ebene

2.3.3 Lagebeziehung von Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *

Lagebeziehung zweier Ebenen Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen Bestimmung der Schnittgerade zweier Ebenen Beispielaufgabe Lagebeziehung zweier Ebenen Bei der gegenseitigen Lage zweier Ebenen \(E\) und \(F\) lassen sich drei Fälle...

2.3.4 Lotgeraden und orthogonale Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *

2.2.3 Ebenengleichung in Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *

Ebenengleichung in Normalenform Hessesche Normalenform (HNF) Lage einer Ebene im Koordinatensystem Spurgeraden einer Ebene Beispielaufgabe Ebenengleichung in Normalenform Die Richtung einer Ebene \(E\) kann anstelle zweier Richtungsvektoren...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *

Die Punkte \(A(0|2|2)\), \(B(2|3|0)\) und \(C(0|-2|4)\) legen die Ebene \(E\) fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} = 12\)) b) Ermitteln Sie die Koordinaten der...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *

fest. Die Spitze \(S\) der Pyramide \(OPQS\) liegt auf der positiven \(x_{3}\)-Achse. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform, in der die Grundfläche \(OPQ\) liegt. (mögliches Ergebnis: \(E \colon -2x_{1} + x_{2} + 4x_{3} = 0\))...

2.2.2 Ebenengleichung in Parameterform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *

Gleichung einer Ebene in Parameterform Spurgeraden einer Ebene Beispielaufgabe Gleichung einer Ebene in Parameterform (vgl. Merkhilfe) Jede Ebene \(E\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform \(E \colon \overrightarrow{X} =...

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *

Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Bestimmung des Schnittpunkts einer Gerade und einer Ebene Beispielaufgabe Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Bei der gegenseitigen Lage zwischen einer...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

beschrieben. Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\) und \(K_{2}\) festgelegten Ebene \(E\) in Normalenform und weisen Sie nach, dass \(H\) unterhalb von \(E\) liegt. (Mögliches Teilergebnis: \(E \colon x_{2} + 5x_{3} -...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene \(E \colon x_{1} + x_{3} = 2\), der Punkt \(A\left( 0|\sqrt{2}|2 \right)\) und die Gerade \(\displaystyle g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\...

2.3.5 Winkelhalbierende Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen Language: *

Winkelhalbierende Gerade zweier Geraden Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen Beispielaufgabe Winkelhalbierende Gerade zweier Geraden Um die Richtungsvektoren der Winkelhalbierenden \(w_{1}\) und \(w_{2}\) von zwei sich im Punkt \(S\) schneidenden...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *

und \(h\) im Punkt \(S(-3|-1|4)\) schneiden. b) Geben Sie eine Gleichung der von den Geraden \(g\) und \(h\) aufgespannten Ebene \(E\) in Parameterform an und bestimmen Sie ein Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. a) Nachweis, dass sich die...

2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *

Umwandlung der Normalenform in die Parameterform Beispielaufgabe Umwandlung der Parameterform in die Normalenform Ist eine Ebene \(E\) in der Parameterform \(E \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot...

2.4.6 Abstand paralleler Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *

Abstand zweier parallelen Ebenen Beispielaufgabe Abstand zweier parallelen Ebenen Die Abstandsbestimmung von zwei parallel zueinander liegenden Ebenen \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A})\) und \(F \colon...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Lotgerade zu einer Ebene, Lotfußpunkt, lineare Abhängigkeit zweier Vektoren,...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Lotgerade zu einer Ebene, Lotfußpunkt, lineare Abhängigkeit zweier Vektoren,...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

auf der Strecke \([CD]\). Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vordachs. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittwinkel zweier Ebenen, Trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck, Flächeninhalt eines Rechtecks 1....

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(N_k\) enthält die \(x_3\)-Achse und den Punkt \(P_k(1-k|k|0)\) mit \(k \in \; ]0;1[\). Welche Kanten des Körpers von \(N_k\) geschnitten werden, ist abhängig von \(k\). Durchläuft \(k\) alle Werte zwischen \(0\) und \(1\), so gibt es...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform sowie die Größe \(\varphi\) des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (zur Kontrolle: \(x_1+x_2+x_3-19= 0; \enspace \varphi \approx 55^{\circ}\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade \(g\) in \(E\) liegt. (zur Kontrolle: \(E \colon 2x_1 - x_2 + 2x_3 + 35 = 0\)) (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Gleichung der Ebene \(E\) in Koordinatenform...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Ebene \(F\) schneidet die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\). (zur Kontrolle: \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 30 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Das Lot zur Ebene \(E\) im Punkt \(R\) wird als Einfallslot bezeichnet. Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_{1} - x_{2} + 5x_{3} - 5 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier linear unabhängiger...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(F\), in der das Dreieck \(DAS\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(F \colon 12x_{1} - 5x_{3} = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Ebenengleichung in Normalenform Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

sich - in Fahrtrichtung gesehen - eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene \(E\) verläuft und den Mittelpunkt \(M \left( 0|3\sqrt{2}|2 \right)\) hat. Das Lot von \(M\) auf \(g\) schneidet \(g\) im...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Punkte \(A(6|3|3)\), \(B(3|6|3)\) und \(C(3|3|6)\) das gleichseitige Dreieck \(ABC\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebenen \(E\), in der das Dreieck \(ABC\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 =...

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *

Abstand eines Punktes von einer Ebene Lotfußpunktverfahren Beispielaufgabe Bei der Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene spielt die Hessesche Normalenform einer Ebene eine große Rolle (vgl. Abiturskript - 2.2.3 Ebenengleichung in...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *

Untersuchen Sie, ob die Punkte \(A(3|1|0)\), \(B(2|-1|-2)\), \(C(-2|1|-2)\) und \(D(4|3|-4)\) in einer Ebene liegen. Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene \(E\) fest. Beispielsweise wählt man die Punkte \(A\), \(B\) und...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Eckpunkte \(A\,(0|0|0)\), \(D\,(0|6|0)\) und \(G\,(6|6|6)\) sind gegeben. Die Punkte \(B\), \(E\) und \(G\) liegen in einer Ebene \(L\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. Zeichnen Sie die Figur, in der die Ebene \(L\) den Würfel...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird. In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten \(K_{1}(0|4|0)\), \(K_{2}(0|0|0)\),...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

sind die Punkte \(A\,(0|60|0), B\,(-80|60|60)\) und \(C\,(-80|0|60)\) gegeben. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(A, B\) und \(C\) bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat \(E\,\)?...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Abstand Punkt - Ebene, Trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck 1. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Ebene Planskizze: Den Koordinaten der...

1.5.7 Extremwertaufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *

für das Zylindervolumen in Abhängigkeit von nur einer Variablen formuliert werden. Da sich der Radius \(r\) des einbeschriebenen Zylinders mit der Höhe \(h\) des Zylinder ändert und umgekehrt, ist es grundsätzlich möglich, den Funktionsterm entweder in...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Das Dreieck \(ABF\) liegt in der Ebene \(W\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(W\) in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von \(W\) im Koordinatensystem. (zur Kontrolle: \(W \colon 4x_{2} + 3x_{3} - 20 = 0\)) (4 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Punkte \(A\), \(B\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(L \colon 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} - 12 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(T\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(T \colon 5x_{1} + 4x_{2} + 5x_{3} - 30 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{IJ} \times \overrightarrow{IL}\) der...

2.4.3 Abstand windschiefer Geraden

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *

+ \mu \cdot \overrightarrow{v}; \; \mu \in \mathbb R\) lässt sich auf die Abstandsbestimmung eines Punktes zu einer Hilfsebene zurückführen (vgl. Abiturskript - 2.4.4 Abstand Punkt - Ebene). Hilfsebene \(H\), welche die Gerade \(g\) enthält \((g \subset...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

in der Nähe der Hallenwände - das gesamte Gelände um die Halle. Die Punkte \(L\), \(B_{2}\) und \(B_{3}\) legen eine Ebene \(F\) fest. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\) in Normalenform. (zur Kontrolle: \(F \colon 3x_{1} + x_{2} + 5x_{3} - 90 = 0\))...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Punkte \(A(1|1|1)\), \(B(0|2|2)\) und \(C(-1|2|0)\) liegen in der Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\overrightarrow{AB} \times...

2.2.1 Geradengleichung in Parameterform

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.2 Geraden und Ebenen im Raum Language: *

Lage einer Gerade im Koordinatensystem Will man die Lage einer Gerade bezüglich der Koordinatenachsen oder der Koordinatenebenen beschreiben, betrachtet man den Richtungsvektor der Gerade. Parallelität einer Gerade zu einer Koordinatenachse \[g \colon...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(E\) enthält die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\), die Ebene \(F\) die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene \(F\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(F \colon x_{1} + x_{2} - 2x_{3} + 2 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Beispielsweise liefert das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{SA}} \times...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Jede Ebene, die parallel zu \(M\) verläuft, wird durch eine Gleichung der Form \(x_1 - x_2 + x_3 = p\) mit \(p \in \mathbb R\) beschrieben. Nennen Sie die Arten der Figuren, in denen eine solche Ebene den Würfel schneiden kann, und geben Sie die Menge...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(B(0|6|0)\), \(C(3|0|0)\), \(D(6|3|6)\), \(E(0|6|6)\) und \(F(3|0|12)\). Die Punkte \(D\), \(E\) und \(F\) liegen in der Ebene \(L\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(L\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0\)) (4 BE)...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Kontrolle: \(E \colon x_1+x_2+2x_3-20=0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Die Punkte \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(E\) (schematische Darstellung, vgl. Angabe). Somit liefert beispielsweise das Vektorprodukt...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

(zur Kontrolle: \(4x_2+3x_3-12=0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Die Punkte \(C\), \(D\) und \(S\) liegen in der Ebene \(E\) (vgl. Angabe). Somit liefert beispielsweise das Vektorprodukt \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{CD} \times...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Tiefe \(t\) des Möbelstücks Die Tiefe \(t\) des Möbelstücks entspricht dem Abstand der Geraden \(k\) von der Ebene \(W\), in der die Wand unter dem Fenster liegt. \[k \colon \enspace \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5{,}5 \\ 0{,}4 \end{pmatrix}...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Wird der Punkt \(P(1|2|3)\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so ergibt sich der Punkt \(Q(7|2|11)\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe a Planskizze (optional): Der Verbindungsvektor...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Abbildung 2 zeigt den Grundriss des Hallenmodells in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Stellen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Schattenbereich der Flutlichtanlage in der Abbildung exakt dar. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Mithilfe der...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Alle Ebenen parallel zu \(F\) werden durch Gleichungen der Form \(x_1 - x_2 + x_3 = a\), mit \(a \in \mathbb R\) beschrieben. Geben Sie an, welche Arten von Figuren als Schnitt einer solchen Ebene mit dem Würfel \(W\) auftreten. Geben Sie die Menge...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Abstand Punkt - Gerade 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe) 3. Lösungsansatz: Elementargeometrische Beziehungen...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,4 m betragen. Um die Koordinaten von \(N\) und \(L\) zu bestimmen, wird die Ebene \(F\) betrachtet, die durch Verschiebung von \(E\) um 1,4 in positive \(x_3\)-Richtung entsteht. Begründen Sie, dass...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschrieben. Abb. 2 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(C\). Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde. Gehen Sie...

2.5.3 Schnittwinkel zweier Ebenen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.5 Schnittwinkelberechnungen Language: *

Schnittwinkel zweier Ebenen Beispielaufgabe Schnittwinkel zweier Ebenen Unter dem Schnittwinkel zweier Ebenen \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A})\) und \(F \colon \overrightarrow{n}_{F} \circ...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Genau eine der folgenden Gleichungen (1) bis (3) beschreibt eine Symmetrieebene der Pyramide. Geben Sie diese Gleichung an und begründen Sie für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene der Pyramide ist....

2.4.5 Abstand Gerade - Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *

Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene Beispielaufgabe Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene Die Abstandsbestimmung einer Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(ABCDS\) beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt \(M(0|0|4)\) und Radius \(r\). Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Im Modell liegt die obere Begrenzungsfläche der wasserführenden Gesteinsschicht in der Ebene \(E\) und die untere Begrenzungsfläche in einer zu \(E\) parallelen Ebene \(F\). Die Ebene \(E\) enthält den Punkt \(Q\). Die Strecke \([PQ]\) steht senkrecht...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

+ \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) mit \(\lambda \in \mathbb R\). Zeigen Sie, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 2\) liegt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe a \[g \colon \overrightarrow{X} =...

2.4.1 Abstand Punkt - Gerade

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *

1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler (senkrechter) Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden (Extremwertaufgabe) Beispielaufgabe Sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die \(x_1x_2\)-Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt \(M\,(5|6{,}5|3)\) ist Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche \(BSTC\) im Punkt \(W\) berührt. Berechnen Sie...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Punkte \(P\) und \(Q\) liegen symmetrisch zu einer Ebene \(F\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(F\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Parallele Ebenen \[E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(1|0|2)\), \(Q(5|2|6)\) Planskizze: Ebene \(E\) und...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Vor einer Schule stehen zehn Fahrräder nebeneinander; zwei davon sind Mountainbikes. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Mountainbikes unmittelbar nebeneinander stehen, wenn die Anordnung der Fahrräder zufällig erfolgte. (3 BE)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck \(ABCD\) liegt in einer Ebene \(E\) und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar. Abb. 1 Bestimmen...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben ist die Ebene \(E\;\colon\,2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\). Die Ebene \(E\) schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in der Geraden \(g\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(g\) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a 1. Lösungsansatz: Spurpunkte, Spurgerade Die...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe g 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung 4. Lösungsansatz: Betrachtung...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe dieses Winkels. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Schnittwinkel zweier Ebenen Stumpfer Winkel \(\alpha\), den die Ebene \(E\) (Dreieck \(CDS\)) und die Ebene \(F\) (Dreieck \(DAS\)) stellvertretend...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

die Bestimmung der Koordinaten von \(B\): 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen 3. Möglichkeit: Differentialrechnung anwenden 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler Vektoren anwenden Planskizze (optional): Der Ortsvektor...

2.6.3 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.6 Spiegelung von Punkten Language: *

Spiegelung eines Punktes an einer Ebene Beispielaufgabe Spiegelung eines Punktes an einer Ebene Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(P\) auf die Ebene \(E\). Die Entstehung des Bildpunktes \(P'\), der durch Spiegelung des Punktes \(P\)...

Aufgabe

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

-13 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das Verkehrsschild wird durch eine Kreisscheibe repräsentiert, die in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene liegt und den Mittelpunkt \(M(0|0|20)\) sowie den Radius 3 hat. Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl auf das Verkehrsschild...

2.6.2 Spiegelung eines Punktes an einer Gerade

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.6 Spiegelung von Punkten Language: *

\(\overrightarrow{PF}\) bzw. den Lotfußpunkt \(F\) zu ermitteln (vgl. Abiturskript - 2.3.4 Lotgerade und orthogonale Ebene, Lotgerade zu einer Gerade und Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade). 1. Möglichkeit: Skalarprodukt orthogonaler...

3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.3 Zufallsgrößen Language: *

Bernoulli-Kette. Dabei muss die Wahrscheinlichkeit für „mindestens \(k\) Treffer" \(P(X \geq k)\) mindestens einen vorgegebene Wert \(P\) annehmen oder größer als \(P\) sein. Häufig formulieren die Aufgaben den Fall „mindestens 1 Treffer". Dann kann der...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

\(G_1\,(0|0|0)\) und \(D_3\,(6|6|6)\) legen eine Raumdiagonale fest. Bestimmen Sie in Koordinatenform eine Gleichung der Ebene \(E\), die durch die Punkte \(D_1\),\(G_2\) und \(D_3\) verläuft, und zeichnen Sie die Schnittfigur der Ebene \(E\) mit dem...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(BSTC\) liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E \colon 3x_2 + 4x_3 - 24 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[BSTC \subset E\] \[B\,(10|8|0)\,, \enspace S\,(2|8|0)\,,...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Die südliche Außenwand des Pavillons liegt im Modell in einer Ebene \(E\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E\;\colon\, 4x_2 + 3x_3 - 48 = 0\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Das Dreieck \(BCS\) beschreibt...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 6\) sowie die Punkte \(P(1|0|2)\) und \(Q(5|2|6)\). Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte \(P\) und \(Q\) senkrecht zur Ebene \(E\) verläuft. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Lineare...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Punkte \(K_{1}(0|4|0)\), \(S_{1}(0|6|2{,}5)\) und \(S_{2}(0|0|3)\) liegen mit jeweils \(x_{1} = 0\) in der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene. Da die Gerade \(S_{2}{S_{2}}'\) außerdem parallel zur Geraden \(S_{1}K_{1}\) verläuft, liegt \({S_{2}}'\) ebenfalls in der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(C\) am Symmetriezentrum \(Z(3|3|3)\), so erhält man die Punkte \(A'\), \(B'\) bzw. \(C'\). Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke \([CC']\) senkrecht auf...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Kugel (Halbkugel) 3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras 3. a) Abstand \(d(Z;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene 3. b) Abstand \(d(Z;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts Der Überwachungsbereich des Radars bildet auf der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

mit einer Kugel 3. Lösungsansatz: Abstand Punkt - Gerade, Satz des Pythagoras 3. a) Abstand \(d(R;g_2)\) - Ansatz mit Hilfsebene 3. b) Abstand \(d(R;g_2)\) - Anwenden des Skalarprodukts Der Überwachungsbereich des Radars beschreibt auf der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

der im Modell durch den Punkt \(M(-40|30|30)\) dargestellt wird. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe e 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung \[M(-40|30|30), \qquad g...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene \(E\), in der die Seitenfläche \(ABCD\) liegt in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E\;\colon \, 3x_1 + 4x_3 - 84 = 0\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Die Seitenfläche \(ABCD\) repräsentiert die Ebene \(E\)....

2.5.2 Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.5 Schnittwinkelberechnungen Language: *

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene Beispielaufgabe Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene Unter dem Schnittwinkel zwischen einer Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\,; \; \lambda \in...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Strecke \([AB]\) und ermitteln Sie den Radius der beiden Kreise. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe b 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 2. Lösungsansatz: Anwenden des Skalarprodukts 3. Lösungsansatz: Anwenden der Differentialrechnung 4. Lösungsansatz: Höhen-...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

einer dreiseitigen Pyramide \(ABCS\) mit der Spitze \(S(11{,}5|4|-6)\). Die Grundfläche der Pyramide liegt in einer Ebene \(E\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(E\) in Normalenform. (mögliches Ergebnis: \(E\colon \enspace 2x_1 + x_2 -2x_3 - 3 = 0)\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden. Begründen Sie, dass die Gerade...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(M\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 3\) schneidet den Würfel in einem regulären Sechseck. Begründen Sie, dass \(M\) parallel zu \(L\) ist. Geben Sie die Schnittpunkte von \(M\) mit der \(x_1\)-Achse sowie mit der \(x_3\)-Achse an und weisen Sie...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Berechnen Sie die Größe \(\varphi\) des Winkels, unter dem \(E\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus \(\varphi\) die Größe des Winkels zwischen den Ebenen \(E\) und \(F\) berechnet werden kann. (5 BE) Lösung zu...

2.7.4 Lagebeziehung Ebene - Kugel

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.7 Die Kugel Language: *

Lagebeziehung Ebene - Kugel Beispielaufgabe Lagebeziehung Ebene - Kugel Die gegenseitige Lage zwischen einer Ebene \(E\) und einer Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M\) wird durch den Abstand \(d(M;E)\) des Mittelpunktes \(M\) von der Ebene \(E\)...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen \(ABC\) und \(AC'B\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Schnittwinkel zweier Ebenen, Trigonometrie - rechtwinkliges Dreieck 1. Lösungsansatz: Schnittwinkel zweier Ebenen Der Punkt \(C'\) geht durch...

1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *

Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung Beispielaufgabe Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung Es sei eine Gerade \(g\) mit der Steigung \(m\) sowie eine nicht lineare Funktionenschar \(f_{k}\) gegeben. Für welchen Wert des...

Mathematik Klausuren Q12/2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q12/2 Language: *

im Sachzusammenhang benennen Geometrie: Lineare (Un-)Abhängigkeit dreier Vektoren prüfen und Ergebnis geometrisch deuten, Ebenengleichung in Normalenform bestimmen, Spurpunkte und Spurgerade, Schnittgerade zweier Ebenen, Spiegelung eines Punktes an...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Hubschrauber parallel zum Hang fliegt. Demnach muss gelten: \(g \parallel E\). Gegenseitige Lage der Geraden \(g\) und der Ebene \(E\) {slider Lagebeziehung von Gerade und Ebene} Lagebeziehung von Gerade und Ebene \(g \colon \overrightarrow{X} =...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Solarmodul durch den Punkt \(M\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die horizontale Fläche liegt im Modell in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht 0,8 m in der Realität. Um einen möglichst großen Energieertrag zu...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt \(A\) und verläuft entlang der Geraden \(g\). Der Vektor \(\displaystyle...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Die Seitenfläche \(PQRS\) liegt in einer Ebene \(F\). Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von \(F\) in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Die Seitenflächen \(ABCD\) und \(PQRS\) des Spats \(ABCDPQRS\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

einschließt. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) {slider Lagebeziehung von Gerade und Ebene} Lagebeziehung von Gerade und Ebene \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}; \;...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 20 % noch nicht über einen schnellen...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

(6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Flächenstück, das \(G_{h}\) mit der \(x\)-Achse einschließt und Beispiele einbeschriebener Rechtecke Flächeninhalt \(A\) der einbeschriebenen Rechtecke in Abhängigkeit von \(x\) bestimmen: \[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2\,;...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene \(E \colon 4x_{1} - 8x_{2} + x_{3} + 50 = 0\) und die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Spiegelt man die Ebene \(T\) an \(U\), so erhält man die von \(T\) verschiedene Ebene \(T'\). Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von \(a\) die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade \(g_{a}\) die...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

von \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen der Geraden \(g_1\) und der \(x_1x_2\)-Ebene. {slider Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

der Grundfläche die Strebe an der Außenwand befestigt ist. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c 1. Lösungsansatz: Lotgerade auf Ebene \(E\) Es sei \(M\) der Mittelpunkt der Grundfläche \(ABCD\). Die Lotgerade \(l\) mit den Eigenschaften \(M \in l\) und \(l...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *

Beschreiben Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, wie sich nachweisen lässt, dass eine Gerade orthogonal zu einer Ebene ist. Eine Gerade \(g\) verläuft orthogonal (senkrecht) zu einer Ebene \(E\) \((g \perp E)\), wenn der Richtungsvektor...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene \(E\) gegen die Grundfläche \(G_1G_2G_3G_4\). Geben Sie drei Eckpunkte des Würfels \(W\) an, die eine Ebene so festlegen, dass sie mit der Grundfläche einen 45°-Winkel einschließt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Zeigen Sie, dass die Ebene \(F\) mit der Gleichung \(F\colon \enspace x_1 - x_2 + x_3 = 3\) parallel zu \(E\) mit Abstand \(\sqrt{3}\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d \[E\colon \enspace x_1 - x_2 + x_3 = 6\] \[F\colon \enspace x_1 - x_2 + x_3 = 3\]...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Sie, für welchen Breitengrad \(\varphi\) die Sonnenuhr gebaut wurde. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Schnittwinkel zweier Ebenen \[\alpha + \varphi = 90^{\circ}\] Neigungswinkel \(\alpha\) der Grundplatte gegenüber der Horizontalen: Das Rechteck...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Neigungswinkel der Dachfläche gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren...

3.1.4 Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Language: *

Bedingte Wahrscheinlichkeit) und \(P(\overline{W} \cap \overline{K}) = 0{,}1\). Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten \(P(W)\), \(P_{W}(K)\) und \(P(\overline{W} \cap \overline{K})\) Verzweigungsregel (Knotenregel)...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Die von Solarmodulen abgegebene elektrische Leistung hängt unter anderem von der Größe ihres Neigungswinkels gegen die Horizontale ab. Die Tabelle gibt den Anteil der abgegebenen Leistung an der maximal möglichen Leistung in Abhängigkeit von der Größe...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\) sowie das Volumen \(V\) der Pyramide. (Teilergebnis: \(V = 216\)) (7 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Neigungswinkel der Seitenkante \([BS]\) gegen die Ebene \(E\)...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Lösung zu Teilaufgabe d Beispielsweise: Gleichung \(\textsf{I}\): \(Q\) ist ein Punkt der Lotgerade durch Punkt \(P\) zur Ebene \(E\). Gleichung \(\textsf{II}\): \(Q\) ist der Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene \(E\), also der Lotfußpunkt des...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Weisen Sie nach, dass die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M\) berührt die \(x_1x_2\)-Ebene, wenn der Abstand \(d\,(M;x_1x_2\text{-Ebene})\) des Mittelpunktes \(M\) von der...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade \(g\) die Uferlinie. Die Ebene \(E\) stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe f 1. Möglichkeit: Hessesche Normalenform der Ebenen \(E\) anwenden 2. Möglichkeit: Parallele Hilfsebene zu Ebene \(E\) aufstellen 3. Möglichkeit: Elementargeometrisch,...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Schnittpunkt Gerade - Ebene \[\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -13 \end{pmatrix}\] Es sei \(g\) die Gerade, die im Modell den Anteil des...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

drei mögliche Lösungsansätze für die Berechnung des Abstands \(d\,(M;h)\) grafisch kurz erläutert. 1. Lösungsansatz: Hilfsebene {slider Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Hilfsebene aufstellen} Abstand Punkt - Gerade, Ansatz: Hilfsebene aufstellen...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

durch den Punkt \(Q\,(0|0|1)\) beschrieben wird (vgl. Abbildung). Zeigen Sie, dass die Punkte \(P\) und \(Q\) bezüglich der Ebene \(E\) symmetrisch sind. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Die Punkte \(P\) und \(Q\) sind bezüglich der Ebene \(E\)...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Dachfläche, auf der die Dachgaube errichtet wird, liegt im Modell in der Ebene \(E\,\colon\, 3x_1 + 4x_3 - 44 = 0\). Die Dachgaube soll so errichtet werden, dass sie von dem seitlichen Rand der Dachfläche, der im Modell durch die Strecke \([HC]\)...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert. Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse \(A\) und \(B\). \(A\): „Es wird genau siebenmal eine...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(L\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Der Winkel, den die Ebene \(\textcolor{#cc071e}{L}\) mit der \(\textcolor{#0087c1}{x_1x_2}\)-Ebene einschließt (Schnittwinkel), ist...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche \(ABCD\) gegen die \(x_1x_2\)-Ebene geneigt ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Der Winkel, unter dem die Seitenfläche \(ABCD\) gegen die \(x_1x_2\)-Ebene geneigt ist, entspricht dem...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) ist Höhenfußpunkt des Kegels, wenn der Vektor \(\overrightarrow{MS}\) senkrecht auf der Ebene \(E\) steht. Mittelpunkt \(M\) des Umkreises berechnen: {slider Mittelpunkt einer Strecke} Mittelpunkt einer Strecke Für den...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Kugel mit Mittelpunkt \(Z\,(1|6|3)\) und Radius 7 die Ebene \(E\) schneidet. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Die Kugel schneidet die Ebene \(E\), wenn der Abstand \(d\,(Z;E)\) des Kugelmittelpunkts \(Z\) von der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann. α) \(\displaystyle 1 - \left( \frac{3}{5} \right)^{8}\) β) \(\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right)^{8} + 8 \cdot...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

\(R\,(2|2|0)\,\), \(S\,(2|8|0)\,\), \(T\,(2|4|3)\) Besondere Lage der Grundfläche \(ABC\) {slider Lagebeziehung von Ebenen} Lagebeziehung von Ebenen \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace\) und...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(A_{h}\) des Flächenstücks, das der Graph von \(h\) mit der \(x\)-Achse einschließt und größtmögliches einbeschriebenes Rechteck mit Flächeninhalt \(A\). Flächeninhalt \(A_{h}\) berechnen: Das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{-2}^{2} h(x)\,dx\)...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind die Ebene \(H\;\colon\, 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\) und der Punkt \(Q\,(-3|0|2)\). Spiegelt man den Punkt \(Q\) an der Ebene \(H\), so erhält man den Punkt \(Q'\). Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q'\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(-13|20|0)\) berührt die Ebene \(E\). Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts \(F\) sowie den Kugelradius \(r\). (zur Kontrolle: \(F(-5|4|2)\), \(r = 18\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe c...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

bei \(D\) rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Spiegelung (eines Punktes) an einer Ebene, Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks (Thaleskreis) \(A(2|3|1)\), \(B(2|-3|1)\), \(C(0|2|0)\) Der Punkt \(D(0|-2|0)\)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Punkte \(A(6|0|4)\), \(B(0|6|4)\), \(C(-6|0|4)\) und \(D\) liegen in der Ebene \(E\) und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide \(ABCDS\) mit der Spitze \(S(0|0|1)\). \(A\), \(B\) und \(S\) liegen in der Ebene \(F\)....

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

zu Teilaufgabe e Der Neigungswinkel des Sonnensegels gegenüber der Horizontalen entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(E\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

zu Teilaufgabe d Der Winkel, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(L\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser Schnittwinkel ist gleich dem spitzen Winkel, den die Normalenvektoren beider...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Winkels, den die Seitenfläche \(ABF\) und die Grundfläche \(ABCD\) einschließen, entspricht dem Schnittwinkel \(\alpha\) der Ebene \(W\) und der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Dieser ist gleich der Größe des spitzen Winkels, den die Normalenvektoren der Ebenen...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(R\) von der Ebene \(E\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe b \[E \colon \enspace x_2 + 2x_3 - 8 = 0\,; \qquad R\,(3|0|0)\] Abstand eines Punktes von einer Ebene {slider Abstand Punkt - Ebene} Abstand eines Punktes von...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\). Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

mit \(\textcolor{#cc071e}{s \in [0;5]}\). Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Es ist also zu überprüfen, ob die Spitze \(S\) den Abstand \(d(S;T) = 2\) von...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(g\) an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts \(R\), in dem \(g\) die Ebene \(E\) schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft. (zur Kontrolle:...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

durch den Punkt \(T\) beschrieben. Die Lote durch die Punkte \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) und \(S_{15}\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene schneiden diese in den Punkten \(E'\), \(F'\), \(G'\), \(H'\) bzw. \(S'\). Diese sind zusammen mit der Grundfläche der...

2.4.2 Abstand paralleler Geraden

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.4 Abstandsbestimmungen Language: *

+ (-0{,}5)^{2} + (-2{,}5)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{\sqrt{30}}{2} \\[0.8em] &\approx 2{,}74\end{align*}\] 2. Möglichkeit: Hilfsebene aufstellen Es sei \(F\) der Lotfußpunkt des Lotes des Punktes \(B\) auf die Gerade \(g\). \[g \colon \overrightarrow{X} =...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(Q(2|3|-1)\) von der Ebene \(E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2 \[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4\,; \qquad Q\,(2|3|-1)\] Abstand eines Punktes von einer Ebene {slider...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Lösung zu Teilaufgabe 1b \[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\,; \qquad P\,(2|3|-3)\] Abstand eines Punktes von einer Ebene {slider Abstand Punkt - Ebene} Abstand eines Punktes von einer Ebene Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die über ihrer maximalen Definitionsmenge die angegebenen Eigenschaften besitzt. Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und die Gerade mit der Gleichung \(x = 2\) ist eine...

Mathematik Klausuren Q11/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11/1 Language: *

einer Stammfunktion beurteilen Klausur Q 11/1-003 Gebrochenrationale Funktion: Möglichen Funktionsterm angeben, der vorgegebene Eigenschaften erfüllt Untersuchung einer gebrochenrationalen Funktion: Maximaler Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen,...

Lernhilfen - Geometrie

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie Language: *

Untersuchung der Lagebeziehung zweier Geraden Untersuchung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Untersuchung der Lagebeziehung zweier Ebenen Bestimmung des Abstands zwischen Punkt und Gerade - 3 Möglichkeiten Schnittwinkelberechnungen...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

5 \\ 5 \\ 1 \end{smallmatrix}\right) \,,\enspace \lambda \in \mathbb R\), ist Flugbahn von \(F_1\). Die \(x_1x_2\)-Ebene ist die Horizontale. Der Steigungswinkel der Flugbahn \(F_1\) gegen die Horizontale entspricht dem Schnittwinkel zwischen der...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(H\) haben von den Lotfußpunkten \(E'\), \(F'\) und \(H'\) des Lotes der Punkte \(E\), \(F\) und \(H\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene jeweils den gleichen Abstand. Abb. 3 Der Schattenpunkt \(T\) des Eckpunkts \(E\) ist vom Lotfußpunkt \(E'\) ca. 3,5 Kästchen...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Für jedes \(a \in \mathbb R^{+}\) liegt die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(U\) mit der Gleichung \(x_{1} = 2{,}5\). Ein beliebiger Punkt \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) des Raums wird an der Ebene \(U\) gespiegelt. Geben Sie die Koordinaten des Bildpunkts...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Von den im einleitenden Text angegebenen Zahlenwerten soll nur der Prozentsatz 40 % so geändert werden, dass die Ereignisse \(A\) und \(R\) unabhängig sind. Geben Sie den geänderten Wert an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Der im einleitenden Text...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

falsch ist: „Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene \(E\), so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch \([W_{1}K_{2}]\) und \([W_{2}K_{2}]\) beschrieben werden, nicht...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben ist die Ebene \(E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\). Beschreiben Sie die besondere Lage von \(E\) im Koordinatensystem. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E\,\colon \, 3x_2 + 4x_3 = 5\] \[\Longrightarrow \quad n_{E} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

\(ABCD\). Der Punkt \(D\) ist Spiegelpunkt des Punktes \(B\) an der Symmetrieachse \([AC]\). 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 1. Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschften \(B \in H\) und \(H \perp AC\) bestimmen: \[\overrightarrow n_H = \overrightarrow{AC}\]...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(ABCD\). Der Punkt \(D\) ist Spiegelpunkt des Punktes \(B\) an der Symmetrieachse \([AC]\). 1. Lösungsansatz mit Hilfsebene 1. Hilfsebene \(H\) mit den Eigenschften \(B \in H\) und \(H \perp AC\) bestimmen: \[\overrightarrow n_H = \overrightarrow{AC}\]...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

\(g\) an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \(x_1x_2\)-Ebene berührt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Der Weg, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die \(\,x_1x_2\)-Ebene...

Teilaufgabe 6b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *

Rechtecks. [ Ergebnis: \(A = \frac{16}{9} \sqrt{3}\) ] (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 6b Flächeninhalt \(A(x)\) der einbeschriebenen Rechtecke: \[\begin{align*} A(x) &= 2x \cdot f(x) \hspace{150px} x \in \enspace ]0; 2[ \\[0.8em] &= 2x \cdot \left (...

Teilaufgabe 6c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *

des Flächenstücks, das der Graph von \(f\) mit der \(x\)-Achse einschließt und Fläche \(A_{\text{Rechteck}}\) des einbeschriebenen Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt. Flächeninhalt \(A_{G_f}\) berechnen: Der Flächeninhalt \(A_{G_f}\) ist gegeben...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Die Ebene \(F\) enthält die Gerade \(CT\) und zerlegt das Prisma in zwei volumengleiche Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt \(P\) so, dass er gemeinsam mit den Punkten \(C\) und \(T\) die Ebene \(F\) festlegt; begründen Sie Ihre Wahl. Tragen Sie die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

P_{\overline{A}}(T) = 0{,}35\] Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms: Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\): Mithilfe der 1. und der 2. Pfadregel lässt sich die...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Foto auf. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten für die Aufstellung der neun Kinder, wenn die drei Spielführerinnen nebeneinanderstehen sollen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a 3 Spielführerinnen, 6 Spielführer Es gibt 7 Möglichkeiten dafür, dass...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

\(F_1\) überfliegt in einer Höhe von 6 km eine Radarstation im Punkt \(Z\) der \(x_1x_2\)-Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(Z\). [Ergebnis: \(Z(20|30|0)\)] (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Lotfußpunkt des Lotes eines Punktes auf eine Ebene Der...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

des Punktes \(T(t|-t|4{,}3)\) Im Modell verläuft der zweite Bohrkanal entlang der Lotgeraden \(BT\) zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Ein Richtungsvektor der Lotgeraden \(BT\) ist beispielsweise der Vektor \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Begründen Sie, dass die Größe des Schnittwinkels von \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene weniger als 30° beträgt, wenn \(2k^2 > 1\) gilt. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen \(g_k\) und der \(x_1x_2\)-Ebene (schematische...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(E\) gehört zur Schar der Ebenen \(E_k \colon 4k \cdot x_1 + 4\sqrt{1-k^2} \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 - 12 = 0\) mit \(k \in [-1;1]\). Die Seitenfläche \(ADS\) der Pyramide liegt in der Ebene \(E_{-1}\) der Schar, die Seitenfläche \(BCS\) in...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\cdot G \cdot h\) (vgl. Merkhilfe) Die Höhe einer Pyramide ist definiert als der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Die Grundfläche \(ABCD\) liegt in der Ebene \(E\), welche im Abstand 4 parallel zur...

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

am Nordufer mit dem am Südufer ● hinsichtlich der durch \(A(0)\) und \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} A(x)\) beschriebenen Eigenschaften (vgl. Aufgabe 2a). ● hinsichtlich der momentanen Änderungsrate des Flächeninhalts zu Beobachtungsbeginn (vgl....

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *

(z.B. in der Mitte der Reihe) werden von den Ehrengästen bevorzugt. - Befreundete oder verheiratete Ehrengäste möchten nebeneinander sitzen. - Die Ehrengäste lassen keine Plätze zwischen sich leer. Sie sitzen in einer Gruppe nebeneinander.

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Eine Kiste enthält vier blaue, zwei gelbe und drei rote Bausteine. Zwei Bausteine werden zufällig entnommen. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Bausteine die gleiche Farbe haben, \(\frac{5}{18}\) beträgt. (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Bei der Wintersportart Biathlon wird bei jeder Schießanlage auf fünf Scheiben geschossen. Ein Biathlet tritt bei einem Einzelrennen zu einer Schießeinlage an, bei der er auf jede Scheibe einen Schuss abgibt. Diese Schießeinlage wird modellhaft durch...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einen blauen, einen gelben und einen roten. Diese sind unterschiedlich groß. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim einmaligen Drehen der blaue Sektor getroffen wird, beträgt \(p\). Interpretieren Sie den Term \((1 -...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

die gilt: Die Verbindungsstrecken des Punktes zu den Punkten \(B_{1}\) und \(T\) stehen aufeinander senkrecht. Geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten dieser Punkte an. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe c \(T(7|10|0) \in [A_{3}A_{4}]\), \(P \in...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

I, II und III zugrunde liegen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Gleichung \(\textsf{I}\): Der Mittelpunkt \(M\) liegt in der Ebenen \(E\). Gleichung \(\textsf{II}\): Die Strecke \([MC]\) und die Gerade \(g_{0{,}8}\) sind zueinander senkrecht. Gleichung...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Jede Ebene \(E_k\) der Schar schneidet die \(x_1x_2\)-Ebene in einer Gerade \(g_k\). Mit \(R_k\) wird jeweils derjenige Punkt auf \(g_k\) bezeichnet, der von \(O\) den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind \(g_k\) und \(R_k\) beispielhaft für eine...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade \(OS\) die Ebene \(E_k\) schneidet, unabhängig von \(k\) ist. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f \[E_k \colon 4k \cdot x_1 + 4\sqrt{1-k^2} \cdot x_2 + 3 \cdot x_3 - 12 = 0; \;k \in [-1;1]\]...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

\(B\): „Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts," Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Die Ebene \(F\) schneidet den Würfel \(W\) in einem regulären Sechseck. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene \(F\) mit der \(x_1\)- und der \(x_3\)-Koordinatenachse und bestätigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \([G_2G_3]\) auf \(F\) liegt....

2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *

man einen Term der Form \(r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b} + t \cdot \overrightarrow{c}\). In der Ebene \(\mathbb R^{2}\) sind höchstens zwei Vektoren linear unabhängig. Im Raum \(\mathbb R^{3}\) sind höchstens drei Vektoren...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Punkte \(M\), \(T\), \(S\) und \(F\) (vgl. die Aufgaben b, c und d) liegen in einer Ebene \(Z\). Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade \(g\), den Schnitt der Ebene \(E\) mit der Ebene \(Z\) sowie den Schnitt der Kugel \(K\) mit der...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

liegt. (zur Kontrolle: \(k = 0{,}8\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe c Begründung, dass jede Gerade der Schar \(g_k\) in der Ebene \(E\) liegt Es ist einmal zu zeigen, dass der Normalenvektor von \(E\) und der Richtungsvektor von \(g_k\) zueinander...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Boden nicht berührt, muss die Länge der Strecke \([MH]\) kleiner sein als der Abstand des Punktes \(M\) von der \(x_1x_2\)-Ebene. Der Wert der \(x_{3}\)-Koordinate des Punktes \(M\) entspricht dem Abstand des Punktes \(M\) von der \(x_1x_2\)-Ebene....

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *

Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\). Von den Graphen I bis VI bestätigt ausschließlich Graph IV das beschriebene Verhalten. Graph IV zeigt für einen negativen \(x\)-Wert als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt. An der Stelle des...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

ist im Bereich \(-1 < x...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Für den beschriebenen Test ergibt sich \(\{132;133; \dots ; 200\}\) als Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Zur Bestimmung der unteren Grenze dieses Ablehnungsbereichs wurden zunächst folgende Lösungsschritte ausgeführt: \(Y\): Anzahl der zufriedenen...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(T\) legen die Ebene \(H\) fest; diese zerlegt das Prisma ebenfalls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden Teilkörper. Begründen Sie, dass die beiden Teilkörper nicht volumengleich sind. (3 BE) Lösung...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Signifikanztest aufstellen Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\). {slider Einseitiger Signifikanztest} Einseitiger Signifikanztest zum...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Signifikanztest aufstellen Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\). {slider Einseitiger Signifikanztest} Einseitiger Signifikanztest zum...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Signifikanztest aufstellen Bedingung: Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art darf höchstens so groß sein wie das vorgegebene Signifikanzniveau \(\textcolor{#0087c1}{\alpha}\). {slider Einseitiger Signifikanztest} Einseitiger Signifikanztest zum...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

sind weder mit einer Holzpelletheizung noch mit einer solarthermischen Anlage ausgestattet. Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Betrachtet werden folgende...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

\(R\): „Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure." \(K\): „Das Paket enthält Kleidung." Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. Bestimmen Sie für den Fall, dass das ausgewählte Paket keine...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(t_{0}\) (siehe Teilaufgabe d). Der Schatten des Polstabs entspricht im Modell der Projektion der Strecke \([MS]\) in die Ebene \(E\) in Richtung des Vektors \(\overrightarrow{u}\). Die \(x_{2}\)-Koordinate der Punkte \(M\) und \(S\) sowie des...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Gegeben sind die beiden bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene symmetrisch liegenden Punkte \(A(2|3|1)\) und \(B(2|-3|1)\) sowie der Punkt \(C(0|2|0)\). Weisen Sie nach, dass das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(ABCD\) parallel zur quadratischen Deckfläche \(EFGH\) liegt. Der Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_1x_3\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_2x_3\)-Ebene. Außerdem werden die Punkte \(S_k(0|0|k)\) mit \(k \in \; ]7;+\infty[\) betrachtet,...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Fehler zu minimieren, indem dieser als Fehler 1. Art beschrieben wird. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler darf das vorgegebene Signivikanzniveau nicht überschreiten (siehe auch Teilaufgabe 2b). Linksseitiger Signifikanztest {slider Einseitiger...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

c Vermutung: Bei der Festlegung der Grundstücksgröße wird die senkrechte Projektion eines Grundstücks auf die Horizontalebene (\(x_1x_2\)-Ebene) herangezogen. Auf der Landkarte des Grundbuchamts ist also der Flächeninhalt des Rechtecks \(OAB'C'\)...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}-1\\-2\\5 \end{pmatrix}\] Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(H\): \[H \colon 2x_1 + x_2 + 2x_3 - 6 = 0\; \Rightarrow \; \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}\] \[\vert...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}-1\\-2\\5 \end{pmatrix}\] Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der Ebene \(H\): \[H \colon 2x_1 + x_2 + 2x_3 - 6 = 0\; \Rightarrow \; \overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix}\] \[\vert...

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(3\sqrt{2}\). Höhe \(h\) der Pyramide \(ABA'B'C\): Oktaeder \(ABA'B'CC'\) und Pyramide \(ABA'B'C\) mit Höhe \(h\) sowie die Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(Z\) liegen Aus Teilaufgabe b ist bekannt, dass die Ebene, in der die Punkte \(A\),...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

um \(2\) in \(y\)-Richtung. Der Graph der Funktion \(k\) entsteht aus dem Graphen der Funktion \(f\) durch die angegebene Streckung und Verschiebung in umgekehrter Reihenfolge. Entscheiden Sie, ob folgende Aussage richtig ist: „Die Funktionsterme von...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

höchsten Stelle 3 m hoch. Das Rechteck \(GHKL\) mit \(G\,(2|4|2)\) hat die Breite \(\overline{GL} = 1\,\). Es liegt in der Ebene \(E\), die Punkte \(H\) und \(K\) liegen auf der Geraden \(CD\,\). Das Rechteck stellt im Modell ein Dachfenster dar; die...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Nachweis, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht Normalenvektor \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\) und Vektor \(\overrightarrow{MS}\) Der Polstab steht senkrecht auf der Grundplatte (Rechteck \(ABCD\)), wenn die Strecke \([MS]\)...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(K_{2}\). (Ergebnis: \(K_{2}(51|100|10)\)) (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Punkt auf einer Geraden, Schnittpunkt Gerade - Ebene \[g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{K_{1}} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 2 \end{pmatrix}, \; \lambda...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Lösung zu Teilaufgabe b Berechnung der Größe des Schnittwinkel von \(g\) und \(E\) {slider Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene} Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene \[\cos{(90^{\circ} - \varphi)} = \frac{\vert...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

zu Teilaufgabe f Planskizze (optional): Die Fontäne trifft im Punkt \(P\) auf das Dreieck \(ABS\) auf. Dieses liegt in der Ebene \(F\) (vgl. Teilaufgabe b). Somit ist der Punkt \(\boldsymbol{P}\) der Schnittpunkt der Kurve \(\textcolor{#0087c1}{L_{t}}\)...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *

parallel zur \(x_{2}\)-Achse durch den Punkt \(Q(-2|2|0)\). c) Die Gerade \(g\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{3}\)-Ebene durch den Punkt \(R(-2{,}5|1|1)\). d) Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(S(3|2|-1)\) und \(T(6|4|0)\). a) Die Gerade...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Untersuchen Sie, ob \(K\) die \(x_1x_2\)-Ebene schneidet. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Planskizze (optional): Der Abstand \(\textcolor{#0087c1}{d(M;x_1x_2\text{-Ebene})}\) des Mittelpunkts \(M\) der Kugel \(K\) von der \(x_1x_2\)-Ebene lässt sich der...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

(4 BE) Lösung zu Teilaufgabe h Planskizze (optional): Wenn der Brunnen vollständig gefüllt ist, reicht das Wasser bis zur Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\), welche im Abstand 4 parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene liegt (vgl. Teilaufgabe a). Da der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *

Von den im Vortext gegebenen Zahlenwerten soll nur der Prozentsatz 40 % so abgeändert werden, dass die Ereignisse \(R\) und \(A\) stochastisch unabhängig sind. Geben Sie den geänderten Wert an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c Begründung mit...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Eine Skifahrerin fährt einen Hang hinab. Dieser wird modellhaft durch ein Flächenstück beschrieben, das in der Ebene \(E\) liegt. Die Startposition der Abfahrt entspricht dem Punkt \(S\). Auf dem Hang befindet sich ein Tor, dessen Begrenzungsstangen im...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(B_{2}\), \(B_{3}\) und \(B_{4}\) die Eckpunkte der Dachfläche. Diejenige Seitenwand, die im Modell in der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene liegt, ist 6 m hoch, die ihr gegenüberliegende Wand nur 4 m. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m, d.h....

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(O(0|0|0)\), der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche \(CDS\) der Pyramide liegt in der Ebene \(E\). Abb. 1 Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe a 1. Möglichkeit:...

Teilaufgabe h

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

zeigt Punkte \(R_k\) für \(k \in [-1;1]\) in Schritten von \(0{,}1\) sowie beispielhaft den Schnittwinkel \(\varphi\) der Ebene \(E_1\) (Seitenfläche \(BCS\)) und der Gerade \(OS\) (vgl. Teilaufgabe g). Da der Schnittwinkel \(\varphi\) der Gerade \(OS\)...

Mathematik Klausuren Q12/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q12/1 Language: *

ermitteln Analytische Geometrie: Geradengleichung in Parameterform, Punktprobe, Schnittpunkt zweier Geraden, Ebenengleichung in Parameterform und in Normalenform Klausur Q12/1-003 Integralrechnung: Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen, Wert...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Volumen eines Würfels/einer Stufenpyramide, Höhe einer Pyramide Volumen der Stufenpyramide Pyramide \(ABCDS\) mit einbeschriebener Stufenpyramide Die einbeschrieben Stufenpyramide besteht aus \(5 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 1 = 35\) Würfeln mit der...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

+ (1 - 0{,}2)^{10} \end{align*}\] Der Term formuliert die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: „Von den 10 angeschriebenen Haushalten verfügt entweder keiner oder all 10 über einen schnellen Internetanschluss." Anmerkung: {slider Binomialkoeffizient}...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Welche Lagebeziehung muss eine Gerade zur Ebene \(E\) haben, wenn für jeden Punkt \(P\) dieser Geraden die Pyramide \(ABCP\) das gleiche Volumen wie die Pyramide \(ABCS\) besitzen soll? Begründen Sie Ihre Antwort. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Das...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

1b \[H\,\colon\; 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\,; \qquad Q\,(-3|0|2)\] Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{v}_j\) einer zur Ebene \(H\) parallelen Geraden \(j\) mit der Gleichung \(j\,\colon\; \overrightarrow{X} = \overrightarrow{Q} + \lambda \cdot...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt. Der Punkt \((2|0)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Entwicklung von Funktionen 1....

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *

mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % die Beleuchtung nicht einwandfrei. Stellen Sie zu der für Flugzeuge des Typs Y beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c Analyse der Angabe: "... liegt...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *

den Befragten zufällig ausgewählte Person hat sich bereits für einen Kandidaten entschieden." Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a \(J\): „Eine aus den...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *

Begründen Sie, dass die Wahl der Nullhypothese für den beschriebenen Test in Einklang mit dem Anliegen der Wahlkampfberaterin steht, einen Erfolg bereits im ersten Wahlgang zu erreichen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Mit der Wahl der Nullhypothese...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Erstellen Sie zu der beschriebenen Situation ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm oder eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Ereignisse: \(A\): „Ein zufällig ausgewählter Angestellter gilt als...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

in Sekunden und \(g(t)\) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion \(g\) beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke. Abb. 5 Berechnen Sie \(g(1{,}5)\) und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis \(E\) mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit \(P_{S}(M)\). (5 BE)...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

die Formel \(V = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{a}{2} \right)^{2} \cdot \pi \cdot b\) zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an, deren Längen für \(a\) bzw. \(b\) einzusetzen sind. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Beschreibung des...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\): Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. \(X\) gibt die dabei erzielte Augensumme an. Aus einem Behälter mit 60...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Nebenstehende Vierfeldertafel gehört zu einem Zufallsexperiment mit den stochastisch unabhängigen Ereignissen \(A\) und \(B\). Tragen Sie alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Vierfeldertafel, Stochastische...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Abb. 2 Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f\). Abb. 2 Einer der folgenden Graphen I, II und III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f\). Geben Sie diesen an. Begründen Sie, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Alle Punkte, deren Koordinaten übereinstimmen, liegen auf einer...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

In einem kartesischen Koordinatensystem beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet. Die \(x_1\)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \(x_2\)-Achse in Richtung Norden, die Längeneinheit ist 1 km. Ein...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

und \(P\,(0|0|0)\) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche \(ABQP\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 0,1 m, d.h. der Grundkörper ist 0,6 m hoch. Geben Sie die Koordinaten des Punkts...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

Der Skizze sowie dem Text der Angabe entnimmt man folgende mathematische Sachverhalte: Quadrat \(ABCD\) \[B \in x_1x_2\text{-Ebene}\] \[\begin{align*} \Longrightarrow \quad x_{1_B} &= x_{1_A} \\[0.8em] x_{2_B} &= x_{2_C} \\[0.8em] x_{3_B} &= 0...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Eine flache Landschaft, in der sich ein Flughafen befindet, lässt sich modellhaft durch die \(x_1x_2\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems beschreiben. Die \(x_1\)-Achse zeigt in Richtung Osten, die \(x_2\)-Achse in Richtung Norden; eine...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

dem Verbindungsvektor \(\overrightarrow{K_{2}B}\) und einem Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene, welcher die ursprünglich senkrecht nach unten orientierte Kamera repräsentiert. {slider Winkel zwischen zwei Vektoren} Anwendung...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\in \mathbb R\). Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \(a\) die Koordinaten des Punkts, in dem \(g_{a}\) die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene schneidet. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \(g_{a} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ a - 4 \\ 4 \end{pmatrix} +...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\(ABCD\) ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene. Zeigen Sie, dass das Dreieck \(ABF\) bei \(F\) rechtwinklig ist. (2 BE) Lösung...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

dieser Kugel. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Da der gesamte Körper sowohl symmetrisch bezüglich der \(x_{1}x_{3}\)-Ebene als auch bezüglich der \(x_{2}x_{3}\)-Ebene ist (vgl. Angabe), kann der Mittelpunkt \(M\) einer Kugel, auf der alle acht Eckpunkte...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Begründen Sie ohne Rechnung, dass \(g\) in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe c \[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ \textcolor{#e9b509}{0} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Der Körper wird so um die Gerade \(AB\) gedreht, dass der mit \(D\) bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt und dabei eine positive \(x_2\)-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *

Angestellter gilt als aufgeschlossen" sollen auf stochastische Abhängigkeit untersucht werden. Stellen Sie die beschriebene Situation in einem vollständig beschrifteten Baumdiagramm oder in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. (4 BE)...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *

\(\textcolor{#cc071e}{k}\,\): \[g(x) = \textcolor{#cc071e}{k} \cdot f(x), \enspace k > 0\] {/sliders} Das beschriebene Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto entspricht einer Stauchung (Streckungsfaktor: (\(0 < \frac{1}{k}...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

beeinflussen menschliche Verhaltensweisen aber auch äußere Einflussfaktoren sportliche Wettkampfsituationen wie das beschriebene Biathlon Einzelrennen. Die Kombinationssportart Biathlon erfordert ein hohes Maß an Ausdauer und Konzentration....

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant. {/sliders} Das beschriebene Zufallsexperiment entspricht grundsätzlich dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge". Mit...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Die beschriebene Spiegelung von \(G_{f}\) an der Geraden \(x = 4\) kann durch eine Spiegelung von \(G_{f}\) an der \(y\)-Achse mit anschließender Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie \(a, b \in \mathbb R\) an,...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Abfüllen von jeweils 50 Gummibärchen aus einer großen Anzahl verschiedenfarbiger Gummibärchen erfolgt, und sich die beschriebene Aufgabenstellung deshalb mit der Binomialverteilung modellieren lässt. Andernfalls ist diese Aufgabe nach dem Urnenmodell...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Abfüllen von jeweils 50 Gummibärchen aus einer großen Anzahl verschiedenfarbiger Gummibärchen erfolgt, und sich die beschriebene Aufgabenstellung deshalb mit der Binomialverteilung modellieren lässt. Nun muss sich in einem „großen Behälter" aber nicht...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei vorgegebenem Erwartungswert Zufallsgröße \(X\): „Höhe des Rabatts in Prozent" (siehe Angabe Aufgabe 1) \(E(X) = 9p^{2} +12p + 4\) (siehe...

3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.3 Zufallsgrößen Language: *

beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich einer vorgegebenen reellen Zahl \(x\) ist. Kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Die kumulative Verteilungsfunktion \(F\) einer...

1.6.6 Integralfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *

\(f\) formuliert, ist der Graph einer Integralfunktion exakt festgelegt. Beim Skizzieren einer Integralfunktion zum vorgegebenen Graphen einer Funktion \(f\) achtet man insbesondere auf die Nullstellen der Integralfunktion sowie auf die Null- und...

1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *

\(f_{k}\) an der Stelle \(x_{0}\) die Steigung \(m\) besitzt (vgl. Abiturskript - 1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung). 4. Beispiel \[f_{k}(x) = 0{,}5kx^{4} - 4kx^{2}; \; D_{f_{k}} = \mathbb R, \; k > 0\] Extremstellen bzw....

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 0 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe d) Richtungsvektor des Einfallslots (Normalenvektor der Ebene \(E\)): \(\overrightarrow{n}_{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe c) Die Größe des Winkels α bzw. β ist...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

für eine dieser Geraden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Orthogonale Geraden im Raum, Einheitsvektor, Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittpunkte Gerade - Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

für eine dieser Geraden. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Orthogonale Geraden im Raum, Einheitsvektor, Schnittpunkt Gerade - Ebene, Schnittpunkte Gerade - Kugel \[g = AB\] Es sei \(h\) eine der Geraden, für die die Bedingungen I und II gelten. \(h \perp...

2.1.6 Nachweis von Vierecken

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *

Die nachfolgenden Nachweise setzen voraus, dass vier bekannte Punkte ein Viereck festlegen, die Punkte also in einer Ebene liegen. (Vorkenntnisse: Abiturskript - 2.1.1 Rechnen mit Vektoren, Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren und...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

Höhe des Spats ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Schrittweise Erläuterung Teilt man den Spat einmal entlang der \(x_2x_3\)-Ebene und einmal entlang der parallelen Ebene, welche die Strecke \([DC]\) enthält, entstehen die beiden kongruenten...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene \(E\) verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechteckigen Schatten. Zeigen Sie unter Verwendung einer...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

die an einer der beiden Plattformen angebracht ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene den horizontalen Untergrund. Die Plattformen und die Kletterwand werden als ebene Vielecke betrachtet. Eine Längeneinheit entspricht...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben sind die Punkte \(A(8|0|6)\), \(B(7|1|6)\) und \(S(0|0|10)\), die in der Ebene \(E\) liegen. Berechnen Sie die Länge der Strecke \([AB]\) und geben Sie die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an. (zur Kontrolle: \(\overline{AB} =...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *

Welcher der angegebenen Terme nähert die Funktion \(\displaystyle f \colon x \mapsto \frac{1}{x} + x + 1\) für große Werte von \(x\) am besten? Machen Sie Ihre Antwort plausibel. \[\text{(i)} \frac{1}{x} \qquad \text{(ii)} \enspace x \qquad...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Von den im Baumdiagramm angegebenen Zahlenwerten soll nur der Wert \(\frac{\sf{1}}{\sf{10}}\) so geändert werden, dass die Ereignisse \(C\) und \(D\) unabhängig sind. Bestimmen Sie den geänderten Wert. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c 1. Lösungsansatz:...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen erzielt werden. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren....

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen erzielt werden. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1a Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren....

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\leq x \leq 6\) sowie die dazu symmetrische Fläche im II-Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion \(F\), wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2e \[f(x) =...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt \(A(b)\) ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe d angegebenen Stammfunktion \(F\) einen Term für \(A(b)\) und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion \(f\) auch für...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

{/sliders} Die Länge der Bernoulli-Kette ist \(\textcolor{#0087c1}{n = 200}\). Die in der Tabelle angegebenen prozentualen Anteile können als konstante Trefferwahrscheinlichkeiten \(\textcolor{#cc071e}{p}\) des jeweils betrachteten Ereignisses angesehen...

1.5.8 Funktionsbestimmungen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *

bestimmt wird. Eigenschaften und Schlussfolgerungen (Gleichungen) Die Tabelle gibt eine Übersicht über mögliche vorgegebene Eigenschaften des Graphen \(G_{f}\) einer Funktion \(f\) und sich daraus ergebenden Gleichungen für die Bestimmung des...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

1. Art (Nullhypothese wird irrtümlich abgelehnt) beschrieben wird. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler soll eine vorgegebene Obergrenze (Signifikanzniveau) nicht überschreiten. Die Wahl der Nullhypothese ist somit keine Frage der Mathematik,...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(g(x) = 3 \cdot \sin{x} + 1\) oder \(g(x) = 3 \cdot \cos{x} +1\) Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Der vorgegebene Wertebereich \([-2;4]\) schließt die Grenzen \(-2\) und \(4\) ein. Zudem soll die Funktion in \(\mathbb R\) definiert sein. Einen...

3.1.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Language: *

&= 100\end{align*}\] \[\vert \overline{D} \vert = \vert \Omega \vert - \vert D \vert = 10000 - 100 = 9900\] Anhand der gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_{D}(B)\) und \(P_{\overline{D}}(\overline{B})\) werden die absoluten Häufigkeiten...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt. Der Graph der Funktion \(f\) hat den Hochpunkt \((0|5)\,\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Betrachtung bekannter Grundtypen von...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat. \(\mathbb W = [2; + \infty[\) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Terme von Potenzfunktionen \(f\) mit geraden Exponenten \(n\) und...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(\mathbb W\) hat. \(\mathbb W = [-2;2]\) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b 1. Lösungsansatz: Sinusfunktion oder Kosinusfunktion Eine Sinusfunktion...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat. Der Graph der Funktion \(g\) geht aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x \mapsto \sin x\) durch...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt. Die Funktion \(g\) hat die maximale Definitionsmenge \(]-\infty;5[\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a Funktionsterm bestimmen \[D_{g} = \; ]-\infty; 5]\]...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 1\) schneidet (Nullstelle), und zu dieser punktsymmetrisch verläuft, erfüllt die angegebene Eigenschaft \(\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = 0\). Denkt man sich also den Graphen einer zum Koordinatenursprung...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\] Anmerkung: Die angegebene Gleichung der Symmetrieachse \(g\) ist nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die Gleichung der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat. \[W =\; ]-\infty;1]\] (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a zum Beispiel: \(-x^{2} + 1\) Begründung (nicht verlangt) Der Graph der Funktion...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Geben Sie jeweils den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge \(W\) hat. \[W =\; ]3;+\infty[\] (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b zum Beispiel: \(e^{x} + 3\) Begründung (nicht verlangt) Der Graph der Funktion \(x...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *

\[P(1{,}5|0) \qquad Q(x|f(x)) \qquad f(x) = \sqrt{x + 3}\,; \quad x \in [-3;+\infty [\] {slider Abstand zweier Punkte in der Ebene} Abstand \(\overline{PQ}\) zweier Punkte \(P(x_P|y_P)\) und \(Q(x_Q|y_Q)\) in der Ebene: \[\overline{PQ} = \sqrt{(x_Q -...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie II Language: *

den Uhrzeigersinn. 3. Lösungsansatz: Schnittpunkte einer Geraden mit einer Kugel Die Geraden \(g\) und \(h\) legen eine Ebene fest, in der das Rechteck \(PUQV\) liegt. Schneidet man eine Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(T\) und dem Durchmesser \(d =...

Teilaufgabe 3e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

entspricht dem Abstand \(d(R;g)\) des Punktes \(R\) von der Geraden \(g\) in Metern. {slider Abstand zweier Punkte in der Ebene} Abstand \(\overline{PQ}\) zweier Punkte \(P(x_P|y_P)\) und \(Q(x_Q|y_Q)\) in der Ebene: \[\overline{PQ} = \sqrt{(x_Q -...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-001 Language: *

Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen bzw. wenn die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Abbildung zeigt den Würfel \(ABCDEFG\) mit \(A(0|0|0)\) und \(G(5|5|5)\) in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene \(T\) schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten \(I(5|0|1)\), \(J(2|5|0)\), \(K(0|5|2)\) und...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Punkte \(A(19|0|0)\), \(B(0|19|0)\), \(E(12|0|7)\) und \(F(0|12|7)\) (vgl. Abbildung 1). Das Viereck \(ABFE\) liegt in der Ebene \(L\). Weisen Sie nach, dass das Viereck \(ABFE\) ein Trapez mit zwei gleich langen Seiten ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

1.6.1 Stammfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *

Stammfunktion. Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion Beim Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion \(F\) zu einem gegebenen Graphen einer Funktion \(f\) achtet man insbesondere auf die Lage und Art der Nullstellen sowie auf die Extremstellen von...

Teilaufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *

nach dem Ausschlussprinzip 1. Betrachtung von Graph iii) Graph iii) zeigt die waagrechte Asymptote \(y = 1\). Von allen gegebenen Funktionen besitzt einzig die Funktion \(h(x) = -\frac{1}{x} + b\) eine waagrechte Asymptote. \[\lim \limits_{x \to...

Teilaufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

nach dem Ausschlussprinzip 1. Betrachtung von Graph III Graph III zeigt die waagrechte Asymptote \(y = 1\). Von allen gegebenen Funktionen besitzt einzig die Funktion \(g(x) = -\frac{1}{x} + s\) eine waagrechte Asymptote. \[\lim \limits_{x \to +\infty}...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Nullstellen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a \[g_{a,c}(x) = \sin(ax) + c\,; \quad a,c \in \mathbb R_0^+\] Im Falle der gegebenen Funktion \(g_{a,c}\) streckt oder staucht der Parameter \(a\) den Graphen \(G_{g_{a,c}}\) in \(x\)-Richtung und verschiebt...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Teil dieser Parabel. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) mit der durch die Gleichung \(y = x\) gegebenen Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten. (Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4) (3 BE) Lösung...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

generell gewählt werden, wenn die Koordinaten eines Punktes auf einer Geraden mit einem festen Abstand zu einem anderen gegebenen Punkt auf der Geraden berechnet werden sollen.

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

generell gewählt werden, wenn die Koordinaten eines Punktes auf einer Geraden mit einem festen Abstand zu einem anderen gegebenen Punkt auf der Geraden berechnet werden sollen.

3.1.6 Unabhängigkeit von Ereignissen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.1 Wahrscheinlichkeitsrechnung Language: *

Unabhängigkeit. Gegeben: \(P(E) =0{,}02\), \(P(F) = 0{,}05\), \(P(\overline{E} \cup \overline{F}) = 0{,}999\) Mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten lässt sich die stochastische Unabhängigkeit der Ereignisse \(E\) und \(F\) nicht auf Anhieb überprüfen....

1.7.3 Graph einer Scharfunktion durch einen Punkt

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *

\(f_{k}\) und fragt nach dem Wert des Parameters \(k\), sodass der Graph der zugehörigen Scharfunktion durch einen gegebenen Punkt \(P(x_{P}|y_{P})\) verläuft. Die Koordinaten des Punktes \(P\) müssen die Funktionsgleichung \(y = f_{k}(x)\) erfüllen. Es...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

die erste Stufe des zu erstellenden Baumdiagramms die Ereignisse \(A\) und \(B\). Baumdiagramm mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten \(P(A) = 0{,}65\), \(P_{A}(K) = 0{,}95\) und \(P_{B}(K) = 0{,}7\) Die Wahrscheinlichkeit \(P(K)\)...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *

\(0{,}04\) \(\overline{O}\) \(0{,}03\) \(0{,}05\) \(1\) Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten mit den Eintragungen der gegebenen Wahrscheinlichkeiten Die Vierfeldertafel lässt sich zeilen- bzw. spaltenweise durch Addition oder Subtraktion...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *

der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist jede Integralfunktion \(\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt\) einer gegebenen stetigen Funktion \(f\) eine Stammfunktion von \(f\). {slider Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung} Hauptsatz der...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\) (vgl. Merkhilfe) {/sliders} Gemäß dem Monotoniekriteriem ist somit \(F\) im gegebenen Intervall streng monoton fallend.

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\; G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\) (vgl. Merkhilfe) {/sliders} Gemäß dem Monotoniekriteriem ist somit \(F\) im gegebenen Intervall streng monoton fallend.

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

nach \(-\) wechselt. Anmerkung: Die Vorgehensweise ist vergleichbar mit dem Nachweis eines Hochpunkts des Graphen einer gegebenen Funktion. Erste Ableitung \(A'\) bilden: Hierfür wird die Quotientenregel, die Summenregel sowie die Ableitung einer...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Maximum. Anmerkung: Der Nachweis eines Maximums von \(R(s)\) entspricht dem Nachweis eines Hochpunkts des Graphen einer gegebenen Funktion. Rechteck mit Länge \(\textcolor{#cc071e}{s}\) und Breite \(\textcolor{#cc071e}{f(s) - 1}\) Flächeninhalt \(R(s)\)...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) Ein Baumdiagramm gestaltet die Aufgabenstellung übersichtlich. Baumdiagramm mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit \(P(T)\) lässt sich mithilfe der 1. Pfadregel berechnen. {slider Baumdiagramm -...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

\(\textcolor{#89ba17}{150}\) Vierfeldertafel der absoluten Häufigkeiten mit den Eintragungen der gegebenen Werte Durch zeilen- bzw. spaltenweise Subtraktion lässt sich die Vierfeldertafel wie folgt ergänzen: \(S\) \(\overline{S}\) \(T\)...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

\(1\) Sofern aus Teilaufgabe 1a noch kein innerer Eintrag der Vierfeldertafel bekannt ist, lässt sich dieser mithilfe der gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_B(J) = 0{,}5\) ermitteln. {slider Bedingte Wahrscheinlichkeit} Bedingte...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(g\) mit der \(y\)-Achse. Begründen Sie anhand des gegebenen Terms von \(f\), dass \(G\) für \(x > -3\) oberhalb der Gerade mit der Gleichung \(y = x-3\) verläuft. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b...

1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *

Mathematik Klausuren Q11/2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11/2 Language: *

Ableitung der Natürlichen Logarithmusfunktion, Produkt- und Quotientenregel, Kettenregel Stammfunktion: Stammfunktion gegebener Funktionen durch „Aufleiten" bilden Wurzelfunktion: Definitionsmenge, Wertemenge, Untersuchung auf Umlehrbarkeit,...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *

der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt. Der Mittelpunkt \(A(4|-1|0)\) der Kugel \(K\) liegt in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Ein weiterer Punkt \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt, hat beispielsweise die Koordinaten \(C(4|-1|r)\) oder...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *

Die Anzahl der auf der Erde lebenden Menschen wuchs von 6,1 Milliarden zu Beginn des Jahres 2000 auf 6,9 Milliarden zu Beginn des Jahres 2010.Dieses Wachstum lässt sich näherungsweise durch eine Exponentialfunktion mit einem Term der Form \(N(x) = N_0...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik II Language: *

{/sliders} \[P_{\overline{R}}(V) = \frac{P(\overline{R} \cap V)}{P(\overline{R})}\] 1. Lösungsansatz: Baumdiagramm Gegebene Wahrscheinlichkeiten \(\,P(\overline{R})\,\), \(\,P(V)\,\) und \(\,P_R(V)\,\) sowie gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

2e Näherungsweise grafische Ermittlung der Eigengeschwindigkeit für \(2 < t(x) < 14\) Die zu Beginn der Aufgabengruppe 2 gegebene Abbildung zeigt den Graphen der Funktion \(f\) für \(5 < x...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

P(B) + P(B \cap T) \end{align*}\] Zunächst ist noch die Wahrscheinlichkeit \(P(B \cap T)\) zu berechnen. Hierfür wird die gegebene bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(T) = 0{,}60\) verwendet. {slider Bedingte Wahrscheinlichkeit} Bedingte...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

an. (1 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Die \(x_{1}\)- sowie die \(x_{3}\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S_{x_{2}}\) der Ebenen \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse ist jeweils gleich Null. \[E \colon 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} - 4 = 0\] \[\Longrightarrow \quad 2...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Eckpunkte des Netzes 1,80 m. das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes und erläutern Sie Ihren Ansatz. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Das...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie I Language: *

(siehe Teilaufgabe a) \[\left. \begin{align*} DCRS &\parallel ABQP \\[0.8em] ABQP &\subset x_1x_2\text{-Ebene} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace h = x_{3_D} = x_{3_C} = 6\] Volumen \(V\) des Spats \(ABCDPQRS\) berechnen: \[V = G \cdot...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

eine Bewegung der Kamera. In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\), \(W_{3}\) und \(W_{4}\) beschreiben die...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

heißes Wasser aus einer wasserführenden Gesteinsschicht an die Erdoberfläche. In einem Modell entspricht die \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems der horizontal verlaufenden Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

des Saarpolygons für eine Betrachtung von oben Ein Blick von oben projiziert die Punkte \(B\) und \(C\) in die \(x_1x_2\)-Ebene. Je nach Anordnung der \(x_1\)- und \(x_2\)-Achse ergibt die schematische Betrachtung von oben ein spiegelverkehrtes...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

des Pharaos Snofru dar, die ca. 2650 v. Chr. in Ägypten erbaut wurde (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt die \(x_1x_2\)-Ebene den horizontalen Boden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 7 m in der Realität. Ursprünglich wurde mit dem Bau...

1.1.1 Lineare Funktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.1 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Language: *

\[m_{1} \cdot m_{2} = -1\] gilt. Geradengleichungen Neben der allgemeinen Form, lässt sich die Gleichung einer Gerade in der Ebene, die durch den Punkt \((x_{0}|y_{0})\) verläuft und die Steigung \(m\) besitzt, in der Punkt-Steigungs-Form formulieren....

Teilaufgabe d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Kanten des Würfels schneidet, sowie die sechseckige Schnittfigur in die Abbildung ein. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe d Die Ebene \(M\) schneidet den Würfel in einem regulären Sechseck.

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Der Würfel wird entlang der Ebene \(L\) geteilt. Berechnen Sie das Volumen der entstehenden Pyramide. Geben Sie an, wie viel Prozent des Würfelvolumens die Pyramide einnimmt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe b Volumen der entstehenden Pyramide 1....

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Koordinatensystem legen die Punkte \(A\,(4|0|0)\), \(B\,(0|4|0)\) und \(C\,(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest, das in der Ebene \(E\,\colon \, x_1 + x_2 + x_3 = 4\) liegt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\). (3 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

von \(N\) und \(L\). (Teilergebnis: \(N\,(7{,}2|8|7)\)) (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe f Die Gerade \(m\) schneidet die Ebene \(F\) im Punkt \(N\). \(m\,\colon\,\overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix} + \mu \cdot...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\) Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Da die Kante \([AS]\) senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\) liegt, ist die Länge...

2.1.1 Rechnen mit Vektoren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *

und Bezeichnungen Die nachfolgenden Beschreibungen beziehen sich auf Vektoren im Raum. Sie gelten analog für Vektoren in der Ebene. Schreibweise als Spaltenvektor \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}\) Die reellen...

2.1.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 2.1 Vektoren Language: *

senkrecht stehender Vektor \(\overrightarrow{c}\) ermittelt werden (beispielsweise der Normalenvektor einer Ebene, vgl. Abiturskript - 2.2.4 Umwandlung: Parameterform - Normalenform). Orthogonaler (senkrechter) Vektor zu zwei (linear unabhängigen)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

\((5|5|0)\). Der Punkt \(B\) liegt auf der \(x_{1}\)-Achse, \(D\) auf der \(x_{2}\)-Achs. Das Dreieck \(CDS\) liegt in der Ebene \(E\colon 12x_{2} + 5x_{3} = 60\). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Geben Sie...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

\(z\)-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorder- und Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im...

Teilaufgabe c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen bzw. wenn die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\) enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimmen Sie diese Koordinaten. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[E \colon 3x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 6\] \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) mit...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen bzw. wenn die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Gegeben sind die Punkte \(P(4|5|-19)\), \(Q(5|9|-18)\) und \(R(3|7|-17)\), die in der Ebene \(E\) liegen, sowie die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} -12 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

\(\overline{PQ} = 3\sqrt{2}\). Planskizze (optional): Im Querschnitt bilden die Mantellinien des Lichtkegels mit der Ebene \(E\) ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck. Die Höhe des Dreiecks entspricht dem Abstand...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Ebene \(E\) teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe e Veranschaulichung des pyramidenförmigen...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte \(A(1|2|1)\), \(B\), \(C(-3|-6|9)\) und \(D\) des Oktaeders liegen in der Ebene \(H\) mit der Gleichung \(2x_1 + x_2 + 2x_3 - 6 = 0\). Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt. (2 BE)...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte \(A(1|2|1)\), \(B\), \(C(-3|-6|9)\) und \(D\) des Oktaeders liegen in der Ebene \(H\) mit der Gleichung \(2x_1 + x_2 + 2x_3 - 6 = 0\). Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt. (2 BE)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. \(A\): „Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP." \(B\): „Die Zufallsgröße \(X\) nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht." (7...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-004 Language: *

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich. a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\) b) \(g(x) =...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von \(a\) richtig ist: Wird der Graph von \(f_a\) mit dem gleichen Faktor \(k > 0\) sowohl in \(x\)-Richtung als auch in \(y\)-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen \(G_{h}\) einer in \(\mathbb R \backslash \{2\}\) definierten gebrochenrationalen Funktion \(h\). Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; zudem besitzt \(G_{h}\) die...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 100 befragten Jugendlichen genau 85 einen Computer besitzen, wenn der Anteil derjenigen Jugendlichen, die einen Computer besitzen, unter den Jugendlichen der Kleinstadt ebenso groß ist wie...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *

Die Funktion \(g\) ist an der Stelle \(x = 5\) nicht differenzierbar. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b {slider Differenzierbarkeit} Differenzierbarkeit Existiert für eine Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) der Differentialquotient \(\displaystyle...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f\) an, sodass die in \(\mathbb R\) definierte Integralfunktion \(\displaystyle F \colon x \mapsto \int_{-1}^x f(t)\,dt\) genau zwei Nullstellen besitzt. Geben Sie die Nullstellen von...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *

Die Anzahl der KInder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird. Die Funktion \(g_{1{,}4} \colon x \mapsto 2x \cdot...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *

Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[g_{1{,}4} = 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} + 1{,}4\,; \quad x \geq 0\] Graph der Funktion...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b In der nachfolgenden Beschreibung entspricht die Länge von zwei Kästchen des Koordinatengitters einer...

Teilaufgabe 5b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von \(f\) im gesamten dargestellten Bereich. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b In der nachfolgenden Beschreibung entspricht die Länge von zwei Kästchen des Koordinatengitters einer...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Eine Kugel besitzt den Mittelpunkt \(M\,(-3|2|7)\). Der Punkt \(P\,(3|4|4)\) liegt auf der Kugel. Der Punkt \(Q\) liegt ebenfalls auf der Kugel, die Strecke \([PQ]\) verläuft durch deren Mittelpunkt. Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q\). (3 BE)...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für \(-2 \leq x \leq 0\) nicht mehr durch \(G_h\), sondern durch den Graphen...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die Gerade \(g\) schneidet \(G_{f}\) in den Punkten \(W\) und \((2|0)\). Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse \(G_{f}\) sowie die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein. Geben Sie die Gleichung der Geraden \(g\) an. (4 BE)...

1.2.1 Nullstellen und Polstellen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.2 Gebrochenrationale Funktion Language: *

Nullstellen Polstellen, Definitionslücken Bestimmung der Null- und Polstellen einer gebrochenrationalen Funktion Beispielaufgabe Mind Map - Gebrochenrationale Funktionen Neu Definition, Darstellungsformen, Nullstelle(n), Definitionslücken, Polstellen,...

3.2.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 3.2 Urnenmodelle Language: *

Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge Beispielaufgaben Viele Zufallsexperimente lassen sich durch das Ziehen aus einer Urne mit nur schwarzen und weißen Kugel simulieren....

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{k}\) einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(k\). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion \(k'\). Berücksichtigen Sie dabei insbesondere einen Näherungswert für die Steigung...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Der Graph der Funktion \(h\) ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Monoptoniekriterium, Krümmungsverhalten, Entwicklung von Funktionen 1. Lösungsansatz: Monotoniekriterium, Krümmungsverhalten Für die gesuchte...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu \(M\) minimal ist. Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinaten der Punkte \(P_{x}\), für die \(d(x)\) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{25 - x^{2}}\) mit dem Definitionsbereich \(D_{f} = [-5;5]\). Begründen Sie, dass in...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Im Folgenden ist \(n = 200\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Personen unter den ausgewählten Personen, die an einer Allergie leiden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)...

1.3.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.3 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion Language: *

Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen Beispielaufgabe Exponentialgleichungen Eine Gleichung, in der die unbekannte Größe nur im Exponenten von Potenzausdrücken vorkommt, wird als Exponentialgleichung bezeichnet. Für Exponentialgleichungen lässt...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *

Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \(f'\) einer auf \(\mathbb R\) differenzierbaren Funktion \(f\). a) Geben Sie das Monotonieverhalten und die Extremstelle(n) von \(f\) an. b) Ermitteln Sie den Funktionsterm der Funktion \(f\),...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1; \; D_{f} = \mathbb R\] Die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Eine Funktion \(f\) ist durch \(f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1\) mit \(x \in \mathbb R\) gegeben. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion \(f\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[f(x) = 2 \cdot e^{\frac{1}{2}x} - 1; \; D_{f} = \mathbb R\] Die...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für \(0 \leq t \leq 12\) modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g \colon t...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *

Gegeben ist die Funktion \(f\colon x \mapsto 2(e^{x} - 1)^{2}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion \(f\) an. b) Ermitteln Sie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\). b) Untersuchen Sie die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *

Gegeben sind die Punkte \(A(-3|-1|4)\), \(B(0|6|5)\) und \(C(3|2|1)\). a) Prüfen Sie, ob die drei Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) auf einer Gerade liegen. b) Eine Gleichung der Gerade \(AB\) in Parameterform ist gegeben mit \(AB \colon \overrightarrow{X}...

Teilaufgabe 1g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Für \(0 \leq x \leq 5\) gilt, dass der Graph von \(f\) und der Graph einer trigonometrischen Funktion \(h\) ● die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse besitzen, ● beide nicht unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen, ● jeweils mit der \(x\)-Achse eine...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 2 Language: *

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größe der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden. Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten und umkehrbaren Funktion \(j\) an, die folgende Bedingungen erfüllt: Der Graph von \(j\) und der Graph der Umkehrfunktion von \(j\) haben keinen gemeinsamen Punkt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Es gibt Tangenten an den Graphen von \(f\), die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Es gibt Werte von \(m\), für die die Graphen \(G_{f}\) und \(G_{m}\) jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Geben Sie diese Werte von \(m\) an. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[f(x) = x^{2} + 4; \; D_{f} = \mathbb R\] \[g_{m}(x) = m \cdot x; \;...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Ermitteln Sie die Koordinaten des Eckpunkts \(S\) der Raute \(PQRS\). Zeigen Sie, dass \(PQRS\) kein Quadrat ist. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Koordinaten des Eckpunkts \(S\) Der Punkt \(S\) liegt ebenfalls auf der Mittelsenkrechten \(m\) der...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Die Zufallsgröße \(Z\), die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von „Zahl" bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert 2 und es gilt analog \(P(Z = 2) = \frac{3}{8}\). Berechnen Sie die Varianz von \(Z\),...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto \ln{\left( \dfrac{1}{x^{2} + 1} \right)}\). Begründen Sie, dass die Wertemenge von \(h\) das Intervall \(]-\infty;0]\) ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[h(x) =...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/1-005 Language: *

a) Bestimmen Sie den Grenzwert \(\lim \limits_{x\,\to\,2} f(x)\) mit \(f(x) = \dfrac{4x^2-6x-4}{x-2}\). (Zwischenergebnis: \(x = 2\) ist Nullstelle von \(f\)) b) Die Grenzwertbetrachtung lässt auf eine besondere Eigenschaft der gebrochrationalen...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *

Die Abbildung zeigt den Graphen \(G_k\) einer Funktion \(k\). a) Begründen Sie, dass \(k\) an der Stelle \(x = 6\) nicht differenzierbar ist, indem Sie mithilfe der Abbildung zugehörige Grenzwerte angeben und daraus schlussfolgern. b) Skizzieren Sie in...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *

Die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c_t} = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix}\) spannen für jeden Wert...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Die Funktion \(f\) ist in \(D_f\) umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) von \(f\) an und zeigen Sie, dass \(f^{-1} (x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) gilt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1e \[f(x) = 2 - \sqrt{12 - 2x}\,;...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

\(G_{f}\) und die \(x\)-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade \(g\) in zwei Teilflächen zerlegt wird. Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{8x}{x^{2} + 4}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems. b) Bestimmen Sie den maximalen...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \frac{1}{2}x \cdot e^{1 - x}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet. a) Untersuchen Sie die Funktion \(f\) auf Nullstellen und bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *

Die Gerade \(g\) berührt die Kugel im Punkt \(B(-3|8|2)\). Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von \(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Es gibt unendliche viele Geraden, welche die Kugel im Punkt \(B\) berühren. Da eine Tangente an eine Kugel stets...

Teilaufgabe a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Stochastik 1 Language: *

Gegeben sind grüne und rote Würfel, deren Seitenflächen unterschiedlich beschriftet sind und beim Werfen mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Jeder grüne Würfel trägt auf fünf Seitenflächen die Augenzahl 1 und auf einer die Augenzahl 6....

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{f}\) sowie den Graphen \(G_{g}\) der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -cos(\frac{\pi}{2}x)\). Beschreiben Sie, wie \(G_{g}\) aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(x...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion \(g^{-1}\) von \(g\) ist in \([1;+\infty[\) definiert. Bestimmen Sie einen Term von \(g^{-1}\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b \[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g = \mathbb R_0^+\] {slider Umkehrfunktion}...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *

In der Vorderseite der Dachgaube befindet sich ein Fenster. Dem Fenster entspricht im Modell das Flächenstück, das der Graph der Funktion \(g\) mit \(g(x) = ax^4 + b\) und geeigneten Werten \(a,b \in \mathbb R\) mit der \(x\)-Achse einschließt (vgl....

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *

Begründen Sie, dass \(h\) umkehrbar ist, und beschreiben Sie, wie der Graph der Umkehrfunktion \(h^{-1}\) von \(h\) aus dem Graphen von \(h\) hervorgeht. Geben Sie den Definitions- und den Wertebereich von \(h^{-1}\) an. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b...

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