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2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gleichung \(y = 3\) als waagrechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mögliche Funktionsterme von \(h\) sind beispielsweise: \(h(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\quad\) oder \(\quad h(x) =...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des...

Lösung - Aufgabe 7

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
\(f\) an, deren Graph die senkrechten Asymptoten mit den Gleichungen \(x = -2\) und \(x = 3\), die doppelte Nullstelle \(x = 1\) sowie die waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 0\) besitzt. die in \(\mathbb R\) definiert ist und deren Graph die...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\); \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(10\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = 2 \cdot...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(G_{f}\) an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion \[f(x) = \frac{2}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{2}{x^{2} + 4x + 3}\,; \enspace...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Gleichungen aller senkrechter Asymptoten Die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/2-G901 Language: *
und der Normale bestimmen. Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) berechnen. Gleichung der Tangente Ansatz: \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + t\) {slider Allgemeine Geradengleichung} Allgemeine Geradengleichung \[y = mx + t\] Wobei \(m\) die Steigung und...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/2-G901 Language: *
der Abbildung, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist \[\underbrace{\lim \limits_{\textcolor{#cc071e}{\underset{x \,...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G901 Language: *
von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen. Betrachte werden folgende Ereignisse: \(B\): „Es tritt eine...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\). \(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\). \(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\). a) Geben Sie einen möglichen...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten. Begründen Sie, dass \(x = 0\) die...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G901 Language: *
Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist. b) Gegeben ist die Funktion \[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax +...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G901 Language: *
\(g\) sind ganzzahlig. Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt. \[\text{A}\quad\frac{1}{x - 2} -x +4\] \[\text{B}\quad-\frac{1}{x-2} -x +4\] \[\text{C}\quad\frac{1}{2-x} +x - 4\]...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\). Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(N_k\) enthält die \(x_3\)-Achse und den Punkt \(P_k(1-k|k|0)\) mit \(k \in \; ]0;1[\). Welche Kanten des Körpers von \(N_k\) geschnitten werden, ist abhängig von \(k\). Durchläuft \(k\) alle Werte zwischen \(0\) und \(1\), so gibt es...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat. \(\mathbb W = [-2;2]\) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b 1. Lösungsansatz: Sinusfunktion oder Kosinusfunktion Eine Sinusfunktion oder eine Kosinusfunktion, die nicht in \(y\)-Richtung...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
ist. \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 & &| - 4 \\[0.8em] 4x &= -4 & &| : 4 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\] oder \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (x + 1) &= 0 \\[0.8em] x...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze des Graphen der Stammfunktion \(F\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
ist. Geben Sie die Nullstelle von \(f\) sowie die Gleichungen der drei Asymptoten von \(G_f\) an. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{20x}{x^2 - 25}\,; \quad D_{f} = \mathbb R \,\backslash\,\{-5;5\}\] Maximaler Definitionsbereich \(D_{f}\)...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
der Funktionsterm von \(f\) vollständig faktorisiert. \[f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 + x} = \frac{2 \cdot (x^2 - 4)}{x \cdot (x+1)} = \frac{2 \cdot (x-2) \cdot (x+2)}{x \cdot (x+1)}\] Am faktorisierten Funktionsterm ist zu erkennen, dass sich keiner der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\). Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zum Term \(x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden \(g\) mit der Gleichung \(y = x + 7\) für \(G_{f}\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Äquivalenzumformung eines Funktionsterms,...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(g\) an, die den Wertebereich \([-2;4]\) hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a zum Beispiel: \(g(x) = 3 \cdot \sin{x} + 1\) oder \(g(x) = 3 \cdot \cos{x} +1\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Der vorgegebene Wertebereich \([-2;4]\) schließt die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Geben Sie das Verhalten für \( x \to -\infty\) sowie für \(x \to +\infty\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \frac{x^2-9}{x+2}; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-2\}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = -\infty\] \[\lim...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabe B4 (Stochastik) Language: *
abgespielten Stücken genau fünf lange Stücke befinden. mehr lange als kurze Stücke befinden. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 CD mit zehn Musikstücken, vier davon sind kurz, sechs sind lang. Zwölf Stücke werden abgespielt. Wahrscheinlichkeit dafür, dass...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(h\) mit \[h \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} -2^{-x+1}+3 \enspace \text{für} \enspace x &\leq 2 \\[0.8em] \sin{(x-1)+0{,}5} \enspace \text{für} \enspace x &>2\end{align*} \end{cases}\] auf ihrem maximalen...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
= [-a;a]\) für \(d = 0\) und \(W= [d-a;d+a]\) für \(d \neq 0\) Streckung mit \(a\) in \(y\)-Richtung Streckung mit \( \dfrac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung, Periode: \(p = \dfrac{2\pi}{\vert b \vert}\) Verschiebung um \( -c\) in \(x\)-Richtung Verschiebung...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/2-G901 Language: *
im Nenner gekürzt. Wenn das einmal nicht funktioniert, liegt ein Rechenfehler vor. \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\); \(\textcolor{#cc071e}{x_0 = -2}\) 1. Möglichkeit: \(\boldsymbol{h}\)-Methode Der Tipp in der Aufgabenstellung verweist auf die \(h\)-Methode,...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems. b) Geben Sie die Art und die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
+ 4}; \; D_{k} = \mathbb R\] Nullstellen von \(k\) Die gebrochenrationale Funktion \(k\) besitzt die Nullstellen \(x_{1} = 0\) und \(x_{2} = 2\) Begründung (nicht verlangt) Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(k\) sind alle Nullstellen des...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\] \[D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\] Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
&= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left( \frac{8}{x}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{4}{x^{2}} \right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{\frac{8}{x}}^{\to\,0}}{1 +...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\)...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
des Nennerterms nicht definiert. \[\begin{align*} x^{2} - 9 &= 0 &&| + 9 \\[0.8em] x^{2} &= 9 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 3 \end{align*}\] oder \[\begin{align*} \underbrace{x^{2} - 9}_{\large{a^{2} \, - \, b^{2}}} &= 0 & &| \; \text{3....

Aufgabe A1 (Analysis)

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabengruppe 1 (Pflichtteil) Language: *
R^+\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \left( \ln{x} \right)^2\). Der Graph von \(f\) verläuft durch den Punkt \(P(e|1)\). Die zweite Ableitungsfunktion von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = e\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Geben Sie...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h(x) =...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/2-G901 Language: *
Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
x \mapsto \int_{-2}^x f(t) dt\). Begründen Sie, dass die in \(]-3;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto \frac{1}{2}x^2 -3x + 5 \cdot \ln{(x+3)}\) für \(x > -3\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Zeigen Sie damit, dass \(\lim...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G901 Language: *
= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} -\frac{3}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x - 2}_{\to\,-\infty}}} = 0^{\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{+}}}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie diese Bedeutung an. Geben Sie zudem die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = x - 3 + \dfrac{5}{x+3}\; \; D_f = \mathbb R \backslash \{-3\}\] Einzeichnen und Bedeutung der beiden Geraden...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f \colon x \mapsto 2^x + 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto 2^{x+1} + 6x -2\). Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion \(g\) aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch eine Streckung in...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat....

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt. Anmerkung: Die gesuchte gebrochenrationale Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
bzw. Spiegel und Verschieben ergibt unterschiedliche Graphen und Funktionsterme. {/sliders} (Darstellungen nicht verlangt) 1. Streckung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{2}\) \[\Rightarrow \; x \mapsto \textcolor{#0087c1}{f(2x)}\] 2....

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/2-G901 Language: *
Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), deren Graph durch den Punkt \(T(-1|2)\) verläuft. Begründen Sie mithilfe der Abbildung, dass der Graph von \(F\) im Punkt \(T\) einen Tiefpunkt besitzt. (2 BE) Lösung...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[F(x) = 4 \cdot...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Nullstelle und in \(x = -3\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von \(k\) hat die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) als Asymptote. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Ansatz: Gebrochenrationale Funktion \(\displaystyle k(x) =...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
x \mapsto f(x) \cdot \left[ g(x) \right]^4\) bezüglich des Koordinatensystems. Da der Graph der Funktion \(\textcolor{#cc071e}{f}\) achsensymmetrisch zur \(\textcolor{#cc071e}{y}\)-Achse ist und der Graph der Funktion \(\textcolor{#0087c1}{g}\)...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Arithmetisches Mittel der beiden Näherungswerte für \(F(1)\) Näherungswert aus Teilaufgabe 2b:...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Anmerkung: Der Funktionsterm der gesuchten Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen. 1. Möglichkeit: Gebrochenrationale Funktion Beispielsweise erfüllen die Graphen folgender gebrochenrationaler Funktionsterme die...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}\). Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[F(x) = 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}; \; D_F...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
zu Teilaufgabe 3c Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Höhe der Auszahlung in Euro beschreibt. Sind \(n\) und \(n + 1\) zwei aufeinanderfolgende Werte von \(n\), so sind \(E_n(X) = 5n \cdot 0{,}9^n\) und \(E_{n\,+\,1}(X) = 5(n+1) \cdot...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
da seine Steigung (Steigung der Wendetangente) an der Stelle \(x = 0\) kleiner als \(F'(0) = f(0) = 2\) ist (vgl. Teilaufgabe 1a). Graph III kommt nicht infrage, da dieser in Bereichen streng monoton fallend ist. Wegen \(F'(x) = f(x) =...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\). Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (2 BE)...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Extremstelle(n) von \(f\) an. b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\). a) Monotonieverhalten und Extremstelle(n) von \(f\) Monotonieverhalten von...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
streng monoton steigend. {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
streng monoton steigend. {slider Monotoniekriterium} Anwendung der Differetialrechnung: Monotoniekriterium \(\textcolor{#cc071e}{f'(x) < 0}\) im Intervall \( I \; \Rightarrow \; G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\) \(\textcolor{#0087c1}{f'(x) > 0}\) im...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\). Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
0\\0\\p \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} 0\\4\\3 \end{pmatrix}\] \[\textsf{II} \quad 4 \cdot 4t + 3 \cdot (p+3t) -12 = 0 \vphantom{\begin{pmatrix} 0\\0\\p \end{pmatrix}}\] \[\textsf{III} \quad \vert \overrightarrow{PQ} \vert = p...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabe B3 (Stochastik) Language: *
einen Helm trug, wenn bekannt ist, dass sie mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs war. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Ereignis \(\overline{E} \cap H\) im Sachzusammenhang \(\overline{E}\): „Die Person fuhr ein Fahrrad ohne Elektromotor." \(H\):...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G901 Language: *
f(x)\) Die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,2} \dfrac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{4x^2-6x-4}^{\to\,0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x-2}_{\to\,0}}}\) führt auf den unbestimmten Ausdruck...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(f\) die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(s\) mit \(s(x) = \left( \frac{x}{4} \right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2\) von Bedeutung. Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Die Staulänge kann...

Mathematik Klausuren Q11/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11/1 Language: *
Klausur Q11/1-001 Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion: Maximaler Definitionsbereich, Definitionslücken, Nullstellen, Polstellen, Asymptoten, Funktionsgraph skizzieren Ableitungsregeln anwenden: Summen- und Faktoregel, Ableitung einer...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Abb. 1 \[f(1) = F'(1) = 4\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Abb. 1 Abbildung 1 zeigt den Graphen...

Mathematik Klausuren 11/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren 11/1 Language: *
Klausur 11/1-G901 Neu {edocmanlink 15} Spezielle Eigenschaften von Funktionen: Grenzwerte bestimmen, beschreiben und graphisch interpretieren, Verschieben von Funktionsgraphen, Stauchen von Funktionsgraphen Stetigkeit von Funktionen: Stetigkeit anhand...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht. Stammfunktion von \(f\) Anmerkung: Es ist lediglich eine Stammfunktion von \(f\)...

Mathematik Abiturskript Bayern G9

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Abiturskript G9 Language: *
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Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Funktionen eine Stammfunktion an. a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\) b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\) Anmerkung: Eine Stammfunktion der Funktionen \(f\) und \(g\) ist jeweils lediglich...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Sie anhand des Terms von \(F\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \,+\infty} F(x) = 0\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Nachweis einer Stammfunktion, Verhalten im Unendlichen Nachweis, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist 1. Möglichkeit;...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\ln 4\) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Extrempunkt und Wendepunkt des Graphen einer Stammfunktion \[F(x) = 2e^{-x} -2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\]...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
c) \(f'(6) > f'(7)\) d) \(f'(4) \approx f'(6)\) e) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 6\) in etwa die Steigung \(-1\). f) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 7\) einen Terrassenpunkt. a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen. Die...

Mathematik Klausuren 11/2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren 11/2 Language: *
G9 Klausur 11/2-G901 Neu {edocmanlink 17} Lokales Differenzieren: Ableiten mit dem Differentialquotienten, \(x_0\)-Methode, \(h\)-Methode Mittlere und lokale Änderungsrate: Graphisch bestimmen, Aussage beurteilen, Bedeutung eines Grenzwerts erklären...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G901 Language: *
den Definitionslücken. b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten. c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G901 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\). a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/2-G901 Language: *
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \(f\)mit \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) an der Stelle \(x = -2\) mithilfe des Differentialquotienten. Tipp: Verwenden Sie die h-Methode. Aufgabe 2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\). a)...

Lösung - Aufgabe 8

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
ist, so hat \(f\) mindestens zwei Definitionslücken. Die Aussage ist falsch! Widerlegung der Aussage durch ein Gegenbeispiel 1. Gegenbeispiel Die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{x}\) hat nur eine Definitionslücke \(x = 0\) und ihr Graph ist...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
\(x_{0}\) einen Extrempunkt. (vgl. Merkhilfe) {/sliders} Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = -1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die...

Kontakt

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Kontakt Language: *
sich größtenteils durch Werbung finanziert. Wir freuen uns auf Ihre Nachricht. mathelike Christian Rieger Dahlienstr. 32 85521 Riemerling info(at)mathelike.de +49 (0)89 95422806 +49 (0)176 80025322 +49 (0)176 80025322 +49 (0)176 80025322

Mathematik Klausuren Q11/2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11/2 Language: *
Klausur Q11/2-001 Ableitungsregeln anwenden: Summen- und Faktoregel, Ableitung einer Potenzfunktion, Ableitung einer Wurzelfunktion, Ableitung der Natürlichen Exponentialfunktion, Produkt- und Quotientenregel, Kettenregel Zusammengesetzte...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/1-G902 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben sind die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(g\). Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Untersuchen Sie das...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
2b zum Beispiel: \(e^{x} + 3\) Begründung (nicht verlangt) Der Graph der Funktion \(x \mapsto e^{x} \textcolor{#cc071e}{+ 3}\) ist gegenüber dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\) um + 3 LE (Längeneinheiten) in y-Richtung...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur 11/2-G901 Language: *
den Punkt \((x_{0}|f(x_{0}))\) und einen weiteren Punkt des Graphen der Funktion \(f\). {/sliders} \[m_S = \textcolor{#cc071e}{\frac{1{,}5}{4}} = \frac{3}{8}\] Beurteilung, ob die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null sein kann Da der Graph...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Aufgabe B4 (Stochastik) Language: *
von \(b\) berechnet werden könnten. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[\dfrac{3}{4\pi^2}b^2 - \dfrac{3}{8\pi^3}b^3 = \dfrac{1}{9}\] Ergänzende Erklärung (nicht verlangt) Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine CD zu gewinnen, wird mit \(p\) bezeichnet. \(p =...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
ist, mit der gleichen Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) ein. {slider Baumdiagramm und Pfadregeln} {/sliders} Somit folgt nach der 1. Pfadregel bzw. mithilfe der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit: {slider Bedingte Wahrscheinlichkeit} {/sliders}...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(F(3) = 0\). Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Stammfunktion {slider Stammfunktion} Stammfunktion Eine differenzierbare Funktion \(F\) heißt eine...

Teilaufgabe 5b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(F(3) = 0\). Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von \(F\) an der Stelle \(x = 2\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 5b Stammfunktion {slider Stammfunktion} Stammfunktion Eine differenzierbare Funktion \(F\) heißt eine...

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