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Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen. Betrachte werden folgende Ereignisse: \(B\): „Es tritt eine...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Die Graphen der Funktionen \(f \colon x \mapsto 0{,}5x^2 - 3x + 4\) und \(g \colon x \mapsto x^3 - x+1\) besitzen genau einen gemeinsamen Punkt. Berechnen Sie die \(x\)-Koordinate dieses Punktes mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalen genau. Wählen...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
f(x)\) Die Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,2} \dfrac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{4x^2-6x-4}^{\to\,0}}}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x-2}_{\to\,0}}}\) führt auf den unbestimmten Ausdruck...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Abbildung zeigt modellhaft den Verlauf einer Wasserrutsche, der näherungsweise durch die Funktion \(f \colon x \mapsto 0{,}01x^3 -0{,}3x^2 + 2{,}25x\) mit \(D_f = [0:14]\) beschrieben wird. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 0,5 m in der...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
und der Normale bestimmen. Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) berechnen. Gleichung der Tangente Ansatz: \(y = \textcolor{#cc071e}{m}x + t\) {slider Allgemeine Geradengleichung} Allgemeine Geradengleichung \[y = mx + t\] Wobei \(m\) die Steigung und...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
den Definitionslücken. b) Untersuchen Sie \(G_f\) auf schräge oder waagrechte Asymptoten. c) Berechnen Sie \(f(-4)\) und \(f(1)\) und zeichnen Sie \(G_f\) im Bereich \(-7 < x...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
\(g\) sind ganzzahlig. Geben Sie an, welcher der folgenden Funktionsterme die Funktion \(g\) beschreibt. \[\text{A}\quad\frac{1}{x - 2} -x +4\] \[\text{B}\quad-\frac{1}{x-2} -x +4\] \[\text{C}\quad\frac{1}{2-x} +x - 4\]...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Erläutern Sie anhand des Graphen, ob die Funktion \(f\) an den Stellen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) jeweils stetig ist. b) Gegeben ist die Funktion \[g \colon x \mapsto \begin{cases} \begin{align*} &ax +...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
den Punkt \((x_{0}|f(x_{0}))\) und einen weiteren Punkt des Graphen der Funktion \(f\). {/sliders} \[m_S = \textcolor{#cc071e}{\frac{1{,}5}{4}} = \frac{3}{8}\] Beurteilung, ob die mittlere Änderungsrate von \(p\) kleiner als null sein kann Da der Graph...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} -\frac{3}{\textcolor{#e9b509}{\underbrace{x - 2}_{\to\,-\infty}}} = 0^{\textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{+}}}\] \[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty}...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
im Nenner gekürzt. Wenn das einmal nicht funktioniert, liegt ein Rechenfehler vor. \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\); \(\textcolor{#cc071e}{x_0 = -2}\) 1. Möglichkeit: \(\boldsymbol{h}\)-Methode Der Tipp in der Aufgabenstellung verweist auf die \(h\)-Methode,...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion \(f\)mit \(f(x) = 0{,}5x^2 + 3x\) an der Stelle \(x = -2\) mithilfe des Differentialquotienten. Tipp: Verwenden Sie die h-Methode. Aufgabe 2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(p\). a)...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\dfrac{3}{x - 2}\). a) Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty}f(x)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f(x)\). Beschreiben Sie Ihre Ergebnisse in Worten und interpretieren Sie diese...

Datenschutzerklärung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: AGB Language: *
Datenschutzerklärung 1) Einleitung und Kontaktdaten des Verantwortlichen 1.1 Wir freuen uns, dass Sie unsere Website besuchen und bedanken uns für Ihr Interesse. Im Folgenden informieren wir Sie über den Umgang mit Ihren personenbezogenen Daten bei der...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
des Mittelpunkts dieser Kugel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Da der gesamte Körper sowohl symmetrisch bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene ist (vgl. Angabe), kann der Mittelpunkt \(M\) einer Kugel, auf der alle...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
drei Pyramiden \(ABFS\), \(HDES\) bzw. \(EFGHS\) ist (vgl. Abbildung 2). Die Pyramide \(ABFS\) hat das Volumen \(\sf{33\frac{1}{3}}\) und die Pyramide \(HDES\) hat das Volumen \(\sf{13\frac{1}{3}}\). Bestimmen Sie das Volumen des gesamten Körpers. (4...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(N(1{,}6|0|3{,}2)\) ist der Mittelpunkt der Strecke \([KF]\). Begründen Sie, dass die Gerade \(EN\) den Innenwinkel des Dreiecks \(DFE\) bei \(E\) halbiert, und weisen Sie rechnerisch nach, dass \(S\) auf der Geraden \(EN\) liegt. (4 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(K\), für den \(\overline{KE} = \overline{EF}\) gilt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d 1. Möglichkeit: Einheitsvektor \(\overrightarrow{ED}^{\circ}\) Planskizze (optional): Der Einheitsvektor...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(W\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser ist gleich der Größe des spitzen Winkels, den die Normalenvektoren der Ebenen einschließen (Skizze nicht...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung von \(W\) in Koordinatenform Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FA}} \times \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{FB}}\) der beiden linear unabhängigen Verbindungsvektoren...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Abb. 1 Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche \(ABCD\) mit \(A(5|5|0)\), \(B(-5|5|0)\), \(C(-5|-5|0)\) und \(D(5|-5|0)\), acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat \(EFGH\) mit...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
h Planskizze (optional): Wenn der Brunnen vollständig gefüllt ist, reicht das Wasser bis zur Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\), welche im Abstand 4 parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene liegt (vgl. Teilaufgabe a). Da der Mittelpunkt...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der höchste Punkt des Brunnens. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Planskizze (optional): Der quadratische Term \(\textcolor{#0087c1}{6{,}2 - 5 \cdot (t - 0{,}2)^{2}}\) der \(x_{3}\)-Koordinate der Punkte \(\textcolor{#0087c1}{L_{t}}\) beschreibt für...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt \(L_{0}(1|1|6)\) beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte \(L_{t}\left(t + 1|t + 1|6{,}2 - 5 \cdot (t -...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Pyramide \(ABCDS\) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Berechnen Sie das Volumen \(V\) der Pyramide \(ABCDS\). (zur Kontrolle: \(V = 72\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe c 1. Möglichkeit: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\) (vgl. Merkhilfe) Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} \times...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\). Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck \(ABS\) gleichschenklig ist. Geben...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
= \sqrt{Var(Y_{n})}\) (vgl. Merkhilfe) folgt: \[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{\frac{\sigma}{E(Y_{n})}} &= \textcolor{#0087c1}{0{,}05}&&|\;\sigma = \sqrt{Var(Y_{n})} \\[0.8em] \frac{\sqrt{Var(Y_{n})}}{E(Y_{n})} &= 0{,}05&&| \;E(Y_{n})=n;...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\). Die Zufallsgröße \(X\) hat den Erwartungswert 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten \(p_{0}\) und \(p_{1}\) und berechnen Sie die Varianz von \(X\). (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms \(1 - P_{\overline{V}}(R)\) im Sachzusammenhang. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \(V\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet." \(R\): „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\) (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[\begin{align*}\textcolor{#e9b509}{P_{\overline{V}}(R)} &= 1 - \textcolor{#0087c1}{P_{\overline{V}}(\overline{R})} \\[0.8em] &= 1 -...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet." \[\Rightarrow \enspace P(\overline{V} \cap\overline{R}) = 0{,}63\] 1. Möglichkeit: Baumdiagramm Nach der 1. bzw. 2. Pfadregel gilt: {slider Baumdiagramm - Pfadregeln (Knoten-, Produkt-,...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Gummibärchen, das in die Tüte gelangt, ist ein rotes Gummibärchen." Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}25}\) (Anteil roter Gummibärchen, vgl. Angabe Aufgabe 2) \(q = 1 - p = 0{,}75\) (Anteil andersfarbiger...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
nach \(B(50;\textcolor{#e9b509}{p})\) binomialverteilt (vgl. Anmerkung). {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 5 weiße, 2 rote und 3 grüne Gummibärchen Die drei dem Tütchen entnommenen Gummibärchen können entweder alle weiß oder alle...

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Motive auf den Anstecken befinden, ist aus Teilaufgabe 4b bekannt. \[P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) = \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\] Diese Wahrscheinlichkeit soll größer als 90 % sein. Nach geeigneten Umformungen ergibt die Bedingung eine...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedene Motive 3 Anstecker Da...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen. {/sliders} Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{5}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von 5 verschiedenen Motiven zu bedrucken. Bei 5 verschiedenen...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien entliehen werden \(n = 200\) (Länge der Bernoulli-Kette) \(p = 0{,}15\) (Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „Familie entleiht einen Bollerwagen.") Schematische Darstellung: Kleinster...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
die fünfte Familie die erste ist, die einen Bollerwagen ausleiht. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[P = 0{,}85^{4} \cdot 0{,}15 \approx 0{,}07830 \approx 7{,}8\,\%\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) \(p = \textcolor{#e9b509}{0{,}15}\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen 15 % der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
lassen: \[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}; \enspace P(B) = \frac{6}{6^{4}}\] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}\] \(A\): „Die vier Familien zahlen an verschiedenen Kassen." \[P(B) =...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
zu Teilaufgabe 2d Planskizze (optional) Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-\ln{3}}^{b}g(x)dx = \textcolor{#0087c1}{\int_{-\ln{3}}^{0}g(x)dx} + \textcolor{#cc071e}{\int_{0}^{b}g(x)dx}\) errechnet die Maßzahl des Inhalts der Fläche, die...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Graph der Funktion \(g^{*}\) geht aus \(G_{g}\) durch Strecken und Verschieben hervor. Die Wertemenge von \(g^{*}\) ist \(]-1;1[\). Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für \(g^{*}\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c Zum Beispiel: \(g^{*}(x) = 2...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
seinen einzigen Wendepunkt hat, in ein Koordinatensystem ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}; \; D_{g} = \mathbb R\] \(g'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Funktionswert \(g'(0)\) \(g'(0)\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{e^{x}}{e^{x} + 1}\). Ihr Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(g\) streng monoton zunehmen ist und die Wertemenge \(]0;1[\) besitzt. (zur Kontrolle:...

Teilaufgabe 1i

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
gibt, sodass \(G_{k}\) und \(G_{f}\) bezüglich der \(x\)-Achse symmetrisch zueinander liegen. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1i \[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \;k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\] \(f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \;...

Teilaufgabe 1h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
mit der \(x\)-Achse, die voneinander den Abstand 4 haben. Berechnen Sie diesen Wert. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1h \[h_{k}(x) = (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}; \; k \in \mathbb R, \; D_{h_{k}} = \mathbb R\] Für \(k > 0\) ergeben sich die Nullstellen von...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_{k} \colon x \mapsto (1 - kx^{2}) \cdot e^{-x}\) mit \(k \in \mathbb R\). Der Graph von \(h_{k}\) wird mit \(G_{k}\) bezeichnet. Für \(k = 1\) ergibt sich die bisher...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Deuten Sie die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) in Bezug auf \(G_{f}\) geometrisch. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Die Aussage \(F(2{,}5) - F(0) \approx 0\) bedeutet, dass die Inhalte der beiden Flächen, die \(G_{f}\) im Intervall \([0;2{,}5]\)...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Skizzieren Sie in die Abbildung den Graphen von \(F\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere, dass \(F(1) \approx 3{,}5\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} F(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Skizze des Graphen der Stammfunktion \(F\)...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ermitteln Sie anhand der Abbildung einen Näherungswert für das Integral \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Der Wert des bestimmten Integrals \(\displaystyle \int_{-1}^{4}f(x)dx\) entspricht der Flächenbilanz der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch die \(x\)-Koordinaten der beiden Extrempunkte von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = (x^{2} - 2x - 1) \cdot e^{-x}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}; \; D_{f} = \mathbb R\] {slider...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto (1 - x^{2}) \cdot e^{-x}\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\). Zeigen Sie, dass \(f\) genau zwei Nullstellen besitzt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) =...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von 10 Cent pro Kilowattstunde (kWh). Die in \([4;20]\) definierte Funktion \(x \mapsto E(x)\) gibt die elektrische Energie in kWh an, die...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als 40 % ihres Tageshöchstwerts von 10 kW beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(p(x) = \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}; \; 4 \leq x \leq 20\) (vgl. Angabe Aufgabe 3)...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(p \colon x \mapsto \dfrac{40}{(x - 12)^{2} + 4}\); die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{p}\) von \(p\). Beschreiben Sie, wie \(G_{p}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
+ b}{x^{2} + c}\) mit \(a, b, c \in \mathbb R\) und maximaler Definitionsmenge \(D_{a,b,c}\). Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie den Inhalt der Fläche, die von \(G_{f}\) und der Strecke \([AB]\) eingeschlossen wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Flächeninhalt \(\textcolor{#0087c1}{A}\) der Fläche,...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
zwischen diesen beiden Punkten verläuft \(G_{f}\) unterhalb der Strecke \([AB]\). Skizzieren Sie \(G_{f}\) im Bereich \(-10 \leq x \leq 10\) unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
von \(G_{f}\) an. Begründen Sie, dass \(G_{f}\) die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{6x}{x^{2} - 4}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-2;2\}\] Gleichungen aller senkrechter Asymptoten Die...

Aufgabe

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt \(P(104|-42|10)\) beschrieben, seine Richtung durch den Vektor \(\begin{pmatrix} -13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Verkehrsschild...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb R\), sowie eine weitere Gerade \(h\), welche parallel zu \(g\) ist und...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Berechnen Sie den Abstand von \(g\) und \(h\). (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Planskizze (optional): Der Abstand zwischen der Gerade \(\textcolor{#cc071e}{g}\) und der parallelen Gerade \(\textcolor{#0087c1}{h}\) ist gleich dem Betrag des...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\). Die Tabelle zeigt die...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Zufallsgröße Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt: Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe) \[P_{p}^{n}(X = k) =...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Gegeben ist die Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4;5\}\). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist symmetrisch, d. h. es gilt \(P(X = 0) = P(X = 5)\), \(P(X = 1) = P(X = 4)\), \(P(X = 2) = P(X = 3)\). Die Tabelle zeigt die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{2}^{3} f(x)dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[\begin{align*}f(x) &= \sqrt{x - 2} + 1 &&| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \; \text{(vgl. Merkhilfe)} \\[0.8em] &= (x - 2)^{\frac{1}{2}}...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \sqrt{x - 2} + 1\) und maximalem Definitionsbereich. Zeichnen Sie den Graphen von \(f\) im Bereich \(2 \leq x \leq 11\) in ein Koordinatensystem. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \sqrt{x - 2} + 1\]...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat. \[W =\; ]-\infty;1]\] (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a zum Beispiel: \(-x^{2} + 1\) Begründung (nicht verlangt) Der Graph der Funktion \(x...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\). \(G_{f}\) ist streng monoton fallend und schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \((1|0)\). Betrachtet wird ferner die Funktion \(g\) mit \(g(x) = \dfrac{1}{f(x)}\) und maximalem Definitionsbereich \(D_{g}\)....

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \(g(x) = \dfrac{1}{f(x)}; \; x \neq 1\) (vgl. Teilaufgabe 4a) Der Ansatz für die Bestimmung der \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Wert von \(a \in \mathbb R\), für den \(t_{a}\) durch \(P\) verläuft. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f(x) = \frac{1}{8}x^{3}; \; D_{f} = \mathbb R\] Da die Tangente durch die Punkte \(P\) und \(Q_{a}\) verlaufen soll, gilt einerseits für deren...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{8}x^{3}\) sowie die Punkte \(Q_{a}(a|f(a))\) für \(a \in \mathbb R\). Die Abbildung zeigt den Graphen von \(f\) sowie die Punkte \(P(0|2)\) und \(Q_{2}\). Berechnen Sie...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Der Graph von \(f\) schließt mit der \(x\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = b\) mit \(b > 1\) ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von \(b\), für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat. (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\). Zeigen Sie, dass die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(F\) mit \(F(x) = -\dfrac{2}{\sqrt{x}}\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (2 BE)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h(x) =...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
- x}\) schränkt die Definitionsmenge der Funktion \(g\) ein. Der Radikand (Ausdruck unter der Wurzel) \(\textcolor{#cc071e}{2 - x}\) darf nicht negativ sein. \[\textcolor{#cc071e}{2 - x \geq 0} \enspace \Leftrightarrow \enspace x \leq 2 \enspace...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = e^{2x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(f\) umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von \(f\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = e^{2x + 1}; \; D_{f} =...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^2 + 2x}{x+1}\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_f\). Geben Sie \(D_f\) und die Nullstellen von \(f\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}\] Maximale...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gleichung \(y = 3\) als waagrechte Asymptote und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|4)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mögliche Funktionsterme von \(h\) sind beispielsweise: \(h(x) = \dfrac{3x^2 + 4}{x^2 + 1}\quad\) oder \(\quad h(x) =...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{4}{x}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(g\). Abb. 1 Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^e g(x)dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) =...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die lokale Änderungsrate von \(g\) an der Stelle \(x_0\) stimmt mit der mittleren Änderungsrate von \(g\) im Intervall \([1;4]\) überein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Abb. 1 Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Die Steigung...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\) \[m_{T} = f'(x_0)\] (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[\textcolor{#cc071e}{g'(x) = 0}\] Mit \(g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\) ist die Bedingung erfüllt, falls...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}\]...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Geben Sie \(D_g\) sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}\] \[D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\] Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
werden die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(F\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_F\) von \(F\). Abb. 1 Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^7 f(x)dx\). (2 BE)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie den Funktionswert von \(f\) an der Stelle 1; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 1. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Abb. 1 \[f(1) = F'(1) = 4\] Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Abb. 1 Abbildung 1 zeigt den Graphen...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\log_{a}{x}\) und somit auch die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitz die einzige Nullstelle \(x = 1.\) Mit \(\ln{1} = 0\) folgt: \[\begin{align*}h(x) &= 0 \\[0.8em] \ln{(\textcolor{#e9b509}{2x - 3})} &= 0 &&| \;...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(\mathbb R^+\) definiert. Deshalb muss im Falle der Funktion \(g(x) = \ln{\left( f(x) \right)}\) gelten: \(\textcolor{#0087c1}{f(x) > 0}\). {slider Maximale Definitionsmenge bestimmen} Maximale Definitionsmenge bestimmen Gebrochenrationale Funktion /...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(f_a\) mit \(f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3\) und \(a \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Zeigen Sie, dass \(f'_a(0) = -a\) gilt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}\]...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate größer als \(\dfrac{1}{2}\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R \backslash...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\): Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. \(X\) gibt die dabei erzielte Augensumme an. Aus einem Behälter mit 60...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Zuordnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) Da \(\boldsymbol{P(X = 4) = P(X = 10)}\) gilt (vgl. Teilaufgabe a) kann Diagramm III nicht die Wahrscheinlichkeitverteilung von \(X\) darstellen. Um die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
zeigt das Netz eines Würfels, von dem nur drei Seiten beschriftet sind. Der Würfel wird so lange geworfen, bis die Zahl 1 zum ersten Mal erzielt wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau viermal gewürfelt wird. (2 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
für die Beschriftung dieser drei Seiten, sodass bei einmaligem Werfen des Würfels der Erwartungswert für die Zahl \(\dfrac{31}{6}\) beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise wählt man \(a\), \(b\) und \(c\) stellvertretend für die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
und Radius \(2\sqrt{6}\). Geben Sie eine Gleichung von \(K\) in Koordinatenform an und zeigen Sie, dass der Punkt \(P(5|-4|1)\) auf \(K\) liegt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Gleichung der Kugel \(K\) in Koordinatenform...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Planskizze (optional): Der Verbindungsvektor...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
b Die Koordinaten von \(R\) lassen sich durch Vektoraddition bestimmen. Beispielsweise wie folgt: Planskizze optional \(P(1|2|3)\), \(\textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}}\) (vgl. Teilaufgabe a)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \([0;10]\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{10x -x^2}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_f\) bezeichnet. Bestimmen Sie die Nullstellen von \(f\). (zur Kontrolle: \(0\) und \(10\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe a...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\); \(y\)-Koordinate des Hochpunkts: \(10\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = 2 \cdot...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Term I oder Term II ist, ohne einen Term von \(\boldsymbol{f''}\) zu berechnen. \[\textsf{I}\quad\; f''(x) = \frac{50}{(x^2-10x)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\] \[\textsf{II}\quad f''(x) = \frac{50}{(10x-x^2)\cdot\sqrt{10x-x^2}}\] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Teilaufgabe d Nachweis, dass für \(0 \leq x \leq 5\) die Gleichung \(f(5 - x) = f(5 + x)\) erfüllt ist \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\] \[\begin{align*}f(\textcolor{#0087c1}{5 - x}) &= 2 \cdot \sqrt{10 \cdot \textcolor{#0087c1}{(5 - x)} -...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\) an. Bestimmen Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,0}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e \(f'(x) = \dfrac{10 -...

Teilaufgabe i

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem Füllstand von 10 m über dem Speicherboden mit Wasser gefüllt. Bohrt man unterhalb des Füllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
j \(x\): Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern \(f(x)\): Spritzweite in Metern \[f(x) = 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\] Berechnung der Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite 6 m beträgt Bedingung: \(f(x) = 6\)...

Teilaufgabe k

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}25t - 25\) mit \(0 \leq t \leq 100\) beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist \(t\) die seit der Fertigstellung des...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}\). Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\) ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem. Abb. 1 Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \left( 1 - x^2 \right) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}}\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Für die Bestimmung von \(f'\) wird u. a. die Produkt-...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(f\). Ergänzen Sie in der Abbildung 1 die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Rechnerische Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(f\) Gemäß dem...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\int_u^v g'(x) \cdot e^{g(x)}dx = \left[ e^{g(x)} \right]_u^v\). Berechnen Sie damit den Wert des Terms \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Um für die Berechnung des Integrals \(\displaystyle \int_0^1 f(x) dx\) die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird nun die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f_a \colon x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}\) mit \(a \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass genau ein Graph der Schar den Punkt \((1|1)\) enthält, und...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(\sqrt{e}\) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \((0|0)\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) \[f_a(x) = x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}; \; D_{f_a} = \mathbb R, \; a \in \mathbb R\] \[\begin{align*}f_\textcolor{#e9b509}{0}(x) &= x...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen \(a\), \(a_1\) und \(a_2\): \(f_a(0) = 0\) \(f'_a(0) = f'_0(0)\) \(f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \enspace \Leftrightarrow \enspace a_1 = a_2\) oder \(x =0\) Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d \[\begin{align*}k \cdot f_{a}\left( \frac{1}{k} \cdot x \right) &= k \cdot \frac{1}{k} \cdot x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot \left(\frac{1}{k} \cdot x\right)^2 + \frac{1}{2}}...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Graphen der Gruppe II. Abb. 2 Abb. 3 Die Extremstellen von \(f_a\) stimmen mit den Lösungen der Gleichung \(a \cdot x^2 = 1\) überein. Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von \(a\) an und begründen Sie Ihre Angabe. (3...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) handelt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2f 1. Möglichkeit: Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 berücksichtigen Graph der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1, Trägergerade der...

Teilaufgabe 2g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
da er auf der Gerade mit der Gleichung \(y = x\) liegt (vgl. Teilaufgabe 2f). Die Punkte \((0|0)\), \((\textcolor{#cc071e}{v}|0)\), \((\textcolor{#e9b509}{v}|\textcolor{#0087c1}{v})\) und \(\left(0|\textstyle \textcolor{#0087c1}{\frac{2}{v}}\right)\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
soll davon ausgegangen werden, dass \(X_n\) binomialverteilt ist mit den Parametern \(n\) und \(p = 0{,}05\). Es werden 15 Pflanzen mit dem Pflanzenschutzmittel behandelt und anschließend mit Pilzsporen besprüht. Bestimmen Sie jeweils die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
dafür, dass mindestens eine Pflanze von Pilzen befallen wird, mindestens 99 % beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \(X_n\): Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. Die Zufallsgröße \(X_n\) ist nach...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
kleinst- und die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[\mu = 400 \cdot 0{,}05 = 20\] \[\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} \approx 4{,}4\] \[\mu - \sigma = 15{,}6\]...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Standardabweichung \(\sigma\) folgende Ungleichung für \(k > 0\): \[P(\mu - k \cdot \sigma < X...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Weisen Sie nach, dass die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig sind. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[P(\overline{B}) \cdot P(\overline{U}) = 0{,}8 \cdot 0{,}3 = 0{,}24 = P(\overline{B} \cap \overline{U})\] Somit sind die Ereignisse \(B\)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Person die Aktion „Baumpatenschaft" kennt, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sie die Aktion „Umweltwoche" nicht kennt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Da die Ereignisse \(B\) und \(U\) stochastisch unabhängig sind (vgl. Teilaufgabe 1a), tritt das...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
„2022" an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung 1 beschriftet sind. Für einen Einsatz von 3 € darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer 2, die auf den...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
die beiden Aktionen 300 € beträgt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Zu erwartende Einnahme pro Spiel in Euro: \[3 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{4} + (-3) \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{6}\] Anzahl der Spiele:...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens 4 € ausbezahlen muss. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[P(Z \geq 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}\] \(Y\): Anzahl wie oft die SMV mindestens 4 € ausbezahlen muss....

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe 12 € ergeben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d \[\begin{align*}&\quad \; P(\text{„Drei untersch. Auszahlungen, in Summe 12 €"}) =...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\(X\) dargestellt. Abb. 2 Ermitteln Sie den Wert des Parameters \(p_X\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \(\textcolor{#0087c1}{n = 8}\); \(\sigma = \dfrac{4}{3}\) Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{8};\textcolor{#cc071e}{p_X})\)...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Die binomialverteilte Zufallsgröße \(Y\) hat die Parameter \(n = 8\) und \(p_Y = 1 - p_X\). Kennzeichnen Sie in Abbildung 2 eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit \(P(Y \geq 6)\) darstellt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Ausführliche Erklärung (nicht...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt. (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform Die Punkte \(P\), \(Q\) und...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Begründen Sie ohne Rechnung, dass \(g\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe c \[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ \textcolor{#e9b509}{0} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade \(g\) die Uferlinie. Die Ebene \(E\) stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
das Thema Abstand Punkt - Gerade (vgl. Bestimmung des Abstands zwischen Punkt und Gerade - 3 Möglichkeiten, Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade) Planskizze (optional): Im Modell entspricht die Länge der kürzestmögliche Strecke von der Uferlinie...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Möglichkeit: Hessesche Normalenform der Ebenen \(E\) anwenden 2. Möglichkeit: Parallele Hilfsebene zu Ebene \(E\) aufstellen 3....

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) die Eckpunkte eines Quaders sind (vgl. Angabe), haben die Diagonalen \(\textcolor{#cc071e}{[AB]}\) und \(\textcolor{#cc071e}{[CD]}\) die gleiche Länge. \(A(11|11|0)\), \(B(-11|11|28)\), \(C(11|-11|28)\),...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Planskizze (optional): Beispielsweise liefert das Vektorprodukt...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
der Pyramide ist halb so groß wie die des Quaders. {slider Volumen einer Pyramide} Volumen einer Pyramide \[V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\] \(G\): Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide \(h\): Höhe der Pyramide (vgl. Merkhilfe) {/sliders}...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
eine Betrachtung von oben dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mögliche Vektoren zu Abb. 3 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) zu Abb. 4 sind z.B.: \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von \(h\): \[\textsf{I}\quad \overrightarrow{Q} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \; t \in [0;1]\] \[\textsf{II}\quad...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(D\) und Ableitungsfunktion \(f'\). Geben Sie \(D\) sowie die Nullstelle von \(f\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \ln{(x - 3)}\] Maximale Definitionsmenge von \(f\): \(D = \;]3;+\infty[\) Nullstelle von \(f\): \(x = 4\) Ausführliche...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Ermitteln Sie diejenige Stelle \(x \in D\), für die \(f'(x) = 2\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = \ln{(x - 3)};\; D = \;]3;+\infty[\] Erste Ableitungfunktion \(f'\) bilden: Hierfür wird die Kettenregel sowie die Ableitung der natürlichen...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{x^2} - 1\). Geben Sie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von \(g\) sowie die Wertemenge von \(g\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Berechnen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{2}g(x)dx\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \frac{1}{x^2} - 1; \; D_g = \mathbb R \backslash \{0\}\] {slider Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale} Berechnung...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
mit erster Ableitungsfunktion \(f'\) und zweiter Ableitungsfunktion \(f''\) hat folgende Eigenschaften: \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle. Es gilt \(f'(x_2) = 0\) und \(f''(x_2) \neq 0\). \(f'\) hat ein lokales Minimum an der Stelle \(x_3\)....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von \(f\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Abb. 1 Abb. 1 Mögliche Graphen von \(f\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Analyse der Eigenschaften: \(f\) hat bei \(x_1\) eine Nullstelle. Der...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\). Abb. 2 Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
berücksichtigen, dass \(G_g\) sich für \(x \to -\infty\) asymptotisch der \(x\)-Achse annähert, \(G_g\) den Hochpunkt \((-1|1)\) und den Tiefpunkt \((0|0)\) besitzt, der Graph einer Stammfunktion \(G\) im Punkt \(P\) eine näherungsweise bestimmbare...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von \(f\) mit der \(y\)-Achse an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}\] Maximaler Definitionsbereich \(D\) der Funktion \(f\) Der Nenner der Funktion \(f\) darf nicht...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\). Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g =...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion \(g^{-1}\) von \(g\) ist in \([1;+\infty[\) definiert. Bestimmen Sie einen Term von \(g^{-1}\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g = \mathbb R_0^+\] {slider Umkehrfunktion}...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -x^2 + 2ax\) mit \(a \in \; ]1;+\infty[\). Die Nullstellen von \(f\) sind \(0\) und \(2a\). Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
von \(f\) liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Abbildung 2 zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g\), dessen einzige Extrempunkte \((-1|1)\) und \((0|0)\) sind, sowie den Punkt \(P\). Abb. 2 Geben Sie die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
berücksichtigen, dass \(G_g\) sich für \(x \to -\infty\) asymptotisch der \(x\)-Achse annähert, \(G_g\) den Hochpunkt \((-1|1)\) und den Tiefpunkt \((0|0)\) besitzt, der Graph einer Stammfunktion \(G\) im Punkt \(P\) eine näherungsweise bestimmbare...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die vier Seiten eines regelmäßigen Tetraeders sind mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 durchnummeriert. Das Tetraeder wird fünfmal geworfen. Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\left( \dfrac{3}{4}...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
kann, dass jede Zahl mindestens einmal erzielt wird. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise berechnet der Term \[\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \binom{5}{2}\] die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
drei Kugeln gelegt. Dabei wird die Farbe jeder Kugel durch Werfen eines Würfels festgelegt, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind: Wird die „1" oder die „2" erzielt, wird eine gelbe Kugel gewählt, sonst eine schwarze. Weisen Sie...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Lösung zu Teilaufgabe b \[\begin{align*} &\quad \; \, P(\text{„Beide entnommenen Kugeln sind schwarz"}) = \\[0.8em] &= \frac{12}{27} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8}{27} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{4}{27} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} =...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 +...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden \(h_a \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(\mu \in \mathbb R\) und \(a \in \mathbb R\). Weisen Sie nach, dass...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(A(3|5|5)\) und \(B(1|1|1)\) sowie die Geraden \(g\) und \(h\), die sich in \(B\) schneiden. Die Gerade \(g\) hat den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), die Gerade \(h\) den Richtungsvektor...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
jeweils zwei gegenüberliegende zueinander parallel sind (Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten). (vgl. Abiturskript - 2.1.6 Nachweis von Vierecken, spezielle Vierecke) Planskizze (schematisch, optional): Der Punkt \(C\) soll auf der Gerade \(h\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_f\) von \(f\), der die \(x\)-Achse als waagrechte Asymptote besitzt. Abb. 1 Berechnen Sie die Koordinaten des...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
den Eckpunkten \(P(-c|0)\), \(Q(c|0)\), \(R(c|f(c))\) und \(S\). Zeichnen Sie für \(c = 2\) das Rechteck \(PQRS\) in Abbildung 1 ein. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\] Für \(\textcolor{#e9b509}{c = 2}\)...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Berechnen Sie denjenigen Wert von \(c\), für den \(\overline{QR} = 1\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\] Skizze optional Die Länge der Strecke \(\textcolor{#e9b509}{[QR]}\) entspricht dem...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
des Rechtecks \(PQRS\) an und begründen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks durch den Term \(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}\) gegeben ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}; \; D_f = \mathbb R\] Skizze optional...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Flächeninhalt \(A(c)\) des Rechtecks \(PQRS\) maximal ist. Berechnen Sie diesen Wert von \(c\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \(A(c) = 4c \cdot e^{-\frac{1}{8}c^2}; \; c \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe 1e) Notwendige Bedingung für einen...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
ersten Ableitung von \(\boldsymbol{f_k}\), dass \(f_k\) für jeden Wert von \(k\) umkehrbar ist. Skizzieren Sie in Abbildung 1 den Graphen der Umkehrfunktion von \(f_0\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g \[f(x) = 2e^{-\frac{1}{8}x^2}\] \[f_k(x) = f(x) +...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
ist. Die Vorderseite wird modellhaft durch das Flächenstück beschrieben, das der Graph \(G_f\) der Funktion \(f\) aus Aufgabe 1, die \(x\)-Achse und die Geraden mit den Gleichungen \(x = -4\) und \(x = 4\) einschließen. Dabei entspricht eine...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
da seine Steigung (Steigung der Wendetangente) an der Stelle \(x = 0\) kleiner als \(F'(0) = f(0) = 2\) ist (vgl. Teilaufgabe 1a). Graph III kommt nicht infrage, da dieser in Bereichen streng monoton fallend ist. Wegen \(F'(x) = f(x) =...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Schritte eines Lösungswegs, mit dem der Wert von \(a\) rechnerisch so bestimmt werden könnte, dass bei einer Fensterhöhe von 1,50 m der Teil der Vorderseite der Dachgaube, der in Abbildung 3 schraffiert dargestellt ist, den Flächeninhalt 6 m2 hat. (5...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau. An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in \(\mathbb R\)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Es gilt \(f(2)...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Staulänge, beschrieben durch die Funktion \(f\), maximal ist. Die...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Der Stau ist um 07:36 Uhr am längsten. Begründung (Skizze optional) Abb. 1 Abbildung 1 zeigt, dass der Graph von...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(f\) die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(s\) mit \(s(x) = \left( \frac{x}{4} \right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2\) von Bedeutung. Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Die Staulänge kann...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f \[s(x) = \left( \frac{x}{4} \right)^2 \cdot (4 - x)^3 = -\frac{1}{16}x^5 + \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2; \; D_s = \mathbb...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist \(x\) die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und \(y\) die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(h_k\) mit \(h_k(x) = (x - 3)^k + 1\) und \(k \in \{1;2;3;\dots\}\). Geben Sie in Abhängigkeit von \(k\) das Verhalten von \(h_k\) für \(x \to -\infty\) an und begründen Sie Ihre...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
die Koordinaten der Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in \{1;2;3;\dots\}\] Für gemeinsame Punkte aller Graphen der Schar muss der Term \((x - 3)^k\)...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in \{1;2;3;\dots\}\] Erste Ableitung \(h'_k\) bilden: {slider title="Erste Ableitung...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Wert von \(k\) mit \(k \geq 4\) stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für \(k\) und der Flächeninhalt des Trapezes für \(k + 1\) überein. (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Begründung, weshalb jedes der Vierecke ein Trapez ist Da die Punkte...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Im Dezember 2021 wurden in Norwegen rund 14 000 Pkw neu zugelassen. In einer vereinfachten Übersicht sind die Anteile der verschiedenen Antriebsarten an diesen Neuzulassungen dargestellt. Für eine Untersuchung werden aus diesen Neuzulassungen 200...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\displaystyle \sum \limits_{k\,=\,0}^{25}\binom{200}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot (1 - 0{,}1)^{200 - k}\) berechnet werden kann. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Mögliche Formulierungen: „Unter den 200...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
ausgewählten Fahrzeugen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von \(X\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[\mu = 200 \cdot 0{,}9 = 180\] \[\sigma = \sqrt{200 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} \approx 4{,}2\] Ergänzende Erklärung (nicht...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Für einen bestimmten Wert \(n \in \{1;2;3;\dots\}\) werden für \(p \in \;]0;1[\) die binomialverteilten Zufallsgrößen \(Z_p\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) betrachtet. Weisen Sie nach, dass unter diesen Zufallsgrößen diejenige mit \(p = 0{,}5\)...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter genau zehn Plug-in-Hybride befinden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \dfrac{0{,}25}{0{,}25 + 0{,}65} = \dfrac{5}{18}\) \[\begin{align*}P(X = 10) &= B\Big(40;\small...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
In Deutschland waren zu Beginn des Jahres 2021 etwa 320 000 Pkw mit rein elektrischem Antrieb und 280 000 Plug-in-Hybride zugelassen, also insgesamt 600 000 Pkw mit Elektromotor. Der Anteil der Pkw mit Elektromotor am Gesamtbestand aller in Deutschland...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Autozulieferers haben sich für den Kauf eines Jobtickets entschieden,..." \(\Rightarrow\;P(J) = 0{,}6; \; P(\overline{J}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4\) „Bestimmen Sie unter der Annahme, dass der Anteil der Beschäftigten mit einem Jobticket an beiden Standorten...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
der Beschäftigten ein Jobticket." \(\Rightarrow\;P_B(J) = 0{,}5\) Außerdem bereits bekannt (vgl. Angabe Aufgabe 3, Teilaufgabe 1a) \(P(B) = 0{,}2\); \(P(J) = 0{,}6\) „Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein... Beschäftigter..., der ein...

Teilaufgabe 1

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erzielt." \(B\): „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt." (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[\begin{align*} P(A) &= P_{0{}5}^{20}(X = 7) \\[0.8em] &= B(20;0{,}5;7) \\[0.8em] &= \binom{20}{7} \cdot 0{,}5^7 \cdot...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
(Laplace-Experiment). {/sliders} Insgesamt gibt es bei zweimaligem Drehen des Glücksrads \(\vert \Omega \vert = 10^2 = 100\) Ergebnisse (mögliche Kombinationen). Ergebnisse und Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(\boldsymbol{C}\) \(C\): „Die Summe der...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
dafür, dass er eine Auszahlung erhält. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \[P(\text{„Auszahlung"}) = 0{,}9^4 = 0{,}65610 \approx 65{,}6\,\%\] Ergänzende Erklärung (nicht verlangt) Der Spieler bekommt eine Auszahlung, wenn er viermal keine „0" erzielt....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
zu Teilaufgabe 3b Zufallsgröße \(X\): Auszahlungsbetrag in Euro nach einer weiteren Drehung des Glücksrads. \[E(X) = (0+61+62+63+64+65+66+67+68+69)\cdot 0{,}1 = 58{,}5\] Da \(58{,}5...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
zu Teilaufgabe 3c Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Höhe der Auszahlung in Euro beschreibt. Sind \(n\) und \(n + 1\) zwei aufeinanderfolgende Werte von \(n\), so sind \(E_n(X) = 5n \cdot 0{,}9^n\) und \(E_{n\,+\,1}(X) = 5(n+1) \cdot...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Im Folgenden wird ein Glücksrad mit n gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 0 bis n - 1 durchnummeriert sind, betrachtet. Bestimmen Sie für n = 5 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dreimaligem Drehen des Glücksrads genau zwei gleiche Zahlen...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Sie den kleinstmöglichen Wert von n, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Zahlen verschieden sind, kleiner als 1 % ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[\frac{6!}{6^6} \approx 0{,}01543 \approx 1{,}5\,\%;\enspace \frac{7!}{7^7} \approx...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(A(19|0|0)\), \(B(0|19|0)\), \(E(12|0|7)\) und \(F(0|12|7)\) (vgl. Abbildung 1). Das Viereck \(ABFE\) liegt in der Ebene \(L\). Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABFE\) ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist. (3 BE)...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Körper \(ABCDEFGH\), bei dem die quadratische Grundfläche \(ABCD\) parallel zur quadratischen Deckfläche \(EFGH\) liegt. Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_1x_3\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_2x_3\)-Ebene....

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Zeichnen Sie die Pyramide \(EFGHS_{15}\) in Abbildung 1 ein. Die Seitenfläche \(EFS_{15}\) und die Grundfläche \(EFGH\) dieser Pyramide schließen einen Winkel ein. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass die Größe dieses Winkels kleiner als 45° ist;...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
auf die Knickpyramide Sonnenstrahlen, die im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{15}E}\) dargestellt werden. Der Schatten der Spitze der Knickpyramide auf dem horizontalen Boden wird durch den Punkt \(T\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Abbildung zeigt den Körper \(ABCDEF\) mit \(A(6|3|0)\), \(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\). Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform....

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Winkel, den die Ebene \(\textcolor{#cc071e}{L}\) mit der \(\textcolor{#0087c1}{x_1x_2}\)-Ebene einschließt (Schnittwinkel), ist...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) kann mit dem Term \(6 \cdot 6 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\) berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. (3 BE)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Berechnen Sie das Volumen des Körpers \(ABCDEF\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[A_{\text{ABC}} = 6\cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 13{,}5\] \[V_{\text{ABCDEF}} = 13{,}5 \cdot 6 + \frac{1}{3} \cdot 13{,}5...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(N_k\) enthält die \(x_3\)-Achse und den Punkt \(P_k(1-k|k|0)\) mit \(k \in \; ]0;1[\). Welche Kanten des Körpers von \(N_k\) geschnitten werden, ist abhängig von \(k\). Durchläuft \(k\) alle Werte zwischen \(0\) und \(1\), so gibt es...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie die \(x_3\)-Koordinate von \(Q\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Planskizze (optional): Das Dreieck \(\textcolor{#cc071e}{FQR}\) hat bei \(\textcolor{#cc071e}{Q}\) einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsvektoren...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im...

Forum - Nutzungsbedingungen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: AGB Language: *
§ 1 Geltungsbereich Für die Nutzung des Forums von mathelike.de (nachfolgend "Anbieter" genannt) gelten nachfolgende Bedingungen. Die Nutzung des Forums ist nur zulässig, wenn Sie als Nutzer diese Nutzungsbedingungen akzeptieren. § 2 Registrierung,...

2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *
dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und Abiturskript - 2.1.3 Skalarprodukt von...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie diesen Körper. In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel \(V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \cdot \pi \cdot b\) zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an,...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
rechtwinkligen Dreiecks \(MSF\) mit den Katheten \([MF]\) und \([FS]\). \[\begin{align*}A_{MTSF} &= 2 \cdot \textcolor{#cc071e}{A_{MSF}} \\[0.8em] &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{MF}} \cdot \textcolor{#cc071e}{\overline{FS}}...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Weisen Sie nach, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) im Punkt \(T(3|12|-2)\) berührt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d 1. Möglichkeit: Berührpunkt mit Kugelgleichung bestimmen Kugelgleichung in Koordinatendarstellung aufstellen...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(-13|20|0)\) berührt die Ebene \(E\). Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\). (zur Kontrolle: \(F(-5|4|2)\), \(r = 18\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\vert}{\vert \overrightarrow{u} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{E} \vert} \enspace \Rightarrow \enspace \beta = \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &= 90^{\circ} - \beta \end{align*}\] \[\sin \alpha = \frac{\vert \overrightarrow{u} \circ...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mithilfe der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Ebene \(F\) schneidet die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\). (zur Kontrolle: \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Der Punkt \(L\), der vertikal über dem Mittelpunkt der Kante \([A_{1}A_{2}]\) liegt, veranschaulicht im Modell die Position einer Flutlichtanlage, die 12 m über der Grundfläche angebracht ist. Die als punktförmig angenommene Lichtquelle beleuchtet -...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Der Punkt \(T(7|10|0)\) liegt auf der Kante \([A_{3}A_{4}]\). Untersuchen Sie rechnerisch, ob es Punkte auf der Kante \([B_{3}B_{4}]\) gibt, für die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
b Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen. {slider...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Mehrzweckhalle, die auf einer horizontalen Fläche steht und die Form eines geraden Prismas hat. Die Punkte \(A_{1}(0|0|0)\), \(A_{2}(20|0|0)\), \(A_{3}\) und \(A_{4}(0|10|0)\) stellen im Modell die Eckpunkte der...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Treffer von Lisa beschreibt. {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Tafelwerks (ST) ergibt sich: \[\begin{align*} P(\text{„Joe gewinnt"}) &= \sum_{I\,=\,3}^{6}B(6;0{,}2;i) \\[0.8em] &= 1 - \sum_{I = 0}^{2}B(6;0{,}2;i) \\[0.8em] &\overset{\text{ST}}{=} 1 - 0{,}90112 \\[0.8em] &= 0{,}09888 \approx 9{,}9\,\% \end{align*}\]...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Listen eintragen. 45 % der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, 15 % haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. 90 % der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben,...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
dafür zu berechnen, dass fünf Mädchen und fünf Jungen einen Ball erhalten, verwendet Max den Ansatz \(\binom{10}{5} \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{5} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{5}\). Geben Sie an, ob Max dabei vom Modell „Ziehen mit...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
für die Aufstellung der neun Kinder, wenn die drei Spielführerinnen nebeneinanderstehen sollen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a 3 Spielführerinnen, 6 Spielführer Es gibt 7 Möglichkeiten dafür, dass die 3 Spielführerinnen nebeneinander stehen. Anmerkung:...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
binomialverteilten Zufallsgröße} Varianz \(Var(X)\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\): \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\) (vgl. Merkhilfe) Wobei \(n\) die Länge der Bernoulli-Kette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Varianz von \(Y\) ist gleich \(\frac{11}{8}\). Bestimmen Sie die Werte von \(a\) und \(b\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Die Aufgabenstellung gibt die Bedingung \(Var(Y) = \frac{11}{8}\) vor. Außerdem gilt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Zufallsgröße \(Y\) kann die Werte 0, 1, 2, 3 und 4 annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) mit \(a, b \in [0;1]\). Beschreiben Sie, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von \(Y\) gleich 2 ist....

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
einen solchen einrichten zu lassen. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\) angegeben wird. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[0{,}2^{10} + (1 - 0{,}2)^{10}\] Der Term ist das Ergebnis des folgenden...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
% noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 10 angeschriebenen Haushalten ● mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen. ● genau acht bereits...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \(A\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss." \(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
welche die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt. Nordufer \[A_{k}(x) = \frac{8}{1 + 7e^{kx}}; \; k...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2e Bisherige Ergebnisse: \(A(0) = 1\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Steigung der Tangente im Punkt \((0|1)\): \(\textcolor{#cc071e}{A'(0) = 0{,}175}\) (vgl. Teilaufgabe...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
zu Beobachtungsbeginn. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\] {slider Differentialquotient oder lokale (momentane) Änderungsrate}...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ergebnis im Sachzusammenhang. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\] Die Bedingung \(A(x_{0}) = 4\) führt zu einer Exponetialgleichung, die sich...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der Zeit ständig zunimmt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\] Bestimmung von \(A(0)\) und Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang \(x\):...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von \(G_{f}\), der \(y\)-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen \(y = 1\) und \(x = 5\) begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu \(s = 5\) gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Für jeden Wert \(s > 0\) legen die Punkte \((0|1)\), \((s|1)\), \((s|f(s))\) und \((0|f(s))\) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(R(s)\) fest. Zeichnen Sie dieses Rechteck für \(s = 5\) in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass \(R(s)\) für einen...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 + 7e^{-0{,}2x}\) mit Definitionsbereich \(\mathbb R_{0}^{+}\); die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\). Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung \(y = 1\) waagrechte Asymptote von \(G_{f}\)...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
sowie den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks \(P_{k}Q_{k}R\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[A(k) \frac{2k}{x^{2} + 1}; \; k > 0\] Nachweis, dass es einen Wert von \(k > 0\) gibt, für den \(A(k)\) maximal ist sowie Berechnung des Wertes von \(k\)...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(k > 0\) legen die auf \(G_{f}\) liegenden Punkte \(P_{k}(-k|f(-k))\) und \(Q_{k}(k|f(k))\) gemeinsam mit dem Punkt \(R(0|1)\) ein gleichschenkliges Dreieck \(P_{k}Q_{k}R\) fest. Berechnen Sie für \(k = 2\) den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Skizzieren Sie den Graphen von \(F\) für \(0 \leq x \leq 3\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Arithmetisches Mittel der beiden Näherungswerte für \(F(1)\) Näherungswert aus Teilaufgabe 2b:...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Funktion \(x \mapsto \cos{x}\) hervorgeht, und berechnen Sie durch Integration von \(g\) einen weiteren Näherungswert für \(F(1)\). (zur Kontrolle: \(F(1) \approx -\frac{2}{\pi}\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[x \mapsto \cos{x}\] \[g(x) =...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Gerade mit der Gleichung \(y = x - 1\) begrenzt gemeinsam mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Geben Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks und den sich daraus ergebenden Näherungswert für \(F(1)\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Flächeninhalt...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
in \(x = 0\) eine Nullstelle hat, und machen Sie mithilfe des Verlaufs von \(\mathbf{G_{f}}\) plausibel, dass im Intervall \([1;3]\) eine weitere Nullstelle von \(F\) liegt. Geben Sie an, welche besondere Eigenschaft \(G_{F}\) im Punkt \((-1|F(-1))\)...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(t\) die \(x\)-Achse schneidet, und zeichnen Sie \(t\) in die Abbildung 1 ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}; \; D_{f} = \mathbb R\] \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} +...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\); die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen \(G_{f}\). Bestätigen Sie rechnerisch, dass \(G_{f}\) symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse ist, und...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(P(-2|3|0)\), \(R(2|-1|2)\) und \(Q(q|1|5)\) mit der reellen Zahl \(q\), wobei \(Q\) von \(P\) genauso weit entfernt ist wie von \(R\). Bestimmen Sie \(q\). (zur Kontrolle: \(q = -2\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Der Punkt...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Koordinaten des Eckpunkts \(S\) Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der Strecke \([PR]\) (vgl....

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Strecke \([PQ]\) mit den Eigenschaften \(P(8|-5|1)\) und \(Q\) ist Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt \(M(5|-1|1)\). Berechnen Sie die Koordinaten von \(Q\) und weisen Sie nach, dass der Punkt \(R(9|-1|4)\) auf der Kugel liegt. (3 BE) Lösung...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere Sektor ist mit der Zahl 1 und der kleinere mit der Zahl 3 beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glücksrads die Zahl 1 zu erzielen, wird mit...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\): \(X = x_{i}\) \(2\) \(4\) \(6\) \(P(X = x_{i})\) \(p^{2}\) \(2p \cdot (1 - p)\) \((1 - p)^{2}\) (\(P(X = 4) = 2p \cdot (1 - p)\); vgl. Teilaufgabe a) Der Erwartungswert \(E(X)\) der Zufallsgröße...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
beim Werfen mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Jeder grüne Würfel trägt auf fünf Seitenflächen die Augenzahl 1 und auf einer die Augenzahl 6. Jeder rote Würfel trägt auf jeweils zwei Seitenflächen die Augenzahlen 1, 3 bzw. 6. In einer...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 7)\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Alle Werte der Zufallsgröße \(X\) \[x_{i} = \{2; 4; 7; 9; 12\}\] Begründung (nicht verlangt) grüner Würfel: 5 Seitenflächen mit Augenzahl 1, eine Seitenfläche mit Augenzahl 6 roter...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\) in einem Koordinatensystem und geben Sie \(D_{g}\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \ln{(2 - x^{2})}\] Skizze der Parabel mit der Gleichung \(y = 2 - x^{2}\) \[y = 2 - x^{2} =...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ermitteln Sie den Term der Ableitungsfunktion \(g'\) von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die Ableitungsfunktion \(g'\) lässt sich mithilfe der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion sowie der Ableitung einer...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Berechnen Sie unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens von \(G_{h}\) einen Näherungswert für \(\displaystyle \int_{10}^{20} h(x)dx\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b {slider Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale} Berechnung...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
+ 4}; \; D_{k} = \mathbb R\] Nullstellen von \(k\) Die gebrochenrationale Funktion \(k\) besitzt die Nullstellen \(x_{1} = 0\) und \(x_{2} = 2\) Begründung (nicht verlangt) Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(k\) sind alle Nullstellen des...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Integralfunktion \(\displaystyle J \colon x \mapsto \int_{2}^{x} f(t) dt\). Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2, dass \(J(1) \approx -1\) gilt, und geben Sie einen Näherungswert für den Funktionswert \(J(4{,}5)\) an. Skizzieren Sie den Graphen von...

Teilaufgabe 4c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
D_{g} = \mathbb R\) (vgl. Angabe Aufgabe 4) \[k(x) = x - g(x); \; D_{k} = \mathbb R\] Beispielsweise ist \(K(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} + 0{,}7x - 1{,}4 \cdot e^{0{,}5x}\) eine Stammfunktion von \(k(x)\). Mögliche Vorgehensweise (nicht verlangt) Zunächst...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
fehlenden Teil von \(G_{h}\) ein. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4a {slider Umkehrfunktion} Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\) Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\) 1. Funktionsgleichung \(\,y =...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\mathbb R; \; m \in \mathbb R\] Für \(-4 < m...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
auf einen Berührpunkt hinweist. \[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\] \[g_{4}(x) = 4 \cdot x; \; D_{g_{4}} = \mathbb R\] 1. Möglichkeit: Funktionsterme gleichsetzen Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des gemeinsamen Punkts von \(G_{f}\) und...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die \(x\)-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von \(f\) jeweils eine solche Tangente hat. (2...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f'}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) einer in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten. Begründen...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von \(h\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}; \; D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\] \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\) (vgl. Teilaufgabe 1a)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion \(h'\) gilt: \(h'(x) = \ln{(x^{2})} + 2\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[h(x) = x \cdot \ln{(x^{2})}\] Maximaler Definitionsbereich \(D_{h}\) \[D_{h} = \mathbb R \backslash \{0\}\] Begründung...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene \(T\) schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten \(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\) und \(L(1|0|5)\). Zeichnen Sie das Viereck \(IJKL\) in die Abbildung ein und zeigen Sie, dass...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{IJ} \times \overrightarrow{IL}\) der...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\) gegeben. Bestimmen Sie den Wert von \(a\), sodass die Gerade...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Für jedes \(a \in \mathbb R^{+}\) liegt die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(U\) mit der Gleichung \(x_{1} = 2{,}5\). Ein beliebiger Punkt \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) des Raums wird an der Ebene \(U\) gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 0 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10a \\ \frac{2}{a} \end{pmatrix}; \;\lambda \in \mathbb R, \; a \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe c) \(T \colon 5x_{1} +...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
der Pyramide \(IJKLS\) liegt auf der Strecke \([FG]\) und hat entsprechend der Abbildung die Koordinaten \(\textcolor{#cc071e}{S(5|s|5)}\) mit \(\textcolor{#cc071e}{s \in [0;5]}\). Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
soll der Abstand der beiden Stellen, an denen die beiden Bohrkanäle auf die wasserführende Gesteinsschicht treffen, mindestens 1500 m betragen. Entscheiden Sie auf der Grundlage des Modells, ob diese Bedingung für jeden möglichen zweiten Bohrkanal...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Nachweis des Punktes \(T(t|-t|4{,}3)\) Im Modell verläuft der zweite Bohrkanal entlang der Lotgeraden \(BT\) zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Ein Richtungsvektor der Lotgeraden \(BT\) ist beispielsweise der Vektor \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Koordinaten von \(R\) und ermitteln Sie die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht auf Meter gerundet. (zur Kontrolle: \(x_{1}\)- und \(x_{2}\)-Koordinate von \(R\): \(1{,}04\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Da der Bohrkanal die wasserführende...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
der Ebene \(E\) (vgl. Abbildung). Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(E \colon 4x_{1} + 4x_{2} - 10x_{3} - 43 = 0\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Da die Strecke \([PQ]\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht,...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\vert \overrightarrow{b} \vert}\,; \quad \varphi \in [0;\pi]\] {/sliders} \(\overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\); \( \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2{,}5 \end{pmatrix}\); \(\vert \overrightarrow{AP} \vert...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Bohrkanal heißes Wasser aus einer wasserführenden Gesteinsschicht an die Erdoberfläche. In einem Modell entspricht die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems der horizontal verlaufenden Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Der Angestellte konnte bei der Durchführung des Tests zehn von 100 erwachsenen Besuchern dazu animieren, Lose zu kaufen. Er behauptet, dass er zumindest bei Personen mit Kind eine Erfolgsquote größer als 10 % habe. Unter den 100 angesprochenen...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
mit der Erfolgsquote des Angestellten unzufrieden. Die Inhaberin möchte dem Angestellten das Gehalt kürzen, wenn weniger als 15 % der angesprochenen Besucher Lose kaufen. Die Entscheidung über die Gehaltskürzung soll mithilfe eines Signifikanztests auf...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie „Main" wie Lose der Kategorie „Donau". Ein Los kostet 1 Euro. Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie „Donau" 8 Euro, in der Kategorie „Main"...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\(X\) höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \(X\): Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen. \(n = 25\); \(p = \frac{1}{6}\) Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(25;...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\sum \limits_{i\,=\,5}^{8}B\left( 25;\frac{1}{6};i \right)\) berechnet werden kann. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[\sum \limits_{i\,=\,5}^{8}B\left( 25;\frac{1}{6};i...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
dafür, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens ein Besucher ein Lebkuchenherz trägt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \(X\): Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen. \(n = 25\); \(p = \frac{1}{6}\) (jeder sechste Besucher) Die...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." (vgl. Teilaufgabe 2d) {slider Fehler 1. Art / Fehler 2. Art} Da die Entscheidung über die Annahme oder Ablehnung einer...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens 10 %." mithilfe einer Stichprobe von 200 Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Vor der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Person mit Reservierung abweisen zu müssen, höchstens ein Prozent wäre." {slider Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)} Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer) Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \(p = 0{,}1\), \(n = 64\) \(X\): Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen. \(X\) ist nach \(B(64; 0{,}1)\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, 10 % beträgt. Die auf der nächsten Seite abgebildete Tabelle ergänzt das zugelassene Tafelwerk (vgl. Seitenende). Geben Sie einen...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
den Jugendlichen und Kindern 75 %. Berechnen Sie, wie viele Erwachsene an der Fahrt teilnehmen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \(\frac{60}{2} = 30\) Fahrgäste essen ein Eis. Diese \(30\) Fahrgäste setzen sich zu einem Drittel aus Erwachsenen \((x)\) und...

Teilaufgabe k

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der Modellierung diese beiden Bedingungen erfüllt sind. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe k \[k(x) = \frac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5; \; D_{k} = \mathbb R\] Grenzwert \(\lim \limits_{x\,˝o\,+\infty} k(x)\) ermitteln \[\begin{align*} \lim...

Teilaufgabe j

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und kontinuierlich zugeführt. Die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto \dfrac{3 \cdot e^{2x}}{e^{2x} + 1} - 1{,}5\) beschreibt für \(x \geq 0\) modellhaft die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration während einer...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeitpunkt, zu dem die zweite Tablette eingenommen werden soll. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe h \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; x \in [0;9]\] Die Bedingung \(f(x) = 0{,}75\) legt den spätesten Zeitpunkt \(x\) fest, zu dem die zweite Tablette...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe g \(F(x) = 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}; \; D_{F} = \; ]-1;+\infty[\) (vgl. Teilaufgabe d) Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A(b)\), welches die...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
einen Wendepunkt. (vgl. Merkhilfe) Alternative: Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten. {/sliders} 1) \(f''(2) = 0\) nachweisen 2) Vorzeichenwechsel von \(f''\) an der Stelle \(x = 2\) nachweisen (z.B. mit einer Kümmungstabelle)...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
und geben Sie die maximal auftretende Wirkstoffkonzentration an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe e \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; x \in [0;9]\] \(x\): Zeit in Stunden \(f(x)\): Wirkstoffkonzentration in \(\frac{\sf{mg}}{\sf{l}}\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist ferner die in \(]-1;+\infty[\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4 \cdot \ln{(x + 1)} + \dfrac{4}{x + 1}\). Zeigen Sie, dass \(F\) für \(x > -1\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[F(x) = 4 \cdot...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
zu Teilaufgabe c Begründung, dass \(G_{f}\) für \(x < 0\) nur im III. Quadranten verläuft \[f(x) = \frac{4x}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{>\,0}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\] Der Wert des Nenners von \(f\) ist in \(D_{f}\) stets positiv. Der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[f(x) = \frac{4x}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\] Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) Die notwendige Bedingung für einen...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x}{(x + 1)^{2}}\) mit Definitionsmenge \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\). Die Abbildung zeigt den Verlauf des Graphen \(G_{f}\) von \(f\) im I. Quadranten. Begründen Sie, dass \(x = 0\) die...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein. Abb. 3 (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3d Aufgrund der Steigung der Wendetangente \(m_{W_{-1}} = 9 = \dfrac{9}{1} \left( = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)\) (vgl. Teilaufgabe 3c) hat ein vom Koordinatenursprung...

Teilaufgabe 3c

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an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\] \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\): \(x = -\dfrac{1}{k} - 1\) (vgl. Teilaufgabe...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\). (zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\] Die notwendige...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_{k} \colon x \mapsto kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) und den zugehörigen Graphen \(G_{k}\). Für jedes \(k\) besitzt der Graph...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen \(G_{f}\) und der \(x\)-Achse im Bereich \(2 \leq...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\) \[m_{T} = f'(x_0)\] (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[m = f'(2)\] Mit \(f'(x) = \dfrac{1}{1 - x}\) (vgl. Teilaufgabe 2b) folgt somit: \[\begin{align*} \tan{\alpha} &= f'(2) \\[0.8em] \tan{\alpha} &= \frac{1}{1 - 2}...

Teilaufgabe 2c

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mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c 1) Die Sekante durch die Punkte \(\textcolor{#0087c1}{(2|f(2))}\) und \(\textcolor{#0087c1}{(8|f(8))}\) in Abbildung 2 einzeichnen....

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
von \(f\) gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] Die mittlere Änderungsrate \(m\) im Intervall \([2;8]\) ist gegeben durch: {slider...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park. Abb. 1 Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Zeigen Sie, dass \(F \colon x \mapsto 3x - (x - 1) \cdot \ln{(x - 1)}\) mit Definitionsbereich \(D_{f} = \; ]1; +\infty[\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von \(f\), die bei \(x = 2\) eine Nullstelle hat....

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(x \mapsto \ln{x}\) hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von \(G_{f}\). (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] \[x \mapsto \ln{x}\] Beschreibung, wie \(G_{f}\) schrittweise aus dem...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Berechnen Sie die Nullstelle von \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[f(x) = 2 - \ln{(x - 1)}; \; D_{f} = \; ]1;+\infty[\] Für die Berechnung der Nullstelle von \(f\), wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt. Die entstehende Logarithmusgleichung...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2 - \ln{(x - 1)}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Zeigen Sie, dass \(D_{f} = \; ]1;+\infty[\) ist, und geben Sie das Verhalten von \(f\) an den...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die beiden Kugeln \(k_{1}\) mit Mittelpunkt \(M_{1}(1|2|3)\) und Radius \(5\) sowie \(k_{2}\) mit Mittelpunkt \(M_{2}(-3|-2|1)\) und Radius \(5\). Zeigen Sie, dass sich \(k_{1}\) und \(k_{2}\) schneiden. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Schnittfigur von \(k_{1}\) und \(k_{2}\) ist ein Kreis. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius dieses Kreises. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[k_{1} \colon M_{1}(1|2|3); \; r_{1} = 5\] \[k_{2} \colon M_{2}(-3|-2|1); \;...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer Geraden \(\textcolor{#cc071e}{g}\), welche sich beispielsweise durch die Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{g \colon \overrightarrow{X} = \lambda \cdot...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer Geraden \(\textcolor{#cc071e}{g}\), welche sich beispielsweise durch die Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{g \colon \overrightarrow{X} = \lambda \cdot...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
die Dreiecke \(BCM\) und \(ABM\) den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b 1. Möglichkeit: Seitenhalbierende {slider Seitenhalbierende eines Dreiecks} Besondere Linien und Punkte eines Dreiecks:...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
von \(D\) und geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \([AC]\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Koordinaten des Punktes \(D\) Die Koordinaten des Punktes \(D\) lassen sich durch Vektorasddition bestimmen, beispielsweise wie folgt...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0" beschriftet, einer mit „1" und einer mit „2"; die beiden anderen Sektoren sind mit „9" beschriftet. Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren....

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Parameterwert \(n = 5\). Dem Diagramm in Abbildung 1 kann man die Wahrscheinlichkeitswerte \(P(X \leq k)\) mit \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4\}\) entnehmen. Ergänzen Sie den zu \(k = 5\) gehörenden...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
(Knotenregel) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
ist eine Bernoullikette mit der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Erklären Sie, dass für alle \(k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}\) die Beziehung \(B(n; p; k) = B(n; 1 - p; n - k)\) gilt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3 \[B(n; p; k) = B(n; 1...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Zufallsgröße \(X\) kann ausschließlich die Werte \(1\), \(4\), \(9\) und \(16\) annehmen. Bekannt sind \(P(X = 9) = 0{,}2\) und \(P(X = 16) = 0{,}1\) sowie der Erwartungswert \(E(X) = 5\). Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren....

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0" beschriftet, einer mit „1" und einer mit „2"; die beiden anderen Sektoren sind mit „9" beschriftet. Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] \(g \colon y = -3\) bzw. \(g(x) = -3\) Flächeninhalt \(A\) der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\), die die Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = 1\) hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f, der symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((8|g(8))\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[g(x) = \sqrt{x + 1} -2; \; D = [-1;+\infty[\] Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \((8|g(8))\) berechnet: \[g(8) =...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x + 1} - 2\) mit maximaler Definitionsmenge \(D\). Geben Sie \(D\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \[g(x) = \sqrt{ x + 1} -2\] {slider Maximale Definitionsmenge bestimmen} Maximale...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Graph der Umkehrfunktion von \(j\) haben keinen gemeinsamen Punkt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b Zum Beispiel: \(j(x) = x + 1\); \(j(x) = x - 1\); \(j(x) = x - 2\) usw. oder \(j(x) = e^{x}\) (mit Umkehrfunktion \(j^{-1}(x) = \ln{x}\)) Begründung...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
monoton (steigend oder fallend), so ist sie dort umkehrbar. {/sliders} Begründung (nicht verlangt) Es gilt \(\cos{\pi} = -1\). Die Funktion \(h_{\pi}(x) = \cos{x}\) mit \(D_{\pi} = [0;\pi]\) ist streng monoton fallend und deshalb umkehrbar. Graphische...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f\). Geben Sie das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründen Sie Ihre Angabe. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \(F\) ist im Intervall \([1;3]\) streng monoton fallend. Begründung...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
der Fläche, die der Graph von f, die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[f(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] \(g \colon y = -3\) bzw. \(g(x) = -3\) Flächeninhalt \(A\) der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R \backslash \{0\}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - \dfrac{1}{x^{2}}\), die die Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = 1\) hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f, der symmetrisch bezüglich der \(y\)-Achse...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
= \mathbb R \backslash \{0\}\). Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \frac{e^{2x}}{x};\; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] Bestimmung der Lage des Extrempunkts Die notwendige Bedingung...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten \((5|10|h)\) mit einer reellen Zahl \(h > 3\). Die untere Netzkante liegt auf der Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} =...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(L\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider Ebenen einschließen....

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
beiden anderen Vektoren darzustellen versucht. {/sliders} \[\begin{align*}\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \quad &\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \cdot...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB}...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Untergrund. Die Plattformen und die Kletterwand werden als ebene Vielecke betrachtet. Eine...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2). Abb. 2 Das Volumen \(V\) eines Kugelsegments kann mit der Formel \(V = \frac{1}{3} \pi h^{2} \cdot (3r - h)\) berechnet werden, wobei \(r\) den Radius der Kugel und \(h\) die Höhe des Kugelsegments...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
des Sonnensegels gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(E\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider Ebenen einschließen. Beispielsweise ist...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
hat die Koordinaten \((6|-2|0)\). Zeichnen Sie das Dreieck, das den Schatten des Sonnensegels darstellt, in Abbildung 1 ein. Entscheiden Sie anhand der Zeichnung, ob mehr als die Hälfte des Sandkastens beschattet ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Auf das Sonnensegel fallen Sonnenstrahlen, die im Modell und in der Abbildung 1 durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{S_{1}K_{1}}\) dargestellt werden können. Das Sonnensegel erzeugt auf dem Boden einen dreieckigen Schatten....

Teilaufgabe b

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vorliegenden Situation nötig ist (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Es ist der Flächeninhalt \(A\) des Sonnensegels (Dreieck \(S_{1}S_{2}S_{3}\)) zu berechnen und mit der Herstellerermpfehlung zu vergleichen. Der Flächeninhalt \(A\) lässt sich mithilfe des...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird. In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\),...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist." \[P(R) = 2p\] \[P(B) = 1 - P(G) - P(R) = 1 - p - 2p = 1 - 3p\] Entsprechend des abgebildeten Teils eines Baumdiagramms gilt nach der ersten Pfadregel:...

Teilaufgabe 2b

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der Zufallsgröße \(A\): Ereignis „3 gleiche Farben" „3 versch. Farben" andere Kombination \(A = a_{i}\) \(10\) \(x\) \(0\) \(P(A = a_{i})\) \(\dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{1}{6}\) \(1 - 2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\) Erwartungswert \(E(A)\)...

Teilaufgabe 2a

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Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt...

Teilaufgabe 1c

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welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Die Wahl der Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4 %." minimiert die Wahrscheinlichkeit...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen sie die zugehörige Entscheidungsregel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die Entscheidungsregel wird mithilfe eines Signifikanztests ermittelt. Ein Signifikanztest gibt der Wahrscheinlichkeit für...

Teilaufgabe 1a

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\(A\): „Genau zwei der Teile sind fehlerhaft." \(B\): „Mindestens 6 % der Teile sind fehlerhaft." (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der fehlerhaften Kunststoffteile beschreibt. Die Zufallsgröße \(X\) ist...

Teilaufgabe 2b

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die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf 10 % gesunken ist. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Tempoverstöße...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
soll davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw mit einer Wahrscheinlichkeit von 19 % größer als 83 km/h ist. Berechnen Sie die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit...

Teilaufgabe 1c

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Aussage zutrifft: „Bei mehr als 95 % der erfassten Fahrten wird \(v^{*}\) nicht überschritten." (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Es sei \(X\) die nach \(B(100;0{,}8)\) binomialverteilte Zufallsgröße, welche die auf km/h genau gemessene Geschwindigkeit...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
der auf km/h genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 100\) und \(p = 0{,}8\) beschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht \(B(100; 0{,}8; 77)\) näherungsweise dem Anteil der mit...

Teilaufgabe 2d

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Gewinn lautet: \[G'(x) = 0\] Gewinnfunktion \(G\) beschreiben: \[\begin{align*}G(x) &= E(x) - K(x) \\[0.8em] &= 23x - (x^{3} - 12x^{2} + 50x + 20) \\[0.8em] &=-x^{3} + 12x^{2} - 27x - 20 \end{align*}\] Im Sachzusammenhang ist der in Teilaufgabe 2c...

Teilaufgabe 1g

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Inhalts \(\frac{625}{72}\) einschließen. Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion \(h\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g Der Graph der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{x}\) verläuft zwischen den Nullstellen \(x = 0\) und \(x = \pi\) oberhalb der...

Teilaufgabe 1f

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Begründen Sie, dass \(F_{1}\) höchstens vier Nullstellen hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion \(F_{1}\) eine Stammfunktion von \(f\), {slider Hauptsatz der Differential-...

Teilaufgabe 1e

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Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass \(F_{1}\) mindestens eine weitere positive Nullstelle hat. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Da \(G_{f}\) punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(5|0)\) ist (vgl. Teilaufgabe 1b), gilt: \[...

Teilaufgabe 1d

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Im Folgenden wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F_{1}\) mit \(\displaystyle F_{1}(x) = \int_{1}^{x} f(t) dt\) betrachtet. \(F_{1}\) hat für \(0 \leq x \leq 10\) zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre...

Teilaufgabe 1c

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\(G_{f}\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 25x)\) durch Verschiebung in positive \(x\)-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von \(g\) dazu verschoben werden...

Teilaufgabe 1b

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Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b !!! Derzeit in Bearbeitung !!! Nachweis, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt Die notwendige Bedingung...

Teilaufgabe 1a

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Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) drittens Grades mit Definitions­menge \(\mathbb R\). \(G_{f}\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 0\), \(x = 5\) und \(x = 10\) und verläuft durch den Punkt \((1|2)\)....

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
liegt somit auf der Wasseroberfläche des vollständig gefüllten Aquariums (vgl. Angabe Teilaufgabe 2c). Der Tiefpunkt \(T(1|-2)\) von \(G_{f}\) (vgl. Teilaufgabe 1a) beschreibt einen Punkt auf dem Beckengrund des Aquariums . Somit lässt sich die...

Teilaufgabe 2a

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in \(]-\infty;8[\) definierten Funktion \(g\). Dieser Graph wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Zeichnen Sie \(G_{g}\) in Abbildung 1 ein. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Für die Zeichnung von \(G_{g}\) empfiehlt sich die Spiegelung der bekannten Nullstellen...

Teilaufgabe 1f

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Im IV. Quadranten schließt \(G_{f}\) zusammen mit der \(x\)-Achse und den Geraden mit den Gleichungen \(x = 1\) und \(x = 2\) ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa \(1{,}623\) beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn...

Teilaufgabe 1e

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Die gebrochen-rationale Funktion \(h \colon x \mapsto 1{,}5x - 4{,}5 + \frac{1}{x}\) mit \(x \in \mathbb R \backslash \{0\}\) stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für \(f\) dar. Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen...

Teilaufgabe 1d

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Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte \(c \in \; ]0;6[\) gibt, für die gilt: \(\displaystyle \int_{e^{-1}}^{c} f(x) dx = 0\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[\int_{e^{-1}}^{c} f(x)dx = 0; \; c \in \; ]0;6[\] {slider...

Teilaufgabe 1c

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\limits_{x\,\to\,0}f'(x) = -\infty\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty}f'(x) = 0\) gilt. Geben Sie \(f'(0{,}5)\) und \(f'(10)\) auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) unter Berücksichtigung aller...

Teilaufgabe 1b

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der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nachweis des Wendepunkts \(W\) Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt von \(G_{f}\) lautet: {slider Wendepunkt} Anwendung...

Teilaufgabe 1a

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Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto 2 \cdot \left( \left( \ln{x} \right)^{2} - 1\right)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\). Abb. 1 Zeigen Sie, dass \(x = e^{-1}\) und \(x = e\) die einzigen...

Teilaufgabe 2b

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liegt auf \(g\) und ist verschieden von \(F\). Geben Sie die besondere Bedeutung der Strecke \([CF]\) im Dreieck \(ABC\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Die Strecke \([CF]\) ist im Dreieck \(ABC\) die Höhe von Eckpunkt \(C\) auf die Seite \([AB]\).

Teilaufgabe 2a

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Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\). Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A\) und \(B\). Zeigen Sie, dass sich...

Teilaufgabe 1b

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Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die \(x_{1}\)- sowie die \(x_{3}\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S_{x_{2}}\) der Ebenen \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse ist jeweils gleich...

Teilaufgabe 1a

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Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB} \times...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\) mit \(a \in \mathbb R\) Die \(x_{1}\)- sowie die \(x_{2}\)-Koordinate des...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\). Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten des Punkts, in dem...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(g\) berührt die Kugel im Punkt \(B(-3|8|2)\). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Es gibt unendliche viele Geraden, welche die Kugel im Punkt \(B\) berühren. Da eine Tangente an eine Kugel stets senkrecht...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(1|4|0)\) und Radius 6. Bestimmen Sie alle Werte \(p \in \mathbb R\), für die der Punkt \(P(5|1|p)\) auf der Kugel liegt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a 1. Möglichkeit: Betrag eines Vektors anwenden Da der...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Anlässlich einer Studie wurden 300 weibliche und 700 männliche Bewohner einer Großstadt im Alter von 18 bis 30 Jahren dazu befragt, ob sie Interesse an Car-Sharing haben. 20 % der Befragten waren weiblich und gaben an, nicht interessiert zu sein. 8 %...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Sektors, der den Anteil der Befragten veranschaulicht, die männlich waren und angaben, Interesse an Car-Sharing zu haben. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Der Mittelpunktswinkel des Kreisektors, der den Anteil der Befragten veranschaulicht, die männlich...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
(Knotenregel) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
(Knotenregel) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
(Knotenregel) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
(Knotenregel) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Anlage ausgestattet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat es eine Holzpelletheizung? (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Unter der Bedingung, dass ein zufällig ausgewähltes Einfamilienhaus mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet ist, soll die...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Betrachtet werden folgende Ereignisse: \(H\): „Einfamilienhaus ist mit einer Holzpelletheizung ausgestattet." \(\overline{H}\):...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt. (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[{f_{a}}'(3) = 0\] \({f_{a}}'(x) = \frac{3}{a}x^{2} - 1\) (vgl. Teilaufgabe 5a) \[\begin{align*}{f_{a}}'(3) &= 0 \\[0.8em] \frac{3}{a} \cdot 3^{2} - 1 &= 0 \\[0.8em] \frac{27}{a} -...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Nullstelle. Die Intergarlfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{3}^{x}f(t) dt\) besitzt also die Nullstelle \(x_{1} = 3\). Zweite und dritte Nullstellen von \(F\) Für alle \(x \in \mathbb R\) lässt sich der Wert der Integralfunktion \(F\) als...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt: (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\). (2) Der Graph...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((3|f(3))\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \sqrt{3x - 5}\] Maximaler Definitionsbereich der Funktion \(f\) {slider Maximale Definitionsmenge bestimmen} Maximale...

Teilaufgabe 5b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt. (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[{f_{a}}'(3) = 0\] \({f_{a}}'(x) = \frac{3}{a}x^{2} - 1\) (vgl. Teilaufgabe 5a) \[\begin{align*}{f_{a}}'(3) &= 0 \\[0.8em] \frac{3}{a} \cdot 3^{2} - 1 &= 0 \\[0.8em] \frac{27}{a} -...

Teilaufgabe 5a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Für jeden Wert von \(a\) mit \(a \in \mathbb R^{+}\) ist eine Funktion \(f_{a}\) durch \(f_{a}(x) = \dfrac{1}{a} \cdot x^{3} - x\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von \(f_{a}\) dar. Geben Sie an, für...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) mit dem Wendepunkt \(W(1|4)\). Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x = 1\). Skizzieren Sie den...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^{3} + 9x^{2} -15x -25\). Weisen Sie nach, dass \(f\) folgende Eigenschaften besitzt: (1) Der Graph von \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\). (2) Der Graph...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, deren Graph im Punkt \((2|1)\) eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2 In einem Extrem- oder Terrassenpunkt des Graphen einer Funktion hat...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie für die Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\) jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an. \[f_{1} \colon x \mapsto \frac{2x + 3}{x^{2} - 4}\] \[f_{2} \colon x \mapsto \ln{(x + 2)}\] (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f_{1}(x) =...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene \(E\) fest. Beispielsweise wählt man die Punkte \(A\), \(B\) und...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Sie jeweils eine Gleichung der Gerade \(g\) an, für die gilt: a) Die Gerade \(g\) ist eine Ursprungsgerade und der Punkt \(P(1|3|4)\) liegt auf \(g\). b) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\). c) Die Gerade...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{8 - 2x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie die maximale Definitionsbemenge \(D_{f}\) sowie die Wertemenge \(W_{f}\) der Funktion \(f\) an. b)...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
der Funktion \(f\) an. b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. Bestimmen Sie den Funktionsterm \(f^{-1}(x)\). Geben Sie die Definitions- und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) an. c) Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Lagebeziehung Gerade - Kugel). Anstatt nun relativ aufwendig den Abstand \(d(M;g)\) zu berechnen (vgl. Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade), ist es einfacher, den Ansatz für die Berechnung der gemeinsamen Punkte der Kugel \(K\) und der Geraden...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt. (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\)) b) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Grudfläche \(QPS\) gegenüber der Horizontalen. c) Berechnen...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
\(n\) und \(p\). Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise. Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer nach \(B(10;0{,}95)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\). Erläuterung der Vorgehensweise: Die Abbildung zeigt die...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, welche der Test höchstens nennen darf, damit die Trefferwarscheinlichkeit \(p = \frac{1}{x}\) mindestens einen bestimmten Wert annimmt. {slider Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette} Bernoulli-Experiment,...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben sind die Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\). Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Funktionen \(f\colon x \mapsto e^{x}\) und \(g\colon x \mapsto \ln{x}\) sowie die Funktion \(h\colon x \mapsto x \cdot e^{x} - 1\). Es gibt eine Stelle \(x_{T}\), an der der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und der Graph \(G_{g}\) der Funktion \(g\)...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
die Ebene \(E\) fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\)) b) Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte \(S_{1}\), \(S_{2}\) und \(S_{3}\) der Ebene \(E\)...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Überprüfen Sie die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) auf lineare...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
vollständig beschriftetes Baumdiagramm und geben Sie den Ergebnisraum an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 1)\). c) Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich mithilfe des Terms \(1 - P(X = 3)\)...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Variante „mindestens \(k\) Treffer" wird mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) gelöst. Nur in der Variante „mindestens 1 Treffer" lassen sich „3-Mindestens-Aufgaben" im Rahmen der abiturrelevanten Mathematikkenntnisse durch Rechnung lösen....

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Aufgabe 1 Die Abbildung zeigt je einen Ausschnitt des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x + 2} - 2\) und des Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g \colon x \mapsto -\sqrt{4 - x} + 4\). a) Beschreiben Sie schrittweise wie der Graph...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *
Sie die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) bzw. \(Q\), für die die Länge der Strecke \([PQ]\) minimal ist. Die Gerade \(x = -1\) und die Gerade \(x = 3\) schließen mit den Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\) ein....

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
(dreiseitige Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken) ist auf seinen vier Flächen mit je einer der Ziffern 1 bis 4 beschriftet. Es wird folgendes Spiel gespielt: Ein Spieler zahlt einen Einsatz in Höhe von 1 Euro. Dann setzt er auf eine...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
ein Kunde diese kostenlos ersetzt. Das Unternehmen möchte pro verkaufter Tonerkassette vom Typ XL300 einen Gewinn in Höhe von 10 Euro erzielen. Zu welchem Preis muss das Unternehmen eine Tonerkassette vom Typ XL300 anbieten? Es sei \(G\) die...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert. Der Graph jeder Logarithmusfunktion \(x \mapsto \log_{a}{x}\) verläuft durch die Punkte \((1|0)\) und \((a|1)\). Der Graph \(G_{f}\) der natürlichen Logarithmusfunktion \(f\) verläuft also durch die Punkte \((1|0)\)...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
Aufgabe 1 Berechnen Sie jeweils die Menge aller Stammfunktionen folgender Funktionen: a) \(f(x) = 2\sqrt{3 - 2x}\) b) \(g(x) = \ln{\left( x^{2} \right)}; \; x \in \mathbb R^{+}\) c) \(h(x) = \dfrac{x}{2} \cdot e^{3x^{2} + 4}\) Aufgabe 2 Die Abbildungen...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
Integral \(\displaystyle \int f(x) dx\) beschreibt die Menge aller Stammfunktionen der Funktion \(f\) (vgl. Abiturskript - 1.6.2 Unbestimmtes Integral). Zunächst wird die Wurzelfunktion \(f\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(\sqrt[n]{a^{m}} =...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
von der Typennorm ab. \(L\): Die Ladekapazität der Batterie liegt 20 % unter dem Sollwert. Laut Qualitätskontrolle weisen 15 % der Batterien den Fehler \(L\) auf und 5 % den Fehler \(A\). Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Fehler...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
Gegeben sind die Kugel \(K_{1}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{1}(-3|5|8)\) und dem Radius \(r_{1} = 3\) sowie die Kugel \(K_{2}\) mit dem Mittelpunkt \(M_{2}(7|-5|3)\) und dem Radius \(r_{2} = 7\). Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugeln \(K_{1}\)...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
maximal ist. \[f(x) = 2\sqrt{6 - x}; \; D_{f} = [0;6]\] Hierbei handelt es sich um eine Extremwertaufgabe (vgl. Abiturskript - 1.5.7 Extremwertaufgaben). Zunächst ist die Zielfunktion, welche den Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OLP\) in Abhängigkeit...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
\(f\): Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion). \[\Longrightarrow \quad -\frac{3}{x} > 0 \quad...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
Aufgabe 1 Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich. a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\) b)...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *
\[f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\] Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(x = 1\), d. h. es gilt \(\ln{1} = 0\) (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Erscheint die Eins bei der ersten Drehung, erhält der Spieler 5 €, erscheint die Eins bei der zweiten Drehung, erhält er 1 €.. a) Berechnen Sie den Einsatz des Spiels, sodass das Spiel „fair" ist. b) Der Einsatz des Spiels beträgt nun 1 €. Wie sind die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, darunter 12 weiße Kugeln und 8 rote Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der entnommenen roten Kugeln. a) Erstellen Sie ein...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
\int f''(x) dx\) gegeben. Unter Anwendung des wichtigen unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\) ergibt sich: {slider Wichtiges unbestimmtes Integral} Wichtiges unbestimmtes Integral: \[\int...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Geben ist die Integralfunktion \(\displaystyle I \colon x \mapsto \int_{1}^{x} \ln{(3t - 2)} dt\). a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich der Integralfunktion \(I\) an. b) Berechnen Sie eine integralfreie Darstellung der Integralfunktion \(I\)....

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\). a)...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
Gegeben sind die Funktionen \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{3} - 4x\) und \(g \colon x \mapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - x\). Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der Funktion \(g\). a) Berechnen Sie...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
R\) und \(h \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}; \; \mu \in \mathbb R\). a) Weisen Sie nach, dass sich die Geraden \(g\) und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\)...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\). a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Gerade liegen. b) Eine Gleichung der Gerade \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X}...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 1 - (\ln{x})^{2}\). Die Funktion \(F \colon x \mapsto x(\ln{x} - 1)^{2}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f\) (Nachweis nicht erforderlich!). Bestimmen Sie die untere Grenze \(a \in \mathbb R^{+}\)...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\) b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\) a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\) Das unbestimmte Integral...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a) \(\displaystyle \int 5x^{2} \cdot e^{x^{3}} dx\) b) \(\displaystyle \int \frac{2}{3}x \cdot \frac{2}{x^{2} + 2} dx\) Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
der Nullstellen von \(G_{f}\) Der Verlauf von \(G_{f}\) zeigt, dass die Funktion \(f\) die einfache Nullstelle \(x = -1\) mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) und die einfache Nullstelle \(x = 1\) mit Vorzeichenwechsel von \(x\) nach \(-\) hat....

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
Aufgabe 1 Berechnen Sie folgende Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an. a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\) b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\)...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
Integrale bzw. die Integrationsgrenze \(a\) mit \(a \in \mathbb N\). Geben Sie exakte Werte an. a) \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{-6x^{2} + 6}{x^{3} - 3x + 3} dx\) b) \(\displaystyle \int_{-a}^{3a} (3t - 2) dt = 4\) c) \(\displaystyle...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
die folgenden Gleichungen erfüllt sind. a) \(\displaystyle \int_{-a}^{+a} f(x) dx = 0; \; a \neq 0\) b) \(\displaystyle \int_{-1}^{3} g(x) dx = 8\) Anmerkung: Die Integrandenfunktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) sind lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen. b) Für welchen Wert des Parameters \(a\) ergibt sich der Flächeninhalt 13,5 FE (Flächeneinheiten)? a) Flächeninhalt \(A(a)\) der Fläche, welche die Graphen der Funktionenscharen \(f\) und \(g\) begrenzen...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{20}x^{5} + \dfrac{1}{12}x^{4} - \dfrac{1}{3}x^{3}\). Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und geben Sie das Kümmungsverhalten von...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems. b) Bestimmen Sie den...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
&= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \left( \frac{8}{x}\right)}{\cancel{x^{2}} \cdot \left( 1 + \frac{4}{x^{2}} \right)} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{\frac{8}{x}}^{\to\,0}}{1 +...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
hat genau die zwei Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\). \(G_{f}\) hat genau die zwei Polstellen mit Vorzeichenwechsel \(x = -1\) und \(x = 2\). \(G_{f}\) hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung \(y = 2\). a) Geben Sie einen möglichen...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
= \mathbb R\] {slider Ableitungregeln} Ableitung einer Potenzfunktion \[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\] Faktorregel \(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\) Summenregel...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
wird die Konzentration \(K\) des Medikaments im Blut eines Patienten gemessen. Die Funktion \(K \colon t \mapsto \dfrac{100t}{t^{2} + 25}\) mit \(t \geq 0\) beschreibt näherungsweise den Verlauf \(K(t)\) der Konzentration des Medikaments in Milligramm...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Die Punkte \(A(3|-1|5)\), \(B(5|3|1)\) und \(C(7|-3|9)\) legen das Dreieck \(ABC\) fest. a) Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist. b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\). c) Berechnen Sie die...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Aufgabe 1 Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der Funktion und vereinfachen Sie den Term der Ableitungsfunktion soweit wie möglich. a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\) b)...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
wie möglich. a) \(f(x) = -2\cos{(3- x)}\) b) \(g(x) = \ln{\left( 2 - x^{2} \right)}\) c) \(h(x) = \dfrac{-2 + e^{x}}{e^{x} - 1}\) Anmerkung: Die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) ist jeweils lediglich anzugeben. Jede...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Funktionen eine Stammfunktion an. a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\) b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\) Anmerkung: Eine Stammfunktion der Funktionen \(f\) und \(g\) ist jeweils lediglich...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\). b) Untersuchen Sie die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
\Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\] Ableitung einer Potenzfunktion \[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\] Faktorregel \(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\) Summenregel...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Der Punkt \(A(4|-1|0)\) ist Mittelpunkt der Kugel \(K\), auf deren Oberfläche der Punkt \(B(-1|1|4)\) liegt. Ermitteln Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt. Der Mittelpunkt \(A(4|-1|0)\) der...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Aufgabe 1 Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, ohne anschließend zu vereinfachen. a) \(f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\) b) \(g(x) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\) Aufgabe 2 Die Abbildung zeigt den...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Funktionen, ohne anschließend zu vereinfachen. a) \(f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\) b) \(g(x) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\) a) Ableitung der Funktion \(f\) (ohne Vereinfachen) \[f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\] Die...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
der Funktion \(f\) an. b) Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) umkehrbar ist. c) Berechnen Sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an. Skizzieren Sie den Graphen der...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Es ist also der Funktionswert \(f(0)\) zu berechnen. \[f(x) = \frac{x + 3}{e^{x}}\] \[f(0) = \frac{0 + 3}{e^{0}} = \frac{3}{1} = 3\] \(\Longrightarrow \quad G_{f}\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|3)\). Verhalten von \(f\) für \(x \to...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
oder den Faktor \(-0{,}5\) des anderen Exponenten durch die Zahl \(-0{,}4\). Es ergeben sich somit folgende Funktionen \(f_{1}\) und \(f_{2}\): \[f_{1}(x) = -3 \cdot \left( e^{0{,}5x} + e^{-0{,}5x} \right) + 9\] \[f_{2}(x) = -3 \cdot \left( e^{0{,}4x} +...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten: \(E\) \(\overline{E}\) \(O\) \(0{,}04\) \(\overline{O}\) \(0{,}03\) \(0{,}05\) \(1\) Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten Die Vierfeldertafel lässt...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(A(4|-2|-1)\), \(B(2|4|5)\) und \(C(5|-6|3)\). a) Ermitteln Sie die Größe des Innenwinkels \(\alpha\) des Dreiecks \(ABC\). b) Geben Sie die Gleichung der Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(C\) in Koordinatendarstellung an, auf...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
\mathbb Z, \; n \in \mathbb N\) vorab in der Potenzschreibweise. \[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x} = x \cdot (k - 2x)^{\frac{1}{2}}\] 1. Möglichkeit (ohne Formulierung in der Potenzschreibweise) \[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}\] {slider...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
kann mit der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen. 1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung {slider Allgemeine Geradengleichung} Allgemeine Geradengleichung \[y = mx + t\] Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\) b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\) a) Erste Ableitung der Funktion \(f(x)\) \[f(x) = (3x + 2) \cdot...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
Aufgabe 1 Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen: a) \(f(x) = (3x + 2) \cdot \sqrt{\dfrac{1}{x} + 2}; \; x \neq 0\) b) \(g(x) = e^{\frac{\cos{x}}{x}}; \; x \neq 0\) Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt. Anmerkung: Die gesuchte gebrochenrationale Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
ist. \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 & &| - 4 \\[0.8em] 4x &= -4 & &| : 4 \\[0.8em] x &= -1 \end{align*}\] oder \[\begin{align*}f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x + 4 &= 0 \\[0.8em] 4 \cdot (x + 1) &= 0 \\[0.8em] x...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
α) Ableitung von \(f(x)\) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\) Mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}};\; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) wird der Funktionsterm \(f(x)\) zunächst vollständig in der...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\). a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\). b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten. a) Mittlere Änderungsrate von \(f\) auf dem...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Beispiel: {slider Ableitungregeln} Ableitung einer Potenzfunktion \[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\] Faktorregel \(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\) Summenregel...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte. Hinweis:...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Aufgabe 1 Geben Sie eine gebrochenrationale Funktion \(f\) an, deren Graph die Asymptote mit der Gleichung \(y = 2x - 1\) sowie die Nullstelle \(x = 2\) besitzt. Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4x + 4}{x^{2}}\). Der Graph...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der Punkt \(A\) liegt im Koordinatenursprung, \(C\) hat die Koordinaten \((5|5|0)\). Der Punkt \(B\) liegt auf der \(x_{1}\)-Achse, \(D\) auf der \(x_{2}\)-Achs. Das Dreieck \(CDS\) liegt in der Ebene \(E\colon 12x_{2} + 5x_{3} = 60\). Eine...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Sie eine Gleichung der Ebene \(F\), in der das Dreieck \(DAS\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Der stumpfe Winkel \(\alpha\) ergibt sich als Suplementärwinkel zum Schnittwinkel \(\beta\) (Ergänzungswinkel zu 180°). \[\alpha = 180^{\circ} - \beta\] {slider Schnittwinkel zweier Ebenen} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\alpha}\) zweier Ebenen \[E_1\colon...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
darstellt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Abstand Punkt - Ebene, Trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck 1. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Ebene Planskizze: Den Koordinaten der Spitze \(S\) der Pyramide \(ABCDS\) ist zu entnehmen, dass...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
\([AB]\) in Parameterform: \[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \] {/sliders} \[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{S} + \lambda \cdot...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck \(CDS\) dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge 1,80 m zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende 1,40 m breite Öffnung in...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Lösungsansatz: Lage der Punkte \(A\) und \(M\) betrachten 2. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade 1. Möglichkeit:...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden. Begründen...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Die Diagonalen \(e\) und \(f\) sind gleich lang und schneiden sich nicht rechtwinklig im Mittelpunkt \(M\) der Diagonalen. 1. Möglichkeit: Zwei Seiten und einen Innenwinkel überprüfen Planskizze: Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck, wenn zwei...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
am Solarmodul durch den Punkt \(M\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die horizontale Fläche liegt im Modell in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht 0,8 m in der Realität. Um einen möglichst großen Energieertrag zu...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
geneigten Seiten \([AD]\) und \([BC]\) verlängert ab. Aus Teilaufgabe a ist bekannt, dass die Gerade \(AB\) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Achse verläuft. Demnach werden die Seiten \([AB]\) und \([CD]\) in wahrer Länge abgebildet. Aus den senkrecht...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
\(P_{A}(K) = 0{,}95\) und \(P_{B}(K) = 0{,}7\) Die Wahrscheinlichkeit \(P(K)\) lässt sich mithilfe der Knotenregel sowie der 1. und 2. Pfadregel berechnen. Beschriftetes Baumdiagramm und Darstellung der 2. Pfadregel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
der Qualität B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: \(E\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen genau 140." \(F\): „Von den gesäten Samenkörnern keimen mehr als 130 und weniger als 150." (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms \(1 - P(X \geq 275)\), wobei \(X\) eine binomial verteilte Zufallsgröße mit den Parametern \(n = 300\) und \(p = 0{,}95\) bezeichnet. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Wahrscheinlichkeit einer...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Samenkörner - von jeder fruchtragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können. Ein Samenkorn der Qualität A kostet 17 Cent, eines der Qualität B 12 Cent. Entscheiden Sie durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist,...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens 70 %." auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Dazu werden 100 der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimmen Sie die zugehörige...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Binomialverteilung, binomialverteilte Zufallsgröße Analyse der Angabe: Laut Angabe ist davon auszugehen, dass 40 % aller...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht." (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Binomialverteilung, binomialverteilte Zufallsgröße, Erwartungswert und Standardabweichung einer binomialverteilten...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
In einem Parkhaus befinden sich insgesamt 100 Parkplätze. Im Parkhaus sind 20 Parkplätze frei; vier Autofahrer suchen jeweils einen Parkplatz. Formulieren Sie in diesem Sachzusammenhang zu den folgenden Termen jeweils eine Aufgabenstellung, deren...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Das Parkhaus ist nun mit 100 Autos besetzt, von denen 40 mit ESP ausgerüstet sind. Sieben von diesen 100 Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, 90 sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse. \(E\): „Ein im Parkhaus...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Teilaufgabe 2c Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge", Laplace-Wahrscheinlichkeit Von den 100 Autos im Parkhaus sind 40 mit ESP ausgerüstet (vgl. Angabe). Jedes der 30 zufällig ausgewählten Autos wird einmalig...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Weisen Sie mithilfe des Terms der Funktion \(P\) nach, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} P(x) = 1\) gilt, und interpretieren Sie diesen Grenzwert im Sachzusammenhang. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Grenzwertbetrachtung, Verhalten im Unendlichen,...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right)\) und \(x \in \mathbb R\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{f}\) von \(f\) sowie die einzige Nullstelle \(x = \ln 2\) von \(f\). Zeigen Sie, dass für den Term der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Art des Extrempunkts von \(G_{f}\). (Teilergebniss: \(x\)-Koordinate des Extrempunkts: \(\ln 4\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Lage und Art des Extrempunkts des Graphen einer Funktion bestimmen \[f(x) = 2e^{-x} \cdot \left( 2e^{-x} - 1 \right); \;...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Sie anhand des Terms von \(F\), dass \(\lim \limits_{x \, \to \,+\infty} F(x) = 0\) gilt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Nachweis einer Stammfunktion, Verhalten im Unendlichen Nachweis, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist 1. Möglichkeit;...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\ln 4\) eine Wendestelle besitzt. Berechnen Sie die \(y\)-Koordinate des zugehörigen Wendepunkts. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Extrempunkt und Wendepunkt des Graphen einer Stammfunktion \[F(x) = 2e^{-x} -2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\]...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts \(F(0)\) im Bereich \(-0{,}3 \leq x \leq 3{,}5\) in Abbildung 1 ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Funktionsgraph zeichnen \[F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\] Bisherige Ergebnisse:...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
um wie viel Prozent der Flächeninhalt des Dreiecks \(OPQ\) vom Inhalt des Flächenstücks abweicht. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1f Bestimmtes Integral berechnen, prozentuale Abweichung zweier Flächeninhalte Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\), das...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(F\) von \(f\) übereinstimmt. Interpretieren Sie geometrisch den Wert \(F_{0}(2) \approx 0{,}234\) mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1g Nullstelle bzw. integralfreie Darstellung einer...

Teilaufgabe 1h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
R\) definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von \(f\) ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1h Zusammenhang Integralfunktion - Stammfunktion Anmerkung: Der Term der gesuchten Stammfunktion ist lediglich anzugeben. Jede...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi 211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi 211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs Tl 207 um und...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ermitteln Sie unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von Tl 207-Kernen im Gefäß am größten ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Globales Maximum einer Funktion im Sachzusammenhang...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
widerlegen \[B(x) = e^{-2x}; \; D_{B} = \mathbb R\] \(F(x) = 2e^{-x} - 2e^{-2x}; \; D_{F} = \mathbb R\) (vgl. Teilaufgabe 1c) \[P(x) = 1 - B(x) - F(x); \; D_{P} = \mathbb R\] Zum Beobachtungsbeginn befindet sich ausschließlich der radioaktive Stoff Bi...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals \(\displaystyle \int_{a}^{b} g(t) dt\) für \(0 \leq a...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für \(0 \leq t \leq 12\) modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon t \mapsto 0{,}4 \cdot (2t^{3} - 39t^{2} + 180t)\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R^{+}\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto 3x \cdot (-1 + \ln x)\). Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{h}\) von \(h\) im Bereich \(0{,}75 \leq x \leq 4\). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{h}\) im Punkt...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
für \(x \to +\infty\) an und begründen Sie, dass \([-3;+\infty[\) die Wertemenge von \(h\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Monotonieverhalten und Verhalten im Unendlichen des Graphen einer Funktion, Wertemenge einer Funktion Anmerkung: Der...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(h'\) jeweils das Verhalten für \(x \to 0\) an und zeichnen Sie \(G_{h}\) im Bereich \(0 < x...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Funktion \(h^{*}\colon x \mapsto h(x)\) mit Definitionsmenge \([1;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(h\) nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu \(h\) ist die Funktion \(h^{*}\) umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Umkehrfunktion von \(h^{*}\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt \(S\), in Abbildung 1 ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e Graph einer Umkehrfunktion {slider Umkehrfunktion} Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\)...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt \(A_{0}\) dem Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{e}^{x_{S}} (x - h^{*}(x)) dx\) entspricht, wobei \(x_{S}\) die \(x\)-Koordinate von Punkt \(S\) ist. Der Graph von \(h^{*}\), der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in \([0;16]\) definierten Funktion \(V \colon t \mapsto V(t)\). Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnet...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
= \lim \limits_{x \, \to \, x_{0}} \dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\] (vgl. Merkhilfe) {/sliders} \[m_{T} \approx \frac{90}{1} = 90\] Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt näherungsweise...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\). Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
an, so dass das Dreieck \(ABD\) bei \(D\) rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Spiegelung (eines Punktes) an einer Ebene, Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks (Thaleskreis) \(A(2|3|1)\), \(B(2|-3|1)\),...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Lotgerade zu einer Ebene, Lotfußpunkt, lineare Abhängigkeit zweier Vektoren, Punktprobe 1. Lösungsansatz: Lotgerade durch \(O(0|0|0)\) auf die Ebene \(E\) Die Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) durch den...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Lotgerade zu einer Ebene, Lotfußpunkt, lineare Abhängigkeit zweier Vektoren, Punktprobe 1. Lösungsansatz: Lotgerade durch \(O(0|0|0)\) auf die Ebene \(E\) Die Lotgerade \(\ell\) zur Ebene \(E\) durch den...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
von \(B\) dreimal so weit entfernt ist wie von \(A\). Bestimmen Sie die Koordinaten von \(D\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Vektoraddition Planskizze: Der Punkt \(D\) teilt die Strecke \([AB]\) im Verhältnis 1 : 3. Der Ortsvektor...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
Gegeben sind die Punkte \(A(2|1|-4)\), \(B(6|1|-12)\) und \(C(0|1|0)\). Weisen Sie nach, dass der Punkt \(C\) auf der Geraden \(AB\), nicht aber auf der Strecke \([AB]\) liegt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Geradengleichung in Parameterform,...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Vierfeldertafel, Stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bzw....

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
(Knotenregel) Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *
mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel: Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt \(p\). Interpretieren Sie den Term \((1 - p)^{7}\) im Sachzusammenhang. ((2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Beim einmaligen Drehen wird der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass der blaue Sektor genau zweimal getroffen wird. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Binomialverteilte Zufallsgröße, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeitsberechnung nach dem...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der gelbe Sektor getroffen wird, beträgt 50 %. Felix hat 100 Drehungen des Glücksrads beobachtet und festgestellt, dass bei diesen der Anteil der Drehungen, bei denen der gelbe Sektor getroffen...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Ergebnisse, in denen die Farbe Blau nicht vorkommt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Kombinatorik, Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge 1. Möglichkeit: Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen und mit...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *
In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße \(X\) mit der Wertemenge \(\{0;1;2;3;4\}\) und dem Erwartungswert \(2\) dargestellt. Weisen Sie nach, dass es sich dabei nicht um eine Binomialverteilung handeln kann. (3 BE)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) und maximalem Definitionsbereich \(D\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Geben Sie \(D\) und die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeigen Sie, dass \(f(x)\) zum Term \(x + 7 + \dfrac{16}{x - 1}\) äquivalent ist, und geben Sie die Bedeutung der Geraden \(g\) mit der Gleichung \(y = x + 7\) für \(G_{f}\) an. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Äquivalenzumformung eines Funktionsterms,...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1; \; D_{f} = \mathbb R\] Die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Gleichung einer Tangente an den Graphen einer...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
R\;; \quad a,b \neq 0\;; \quad x \in \mathbb R\] Streckung um \(a\) in \(y\)-Richtung Streckung um \(\displaystyle \frac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung, Periode: \(\displaystyle p = \frac{2\pi}{\vert b \vert}\) Verschiebung um \(\displaystyle -\frac{c}{b}\)...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
durch Verschiebung um zwei Einheiten in positive \(x\)-Richtung hervor. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm von \(h\) an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Allgemeine Sinusfunktion, Verschiebung von Funktionsgraphen Anmerkung: Es ist lediglich ein...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt \(t\) (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft \(-30\frac{\textsf{1}}{\textsf{h}}\) beträgt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b Momentane Änderungsrate im Sachzusammenhang \[n(t) = 3t^{2} - 60t +...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Funktion \(w \colon x \mapsto \sqrt{x}\) hervorgeht, und geben Sie die Wertemenge von \(g\) an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Entwicklung von Funktionen, Wertemenge einer Funktion \[w(x) = \sqrt{x}; \; D_{w} = \mathbb R_{0}^{+}\] \[g(x) = 2 \cdot...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(g \colon x \mapsto 2 \cdot \sqrt{4 + x} - 1\) mit maximaler Definitionsmenge \(D_{g}\). Der Graph von \(g\) wird mit \(G_{g}\) bezeichnet. Geben Sie \(D_{g}\) und die Koordinaten des Schnittpunkts von \(G_{g}\) mit der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1; \; D_{f} = \mathbb R\] Die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Gleichung einer Tangente an den Graphen einer...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Anmerkung: Der Funktionsterm der gesuchten Funktion \(f\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen. 1. Möglichkeit: Gebrochenrationale Funktion Beispielsweise erfüllen die Graphen folgender gebrochenrationaler Funktionsterme die...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
anzugeben. Jede Erklärung kann entfallen. Beispielsweise gilt \(\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = 0\) für: \[g(x) = x - 1\] oder \[g(x) = (x - 1)^{3}\] oder \[g(x) = \sin(x - 1)\] oder \[g(x) = \sin(\pi \cdot x)\] Erklärung: Der Wert des Integrals...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt \(t\) (in Stunden nach Beginn der Messung) durch die...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
nach Beginn der Messung, zu dem die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter Luft \(-30\frac{\textsf{1}}{\textsf{h}}\) beträgt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b Momentane Änderungsrate im Sachzusammenhang \[n(t) = 3t^{2} - 60t +...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
c) \(f'(6) > f'(7)\) d) \(f'(4) \approx f'(6)\) e) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 6\) in etwa die Steigung \(-1\). f) Der Graph von \(F(x)\) hat an der Stelle \(x = 7\) einen Terrassenpunkt. a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen. Die...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems. b) Geben Sie die Art und die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
\(x_{0}\) einen Extrempunkt. (vgl. Merkhilfe) {/sliders} Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = -1\) einen Hochpunkt und an der Stelle \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto -\dfrac{1}{8}x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} - \dfrac{9}{2}x\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion \(f\)...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie \(D_{f}\) an. b) Ermitteln Sie die...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term. \[f(x) = (3x - 2)(x + 1) - \frac{1}{x}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\] 1. Möglichkeit: Produkt- und...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term. Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{32}x^{4} - \dfrac{1}{4}x^{2} + 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(f\). b) Untersuchen Sie das Verhalten von \(G_{f}\)...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht. Stammfunktion von \(f\) Anmerkung: Es ist lediglich eine Stammfunktion von \(f\)...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Extremstelle(n) von \(f\) an. b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\), deren Graph \(G_{f}\) durch den Punkt \(P(1|-1)\) verläuft und skizzieren Sie \(G_{f}\). a) Monotonieverhalten und Extremstelle(n) von \(f\) Monotonieverhalten von...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich: a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\) b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\) a) Erste Ableitung von \(f(x)\) \[f(x) = \frac{1}{x - 3}\] Die Funktion \(f\)...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
des Nennerterms nicht definiert. \[\begin{align*} x^{2} - 9 &= 0 &&| + 9 \\[0.8em] x^{2} &= 9 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm 3 \end{align*}\] oder \[\begin{align*} \underbrace{x^{2} - 9}_{\large{a^{2} \, - \, b^{2}}} &= 0 & &| \; \text{3....

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Aufgabe 1 Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{6 - x^{2}}{x^{2} - 9}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\). b)...

Mathematik Klausuren Q12/2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q12/2 Language: *
Klausur Q12/2-001 Wurzelfunktion(en): Entwicklung von Funktionen, maximale Definitionsmenge, Extremwertaufgabe, näherungsweise Integration, Flächeninhaltsberechnung durch Integration, Integralfunktion Stochastik: „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante...

Mathematik Klausuren Q12/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q12/1 Language: *
Klausur Q12/1-001 Integralrechnung: Bestimmtes Integral berechnen, wichtige unbestimmte Integrale anwenden, Integrationsregeln anwenden, Integrationsgrenzen ermitteln, uneigentliches Integral, Integrandenfunktion finden Ganzrationale Funktionenschar:...

Mathematik Klausuren Q11/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11/1 Language: *
G9 Klausur Q11/1-005 Neu Spezielle Eigenschaften von Funktionen: Grenzwerte bestimmen, beschreiben und graphisch interpretieren, Verschieben von Funktionsgraphen, Stauchen von Funktionsgraphen Stetigkeit von Funktionen: Stetigkeit anhand eines Graphen...

Klausuren Q11 / Q12

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11 / Q12 Language: *
Mathematik Klausuren Q11/1 Bayern Mathematik Klausuren Q11/2 Bayern Mathematik Klausuren Q12/1 Bayern Mathematik Klausuren Q12/2 Bayern

1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
0\) entstehen die Graphen der zugehörigen Scharfunktionen zusätzlich durch Spiegelung an der \(x\)-Achse (vgl. Abiturskript - 1.1.7 Entwicklung von Funktionen). Die Lage und Art der auf der \(y\)-Achse liegenden Extrempunkte der Kurvenschar verändert...

1.7.7 Gemeinsame Punkte einer Kurvenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
Punkte, durch die alle Graphen der Kurvenschar verlaufen? Wollte man beispielsweise die gemeinsamen Punkte der Graphen \(G_{f_{1}}\) der Scharfunktion \(f_{1}\) für \(k = 1\) und \(G_{f_{2}}\) der Scharfunktion \(f_{2}\) für \(k = 2\) berechnen, würde...

1.7.2 Nullstellen einer Funktionenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
\(f_{k}\). Eine Streckung in \(y\)-Richtung hat dagegen keinen Einfluss auf die Nullstellen (vgl. Abiturskript - 1.1.7 Entwicklung von Funktionen). \( f_{k}(x) = g(x) + k\) oder \(f_{k}(x) = g(x + k)\) oder