPQR\) im...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird. In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\),...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
darstellt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Abstand Punkt - Ebene, Trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck 1. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Ebene Planskizze: Den Koordinaten der Spitze \(S\) der Pyramide \(ABCDS\) ist zu entnehmen, dass...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
Der Umfrage zufolge hatten 88 % der befragten Jugendlichen den Roman zum Zeitpunkt des Kinostarts noch nicht gelesen, 18 % sahen die Verfilmung. Von den Befragten, die laut Umfrage den Roman zum Zeitpunkt des Kinostrats bereits gelesen hatten, gaben 60...

1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
0\) entstehen die Graphen der zugehörigen Scharfunktionen zusätzlich durch Spiegelung an der \(x\)-Achse (vgl. Abiturskript - 1.1.7 Entwicklung von Funktionen). Die Lage und Art der auf der \(y\)-Achse liegenden Extrempunkte der Kurvenschar verändert...

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
den Abstand des Punktes von der Ebene. Abstand eines Punktes von einer Ebene Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt: Vektordarstellung \[E \colon...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene \(E\) fest. Beispielsweise wählt man die Punkte \(A\), \(B\) und...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\). Die Tabelle zeigt die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\). Die Tabelle zeigt die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
die beiden Aktionen 300 € beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Zu erwartende Einnahme pro Spiel in Euro: \[3 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{4} + (-3) \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{6}\] Anzahl der Spiele:...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b !!! Derzeit in Bearbeitung !!! Nachweis, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt Die notwendige Bedingung...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
x \mapsto \int_{-2}^x f(t) dt\). Begründen Sie, dass die in \(]-3;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)}\) für \(x > -3\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Zeigen Sie damit, dass \(\lim...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von \(G_f\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = 2e^{-0{,}5x^2} \cdot (1 - x^2)\,\); y-Koordinate des Hochpunkts: \(\frac{2}{\sqrt{e}}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}\,;...

2.2.1 Geradengleichung in Parameterform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *
+ \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \; \lambda \in \mathbb R\] \[\overrightarrow{u} = k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \enspace k \in \mathbb R \quad \Longrightarrow \quad g \parallel x_{1}\text{-Achse}\] \[\overrightarrow{u} = k \cdot...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(A(19|0|0)\), \(B(0|19|0)\), \(E(12|0|7)\) und \(F(0|12|7)\) (vgl. Abbildung 1). Das Viereck \(ABFE\) liegt in der Ebene \(L\). Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABFE\) ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist. (3 BE)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Ebene \(E\) (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Da die Strecke \([PQ]\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht,...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
ausgewählten Fahrzeugen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von \(X\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[\mu = 200 \cdot 0{,}9 = 180\] \[\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} \approx 4{,}2\] Ergänzende Erklärung (nicht...

1.6.1 Stammfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
\(f(x)\), welche sich durch eine additive Konstante \(C\) voneinander unterscheiden. Beispiel: \(f(x) = x^{2}\) \(F(x) = \frac{1}{3}x^{3} + 5\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)\), denn es gilt: \(F'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} + 0 = x^{2} = f(x)\)....

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
kleinst- und die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[\mu = 400 \cdot 0{,}05 = 20\] \[\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} \approx 4{,}4\] \[\mu - \sigma = 15{,}6\]...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
sind. Einer dieser Kreisbögen erstreckt sich im Bereich \(0 \leq x \leq 2\) und ist Teil des Kreises mit Mittelpunkt \(M(0|-1)\) und Radius 3. Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel des zu diesem Kreisbogen gehörenden Kreissektors und ermitteln Sie damit...

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Motive auf den Anstecken befinden, ist aus Teilaufgabe 4b bekannt. \[P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) = \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\] Diese Wahrscheinlichkeit soll größer als 90 % sein. Nach geeigneten Umformungen ergibt die Bedingung eine...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} -\frac{3}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x - 2}_{\to\,-\infty}}} = 0^{\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{+}}}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest. a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist. b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\). c) Berechnen Sie die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\). Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g =...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) in Abbildung 1. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[F(x) = \int_0^x f(t)\,dt\,; \quad D = [-2;2]\] Aus Teilaufgabe 4a ist bekannt: \[F(0) = \int_0^0 f(t)\,dt = 0 \quad \Longrightarrow \quad (0|0)\] \[F(2) = \int_0^2...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Berechnen Sie den Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die Gerade \(g_1\colon \enspace \overrightarrow X = \overrightarrow P + \lambda \cdot \left(\begin{smallmatrix} 5 \\ 5 \\ 1...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E\;\colon\,2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\). Die Ebene \(E\) schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a 1. Lösungsansatz: Spurpunkte, Spurgerade Die...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(t) dt\) für \(0 \leq a...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten. {/sliders} Ausführliche Begründung Schematische Darstellung: Graph von \(\textcolor{#0087c1}{A'}\) mit Hochpunkt \(\textcolor{#0087c1}{HoP(x_{0}|A'(x_{0}))}\) sowie Graph von \(A\) mit Wendepunkt \(W(x_{0}|A(x_{0})\)...

1.7.3 Graph einer Scharfunktion durch einen Punkt

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
\end{align*}\] Die Logarithmusgleichung lässt sich mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen lösen (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion sowie Abiturskript - 1.3.3 Exponential- und...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: \(E\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140." \(F\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150." (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\). Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig ist. Geben...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Koordinaten von \(R\) und ermitteln Sie die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht auf Meter gerundet. (zur Kontrolle: \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate von \(R\): \(1{,}04\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Da der Bohrkanal die wasserführende...

1.5.5 Newton-Verfahren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
(Rechenvorschrift) weitere (genauere) Näherungswerte der Nullstelle. Newton'sche Iterationsformel (vgl. Merkhilfe) \[x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\,; \enspace n \in \mathbb N\] Newton-Verfahren: Ist \(x_{0}\) ein Startwert in der...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\,(0|1|2)\) und \(B\,(2|5|6)\). Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben. Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = x - 3 + \dfrac{5}{x+3}\; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\] Einzeichnen und Bedeutung der beiden Geraden...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Lösungsansatz: Lage der Punkte \(A\) und \(M\) betrachten 2. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade 1. Möglichkeit:...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Berechnen Sie das Volumen des Körpers \(ABCDEF\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[A_{\text{ABC}} = 6\cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 13{,}5\] \[V_{\text{ABCDEF}} = 13{,}5 \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot 13{,}5...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \(A\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss." \(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau", die binomialverteilte...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Sie eine Gleichung der Ebenen \(E\), in der das Dreieck \(ABC\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h : x \mapsto 6 \cdot e^{-0{,}5x} + 1{,}5\). Die Abbildung zeigt den in \(\mathbb R\) streng monoton fallenden Graphen \(G_h\) von \(h\) sowie dessen Asymptote, die durch die Gleichung \(y =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
die nicht in \(H\) liegen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Mittelpunkt \(M\) der Strecke \([AC]\): \[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\-6\\9 \end{pmatrix}\right] =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
die nicht in \(H\) liegen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Mittelpunkt \(M\) der Strecke \([AC]\): \[\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix}1\\2\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\-6\\9 \end{pmatrix}\right] =...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Kurve fortgesetzt. Während der Fahrt entlang dieser Kurve erreicht die Skifahrerin eine Stelle, die dem Punkt \(D(18|-2|2)\) entspricht. Der Kreisbogen, der diese Kurve beschreibt, ist Teil eines Kreises mit Mittelpunkt \(M(m_1|m_2|m_3)\). Die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(k > 0\) legen die auf \(G_{f}\) liegenden Punkte \(P_{k}(-k|f(-k))\) und \(Q_{k}(k|f(k))\) gemeinsam mit dem Punkt \(R(0|1)\) ein gleichschenkliges Dreieck \(P_{k}Q_{k}R\) fest. Berechnen Sie für \(k = 2\) den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks...

1.6.3 Bestimmtes Integral

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
Änderungsrate einer Größe in Abhängigkeit von der Zeit \(t\), so errechnet das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{t_{1}}^{t_{2}} f(t)\,dt\) den Wert der Gesamtänderung der Größe im Zeitintervall \([t_{1};t_{2}]\). Beispiel: Die Funktion \(f\)...

2.4.6 Abstand paralleler Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *
Lagebeziehung von Ebenen). Beispielaufgabe Die Grundfläche \(ABC\) der Pyramiden \(ABCS\) liegt in der Ebene \(E \colon -x_{1} - x_{2} + 6x_{3} = 0\). Die Spitzen \(S\) der Pyramiden \(ABCS\) liegen in der Ebene \(F \colon \overrightarrow{X} =...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt \(H\,(11|3|6)\) der Deckfläche \(DCRS\) aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
b Die Koordinaten von \(R\) lassen sich durch Vektoraddition bestimmen. Beispielsweise wie folgt: Planskizze optional \(P(1|2|3)\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
drei Pyramiden \(ABFS\), \(HDES\) bzw. \(EFGHS\) ist (vgl. Abbildung 2). Die Pyramide \(ABFS\) hat das Volumen \(\sf{33\frac{1}{3}}\) und die Pyramide \(HDES\) hat das Volumen \(\sf{13\frac{1}{3}}\). Bestimmen Sie das Volumen des gesamten Körpers. (4...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen. Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion \(h\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g Der Graph der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{x}\) verläuft zwischen den Nullstellen \(x = 0\) und \(x = \pi\) oberhalb der...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die beiden Kugeln \(k_{1}\) mit Mittelpunkt \(M_{1}(1|2|3)\) und Radius \(5\) sowie \(k_{2}\) mit Mittelpunkt \(M_{2}(-3|-2|1)\) und Radius \(5\). Zeigen Sie, dass sich \(k_{1}\) und \(k_{2}\) schneiden. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Teilaufgabe 2c Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge", Laplace-Wahrscheinlichkeit Von den 100 Autos im Parkhaus sind 40 mit ESP ausgerüstet (vgl. Angabe). Jedes der 30 zufällig ausgewählten Autos wird einmalig...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\) (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P_{\overline{V}}(R)} &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{\overline{V}}(\overline{R})} \\[0.8em] &= 1 -...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteiligung an der App nur zustimmen, wenn mindestens 15 % der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat....

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Geben Sie für die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \ln (2013 - x)\) den maximalen Definitionsbereich \(D\), das Verhalten von \(f\) an den Grenzen von \(D\) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen an. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term \(\displaystyle 1 - \sum \limits_{i\,=\,0}^{8} \binom{30}{i} \cdot 0{,}2^{i} \cdot 0{,}8^{30\,-\,i}\) berechnet werden kann, und geben Sie...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt. Anmerkung: Die gesuchte gebrochenrationale Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Abb. 1 Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) die Eckpunkte eines Quaders sind (vgl. Angabe), haben die Diagonalen \(\textcolor{#cc071e}{[AB]}\) und \(\textcolor{#cc071e}{[CD]}\) die gleiche Länge. \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\),...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\mathbb R; \; m \in \mathbb R\] Für \(-4 < m...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A\,(0|1|2)\) und \(B\,(2|5|6)\). Zeigen Sie, dass die Punkte \(A\) und \(B\) den Abstand 6 haben. Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen auf \(g\) und haben von \(A\) jeweils den Abstand 12. Bestimmen Sie die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Schnittfigur von \(k_{1}\) und \(k_{2}\) ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[k_{1} \colon M_{1}(1|2|3); \; r_{1} = 5\] \[k_{2} \colon M_{2}(-3|-2|1); \;...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(t\), für die der jeweils zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b 1. Lösungsansatz: Elemetargeometrischer Ansatz \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\),...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der stumpfe Winkel \(\alpha\) ergibt sich als Suplementärwinkel zum Schnittwinkel \(\beta\) (Ergänzungswinkel zu 180°). \[\alpha = 180^{\circ} - \beta\] {slider Schnittwinkel zweier Ebenen} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen \[E_1\colon...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Samenkörner - von jeder fruchtragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können. Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist,...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
von der Typennorm ab. \(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert. Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\displaystyle...

Teilaufgabe k

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}25t - 25\) mit \(0 \leq t \leq 100\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist \(t\) die seit der Fertigstellung des...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt \(B(40|105|0)\) beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden. Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels. (4 BE)...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
einen solchen einrichten zu lassen. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Steigungswinkel der Flugbahn von \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik I Language: *
p \leq 0{,}3\), wobei \(p\) die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass eine 20-24-jährige Frau raucht. Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage "Sind Sie Raucherin?" und erhält folgendes Antwortprotokoll: "ja - nein - ja - nein - ja - ja -...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{IJ} \times \overrightarrow{IL}\) der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Fehler 2. Art, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie nicht zutrifft, beträgt dann: \[P_{0{,}65}^{200}(Y \leq 131) = 0{,}58520 \approx 58{,}5\,\% > 50\,\%\] Ergänzende Erklärung (nicht verlangt) Der Fehler 2. Art bedeutet: Die...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 5 weiße, 2 rote und 3 grüne Gummibärchen Die drei dem Tütchen entnommenen Gummibärchen können entweder alle weiß oder alle...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Teilaufgabe d Nachweis, dass für \(0 \leq x \leq 5\) die Gleichung \(f(5 - x) = f(5 + x)\) erfüllt ist \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\] \[\begin{align*}f(\textcolor{#0087c1}{5 - x}) &= 2 \cdot \sqrt{10 \cdot \textcolor{#0087c1}{(5 - x)} -...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Der Graph von \(f\) schließt mit der \(x\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = b\) mit \(b > 1\) ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(b\), für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat. (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\): Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. \(X\) gibt die dabei erzielte Augensumme an. Aus einem Behälter mit 60...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft. Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt. (2 BE) Lösung...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
die Koordinaten der Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in \{1;2;3;\dots\}\] Für gemeinsame Punkte aller Graphen der Schar muss der Term \((x - 3)^k\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\). Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
für \(x \to +\infty\) an und begründen Sie, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Monotonieverhalten und Verhalten im Unendlichen des Graphen einer Funktion, Wertemenge einer Funktion Anmerkung: Der...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[F(x) = 4 \cdot...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\) angegeben wird. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\] Der Term ist das Ergebnis des folgenden...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Nullstelle und in \(x = -3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als Asymptote. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Ansatz: Gebrochenrationale Funktion \(\displaystyle k(x) =...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Die binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) hat die Parameter \(n = 8\) und \(p_Y = 1 - p_X\). Kennzeichnen Sie in Abbildung 2 eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit \(P(Y \geq 6)\) darstellt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Ausführliche Erklärung (nicht...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
gegen Zuzahlung ein Premiummenü anzubieten, möchte diesen Service jedoch nur dann einrichten, wenn er von mehr als 15 % der Passagiere gewünscht wird. Die Nullhypothese "Höchstens 15 % der Passagiere wünschen das Angebot eines Premiummenüs." soll auf...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedene Motive 3 Anstecker Da...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\displaystyle \sum \limits_{k\,=\,0}^{25}\binom{200}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot (1 - 0{,}1)^{200 - k}\) berechnet werden kann. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mögliche Formulierungen: „Unter den 200...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik I Language: *
Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
der Nullstellen von \(G_{f}\) Der Verlauf von \(G_{f}\) zeigt, dass die Funktion \(f\) die einfache Nullstelle \(x = -1\) mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) und die einfache Nullstelle \(x = 1\) mit Vorzeichenwechsel von \(x\) nach \(-\) hat....

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpelletheizung? (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Unter der Bedingung, dass ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet ist, soll die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
dafür, dass er eine Auszahlung erhält. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \[P(\text{„Auszahlung"}) = 0{,}9^4 = 0{,}65610 \approx 65{,}6\,\%\] Ergänzende Erklärung (nicht verlangt) Der Spieler bekommt eine Auszahlung, wenn er viermal keine „0" erzielt....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[\binom{8}{2} \cdot 74 \cdot 73 = 151256\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Da 6 Zeichen des 8 Zeichen langen Kennworts mit den Buchstaben des Namens „Niclas"...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) gegeben. Bestimmen Sie den Wert von \(a\), sodass die Gerade...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Anlässlich einer Studie wurden 300 weibliche und 700 männliche Bewohner einer Großstadt im Alter von 18 bis 30 Jahren dazu befragt, ob sie Interesse an Car-Sharing haben. 20 % der Befragten waren weiblich und gaben an, nicht interessiert zu sein. 8 %...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie die Figur, in der die Ebene \(L\) den Würfel schneidet, in die Abbildung ein. (mögliches Ergebnis: \(L\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 6\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe a \[A\,(0|0|0), \enspace D\,(0|6|0), \enspace G\,(6|6|6)\] Gleichung der Ebene \(L\)...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine Retoure ist, größer als 90 % ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Eine klassische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „Mindestens 1 Treffer" „Ermitteln Sie, wie viele Pakete mindestens...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_k\) mit \(h_k(x) = (x - 3)^k + 1\) und \(k \in \{1;2;3;\dots\}\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) das Verhalten von \(h_k\) für \(x \to -\infty\) an und begründen Sie Ihre...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie eine Gleichung der Ebene \(F\), in der das Dreieck \(DAS\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 und anschließend durch Rechnung. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \[f(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x + 1}\,; \quad 0 \leq x \leq 15\] Graphische Lösung Die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte zwischen...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten...

2.7.3 Lagebeziehung Gerade - Kugel

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.7 Die Kugel Language: *
\(d(M;g)\) des Mittelpunktes \(M\) von der Geraden \(g\) bestimmt. Dieser Abstand kann, wie in Abschnitt Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade beschrieben, ermittelt werden. Es lassen sich drei Fälle unterscheiden: Die Gerade \(g\) und die Kugel...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau. An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(W\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser ist gleich der Größe des spitzen Winkels, den die Normalenvektoren der Ebenen einschließen (Skizze nicht...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
gespielt. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3\) berechnet werden kann. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Zum Beispiel: „Das Spiel...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Zeichnen Sie die Pyramide \(EFGHS_{15}\) in Abbildung 1 ein. Die Seitenfläche \(EFS_{15}\) und die Grundfläche \(EFGH\) dieser Pyramide schließen einen Winkel ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Größe dieses Winkels kleiner als 45° ist;...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Sie jeweils eine Gleichung der Gerade \(g\) an, für die gilt: a) Die Gerade \(g\) ist eine Ursprungsgerade und der Punkt \(P(1|3|4)\) liegt auf \(g\). b) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\). c) Die Gerade...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Die Gerade mit der Gleichung \(y = 1{,}1\) teilt im Modell den vom Kunstwerk eingenommenen Teil der Wand in zwei unterschiedlich gestaltete Bereiche. Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Funktion \(q\) das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \[g_{1{,}4}(x) = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 1{,}4\,; \quad x \geq 0\] Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt Graph der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie die mittlere Steigung des Graphen von \(f\) im Bereich \(-1 \leq x \leq 1\) auf Hundertstel genau und bestimmen Sie grafisch die Steigung des Graphen von \(f\) in seinem Wendepunkt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) =...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
eine Betrachtung von oben dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mögliche Vektoren zu Abb. 3 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) zu Abb. 4 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
(4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Richtungsvektor von \(g\) (einfallender Lichtstrahl): \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe b) Richtungsvektor von \(h\) (reflektierter Lichtstrahl): \(\overrightarrow{QR}...

3.1.3 Laplace-Experiment, Laplace-Wahrscheinlichkeit

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Language: *
Laplace-Experiment Ein Zufallsexperiment bei dem alle Ergebnisse \(\omega_{i}\) aus dem Ergebnisraum \(\Omega = \{\omega_{1}, \omega_{2},..., \omega_{k}\}\) (alle möglichen Versuchsausgänge) gleichwahrscheinlich sind, heißt Laplace-Experiment. Ist...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(p \colon x \mapsto 0{,}5 \cdot (x + 2)^2 - 0{,}5\), die die Nullstellen \(x = -3\) und \(x = -1\) hat. Für \(x \in D_{f}\) gilt \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{p(x)}\). Abb. 1...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Staulänge, beschrieben durch die Funktion \(f\), maximal ist. Die...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(ABC\) und \(AC'B\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Schnittwinkel zweier Ebenen, Trigonometrie - rechtwinkliges Dreieck 1. Lösungsansatz: Schnittwinkel zweier Ebenen Der Punkt \(C'\) geht durch Spiegelung des Punktes \(C\) am Punkt \(Z\) hervor....

2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
= \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\] Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
j \(x\): Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern \(f(x)\): Spritzweite in Metern \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\] Berechnung der Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6 m beträgt Bedingung: \(f(x) = 6\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
und Radius \(2\sqrt{6}\). Geben Sie eine Gleichung von \(K\) in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf \(K\) liegt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Gleichung der Kugel \(K\) in Koordinatenform...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
der auf km/h genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 100\) und \(p = 0{,}8\) beschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht \(B(100; 0{,}8; 77)\) näherungsweise dem Anteil der mit...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\). Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittfläche des Tunnels. (zur Kontrolle: \(c = \frac{\pi}{10}\), Inhalt der Querschnittfläche: \(\frac{100}{\pi}\) m²) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Allgemeine Kosinusfunktion,...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" erfolgen (vgl. Merkhilfe). \(A\): „Anna und Tobias gehören dem Team an." 1. Lösungsansatz: Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge" {slider Urnenmodell: „Ziehen ohne...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(g\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Abb. 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = x^3+x^2; \;D_g = \mathbb R\] Der Inhalt der Fläche, die der Graph von \(g\) mit der \(x\)-Achse einschließt,...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\(X\) dargestellt. Abb. 2 Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(p_X\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \(\textcolor{#0087c1}{n = 8}\); \(\sigma = \dfrac{4}{3}\) Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{8};\textcolor{#cc071e}{p_X})\)...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die \(x_1x_2\)-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt \(M\,(5|6{,}5|3)\) ist Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche \(BSTC\) im Punkt \(W\) berührt. Berechnen Sie...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A\,(10|2|0)\), \(B\,(10|8|0)\), \(C\,(10|4|3)\), \(R\,(2|2|0)\), \(S\,(2|8|0)\) und \(T\,(2|4|3)\) gegeben. Der Körper \(ABCRST\) ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grungfläche \(ABC\),...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ein Motorboot fährt mit konstanter Motorleistung auf einem Fluss eine Strecke der Länge 10 km zuerst flussabwärts und unmittelbar anschließend flussaufwärts zum Ausgangspunkt zurück. Mit der Eigengeschwindigkeit des Motorboots wird der Betrag der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt. (zur Kontrolle:...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *
50 % aller Stimmen erhalten würde, eingeschränkt werden (siehe auch Teilaufgabe 2b). \(\Longrightarrow \quad P(\text{„Fehler 1. Art"}) \leq 0{,}05\) Rechsseitiger Signifikanztest {slider Einseitiger Signifikanztest} Einseitiger Signifikanztest zum...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Arithmetisches Mittel der beiden Näherungswerte für \(F(1)\) Näherungswert aus Teilaufgabe 2b:...

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *
\(g\) und der Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) zueinander senkrecht sind (vgl. Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von Vektoren, Anwendungen des Skalarprodukts). Liegt die Gleichung der Ebene \(E\) in der Parameterform vor,...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
(Tor) in einem gemeinsamen Punkt schneiden (vgl. Teilaufgabe e). \[g_{0{,}8} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\] Strecke \([AB]\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\left( \dfrac{3}{4}...

1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
Ableitung beschrieben. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an (vgl. 1.5.1 Die Ableitung). Die zweite Ableitung, d.h. die Ableitung von der ersten Ableitung, gibt die Änderung (Zunahme oder...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
verteilt, wobei sich die Bilder in einem Päckchen nicht unterscheiden müssen. Begründen Sie, dass der Term \(\dfrac{200 \cdot 199 \cdot 198 \cdot 197 \cdot 196}{200^5}\) die Wahrscheinlichkeit dafür beschreibt, dass sich in einem Päckchen fünf...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \; D_{f} = \mathbb R\] {slider...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
\[f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\] Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(x = 1\), d. h. es gilt \(\ln{1} = 0\) (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\) entspricht der Flächenbilanz der...

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
D_{g} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 4) \[k(x) = x - g(x); \; D_{k} = \mathbb R\] Beispielsweise ist \(K(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion von \(k(x)\). Mögliche Vorgehensweise (nicht verlangt) Zunächst...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Funktion \(f\) ist in \(D_f\) umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) von \(f\) an und zeigen Sie, dass \(f^{-1} (x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) gilt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e \[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x}\,;...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei oder drei Retouren entnommen werden. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \[\frac{\displaystyle \binom{6}{2} \cdot \binom{19}{8} + \binom{6}{3} \cdot \binom{19}{7}}{ \displaystyle \binom{25}{10}} \approx...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
der Beschäftigten ein Jobticket." \(\Rightarrow\;P_B(J) = 0{,}5\) Außerdem bereits bekannt (vgl. Angabe Aufgabe 3, Teilaufgabe 1a) \(P(B) = 0{,}2\); \(P(J) = 0{,}6\) „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein... Beschäftigter..., der ein...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Gleichung von \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E\;\colon\, 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Das Dreieck \(BCS\) beschreibt die südliche Außenwand des Pavillons (siehe Angabe) und repräsentiert somit die Ebene \(E\)....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die in \(\mathbb R \, \backslash \, \{-3;-1\}\) definierte Funktion \(\displaystyle k \colon x \mapsto 3 \cdot \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} \right) - 0{,}2\) stellt im Bereich \(-0{,}5 \leq x \leq 2\) eine gute Näherung für die Funktion...

2.1.1 Rechnen mit Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
im Raum. Sie gelten analog für Vektoren in der Ebene. Schreibweise als Spaltenvektor \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\) Die reellen Zahlen \(a_{1}, a_{2}\) und \(a_{3}\) heißen Vektorkoordinaten. Nullvektor...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \frac{1}{x^2} - 1; \; D_g = \mathbb R \backslash \{0\}\] {slider Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale} Berechnung...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
% noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten ● mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen. ● genau acht bereits...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
(dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt: Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. \(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\) und \(b\)....

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik I Language: *
viele weibliche wie männliche Personen, wobei 80 % der weiblichen und 75 % der männlichen Bewerber eine Durchschnittsnote von 1,5 oder besser angeben. Bestimmen Sie den Anteil der Personen unter allen Bewerbern, die eine schlechtere Durchschnittsnote...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Anmerkung: Der Funktionsterm der gesuchten Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen. 1. Möglichkeit: Gebrochenrationale Funktion Beispielsweise erfüllen die Graphen folgender gebrochenrationaler Funktionsterme die...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB}...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von 10 m über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt \(K_{2}\) beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie 18 Sonderzeichen. Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen lang ist und nur aus...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Möglichkeit: Hessesche Normalenform der Ebenen \(E\) anwenden 2. Möglichkeit: Parallele Hilfsebene zu Ebene \(E\) aufstellen 3....

1.1.5 Betragsfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.1 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Language: *
der Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) Beispiel: \(f(x) = x\) \[\vert f(x) \vert = \vert x \vert = \begin{cases} \hspace{13px}x &\text{für} \quad x \geq 0 \\[0.8em] -x &\text{für} \quad x...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt \(\sf{\frac{1}{9}}\). Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 %...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Folglich liegt der Mittelpunkt \(M\) des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) auf der Mitte der Strecke \([AB]\) (Hypotenuse). 1. Lösungsansatz: Mittelpunkt \(M\) berechnen und \(\overrightarrow{MS} \perp E\) nachweisen Der Mittelpunkt \(M\) des Umkreises des...

1.6.2 Unbestimmtes Integral

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
Integrationskonstante. Wichtige unbestimmte Integrale (\(C \in \mathbb R\), vgl. Merkhilfe) \[\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq - 1)\] \[\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\vert x \vert} + C\] \[\int \sin{x} \, dx = -\cos{x} + C\] \[\int...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}\). Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[F(x) = 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}; \; D_F...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\). Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(\displaystyle h \colon x \mapsto \frac{3}{e^{x + 1} - 1}\) mit Definitionsbereich \(D_{h} = ]-1;+\infty[\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{h}\) von \(h\). Abb. 2 Begründen Sie anhand des Funktionsterms, das \(\lim...

1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
Ableitung \(f'_{k}(x_{0})\) beschreibt die Tangentensteigungen der Kurvenschar an der Stelle \(x_{0}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung). Folglich muss an der Stelle \(x_{0}\) gelten: \[f'_{k}(x_{0}) = m\] Beispiel: Geben sei...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Für die Bestimmung von \(f'\) wird u. a. die Produkt-...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
zu Teilaufgabe 3c Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Höhe der Auszahlung in Euro beschreibt. Sind \(n\) und \(n + 1\) zwei aufeinanderfolgende Werte von \(n\), so sind \(E_n(X) = 5n \cdot 0{,}9^n\) und \(E_{n\,+\,1}(X) = 5(n+1) \cdot...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
der Zufallsgröße \(A\): Ereignis „3 gleiche Farben" „3 versch. Farben" andere Kombination \(A = a_{i}\) \(10\) \(x\) \(0\) \(P(A = a_{i})\) \(\dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{1}{6}\) \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\) Erwartungswert \(E(A)\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\)....

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von \(a\) rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50 m der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6 m2 hat. (5...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{8}x^{3}\) sowie die Punkte \(Q_{a}(a|f(a))\) für \(a \in \mathbb R\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) sowie die Punkte \(P(0|2)\) und \(Q_{2}\). Berechnen Sie...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von 6,1 Milliarden zu Beginn des Jahres 2000 auf 6,9 Milliarden zu Beginn des Jahres 2010.Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit einem Term der Form \(N(x) = N_0...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden \(h_a \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(\mu \in \mathbb R\) und \(a \in \mathbb R\). Weisen Sie nach, dass...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Mehrzweckhalle, die auf einer horizontalen Fläche steht und die Form eines geraden Prismas hat. Die Punkte \(A_{1}(0|0|0)\), \(A_{2}(20|0|0)\), \(A_{3}\) und \(A_{4}(0|10|0)\) stellen im Modell die Eckpunkte der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 7)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Alle Werte der Zufallsgröße \(X\) \[x_{i} = \{2; 4; 7; 9; 12\}\] Begründung (nicht verlangt) grüner Würfel: 5 Seitenflächen mit Augenzahl 1, eine Seitenfläche mit Augenzahl 6 roter...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
besondere Lage im Koordinatensystem hat \(E\,\)? Berechnen Sie die Größe des Winkels \(\varphi\), unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. (mögliche Teilergebnisse: \(E\colon \enspace 3x_1 + 4x_3 = 0; \enspace \varphi \approx 36{,}9^\circ\)) (8...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Einem Jungen fehlen in seinem Sammelalbum noch 15 Bilder. Er geht mit seiner Mutter zum Einkaufen und erhält anschließend zwei Päckchen mit Tierbildern. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Päckchen nur Bilder enthalten, die der...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks \(OPQ\) vom Inhalt des Flächenstücks abweicht. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Bestimmtes Integral berechnen, prozentuale Abweichung zweier Flächeninhalte Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\), das...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *
sind Parallelogramme. In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat \(ABCDPQRS\) mit \(A\,(28|0|0)\), \(B\,(28|10|0)\), \(D\,(20|0|6)\) und \(P\,(0|0|0)\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche \(ABQP\) liegt in der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e \(f'(x) = \dfrac{10 -...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\] \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\): \(x = -\dfrac{1}{k} - 1\) (vgl. Teilaufgabe...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\). Abb. 2 Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\). Abb. 2 Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er den Vortest besteht, mindestens 90 % beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der richtig beurteilten Schriftproben" Analyse der Angabe: „Ermitteln Sie..., wie...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
widerlegen \[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\] \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c) \[P(x) = 1 - B(x) - F(x); \; D_{P} = \mathbb R\] Zum Beobachtungsbeginn befindet sich ausschließlich der radioaktive Stoff Bi...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) mit \(p_1, p_2 \in [0;1]\). Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von \(X\) nicht größer als 2,2 sein kann. (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
in Minuten. Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt \(x\), zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a Lösung einer Exponentialgleichung \[h(x) =...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(t\) die \(x\)-Achse schneidet, und zeichnen Sie \(t\) in die Abbildung 1 ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\] \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} +...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(\mathbb R^+\) definiert. Deshalb muss im Falle der Funktion \(g(x) = \ln{\left( f(x) \right)}\) gelten: \(\textcolor{#0087c1}{f(x) > 0}\). {slider Maximale Definitionsmenge bestimmen} Maximale Definitionsmenge bestimmen Gebrochenrationale Funktion /...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen 15 % der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
im Punkt \((0|f(0))\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}\] \[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\} = \;]-\infty;-2[\; \cup \; ]-2;2[\; \cup\;...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}; \;\lambda \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe c) \(T \colon 5x_{1} +...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
soll der Abstand der beiden Stellen, an denen die beiden Bohrkanäle auf die wasserführende Gesteinsschicht treffen, mindestens 1500 m betragen. Entscheiden Sie auf der Grundlage des Modells, ob diese Bedingung für jeden möglichen zweiten Bohrkanal...

1.7.7 Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
Punkte, durch die alle Graphen der Kurvenschar verlaufen? Wollte man beispielsweise die gemeinsamen Punkte der Graphen \(G_{f_{1}}\) der Scharfunktion \(f_{1}\) für \(k = 1\) und \(G_{f_{2}}\) der Scharfunktion \(f_{2}\) für \(k = 2\) berechnen, würde...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Überschuss, wenn man davon ausgeht, dass das Spiel insgesamt 6000-mal durchgeführt wird. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c 1. Lösungsansatz: Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Auszahlungsbetrag in Euro" Zufallsgröße \(X\,\colon\enspace\)„Auszahlungsbetrag...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Lage und Art eines Extrempunkts bestimmen \[f(x) = x^{4} -2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Notwendige Bedingung für die...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik I Language: *
Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie den Erwartungswert von \(X\,\). \(\displaystyle x\) \(\displaystyle 0\) \(\displaystyle 1\) \(\displaystyle 2\) \(\displaystyle 3\) \(\displaystyle 4\) \(\displaystyle P(X = x)\) \(\displaystyle \frac{1}{9}\)...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
der 40-44-jährigen Raucherinnen" Analyse der Angabe: "Zehn 40-44-jährige Frauen..." \[\Longrightarrow \quad n = 10\] "... genau drei Raucherinnen" \[\Longrightarrow \quad X = 3\] Aus dem Diagramm abzulesen: \[P(40-44, W, R) = 0{,}30\]...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an. \[f_{1} \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\] \[f_{2} \colon x \mapsto \ln{(x + 2)}\] (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f_{1}(x) =...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für \(x \in \mathbb R\) die Beziehung \(\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2} - [f'(x)]^{2} = 1\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g Termumformung, Binomische Formeln und Rechenregeln für Potenzen anwenden \[\frac{1}{4} \cdot...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *
Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene \(E\) gegen die Grundfläche \(G_1G_2G_3G_4\). Geben Sie drei Eckpunkte des Würfels \(W\) an, die eine Ebene so festlegen, dass sie mit der Grundfläche einen 45°-Winkel einschließt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\). Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\)...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
nach \(B(50;\textcolor{#e9b509}{p})\) binomialverteilt (vgl. Anmerkung). {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
entnommen. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Bausteine die gleiche Farbe haben, \(\frac{5}{18}\) beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a 1.Lösungsansatz: Baumdiagramm (2-stufiges Zufallsexperiment) Die Kiste enthält...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Vierfeldertafel, Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bzw....

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit \(P_{S}(M)\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten, Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel \[P(E) = 0{,}98\] Die...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Zeichnen eines Funktionsgraphen \[f(x) = x^{4} - 2x^{3}\,; \enspace D = \mathbb R\] \[W(1|-1), (2|0) \in g\] Zeichnung von...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
benötigt, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens ein 3D-Bild zu erhalten. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Binomialverteilung {slider Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung} Binomialverteilte Zufallsgröße Für eine...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christia