Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = 0{,}5x^2\) im Punkt \(P(2|f(2))\) und die Normale bilden mit der \(x\)-Achse das Dreieck \(PQR\). a) Veranschaulichen Sie den Sachverhalt in einer Skizze. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: G9 Klausur Q11/2-005 Language: *
Sie in der Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion \(k'\). Achten Sie auf ausreichende Genauigkeit. Aufgabe 4 Die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x) = 0{,}5x^2\) im Punkt \(P(2|f(2))\) und die Normale bilden mit der \(x\)-Achse...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\dfrac{e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}}\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Funktionswert \(g'(0)\) \(g'(0)\) beschreibt die Steigung der Wendetangente im Wendepunkt \(W(0|g(0))\) (vgl. Angabe). {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
= 1\) von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = 1\) eine waagrechte Tangente hat. {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
= -1\) von \(G_{f}\), dass der Graph der Stammfunktion \(\textcolor{#e9b509}{F}\) an der Stelle \(x = -1\) eine waagrechte Tangente hat. {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
am größten ist. Ausführliche Erklärung (nicht verlangt) An den Wendestellen einer Funktion ist die Steigung der Tangente (Wendetangente) an den Graphen der Funktion extremal (am größten oder am kleinsten). Da der Graph der Funktion \(p\) im Intervall...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Teilintervallen \(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) jeweils streng monoton fallend (vgl. Teilaufgabe 1b). Die Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(\textcolor{#cc071e}{(0|f(0))}\) (\(f(0) = 0\)) hat die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m =...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(]-\infty;-2[\), \(]-2;2[\) und \(]2;+\infty[\) der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \((0|f(0))\). (zur Kontrolle: \(f'(x) = -\dfrac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{(x^{2} - 4)^{2}}\)) (5 BE) Lösung zu...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
ganzrationale Funktion \(p\) und der Punkt \(Q(2|p(2))\). Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(p\) im Punkt \(Q\) ermitteln kann. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3a Mögliche Beschreibung Der Ansatz kann mit...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
R\) definierte Funktion \(h \colon x \mapsto ax^{2} + c\) mit \(a, c \in \mathbb R\), deren Graph im Punkt \(N(1|0)\) die Tangente mit der Gleichung \(y = -x + 1\) besitzt. Bestimmen Sie \(a\) und \(c\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[h(x) = ax^{2} +...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(Q_{a}\) wird mit \(t_{a}\) bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von \(a \in \mathbb R\), für den \(t_{a}\) durch \(P\) verläuft. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4b \[f(x) =...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
= 0\) und \(f''(x_2) \neq 0\). Mit \(f'(x_2) = 0\) hat der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_2\) eine waagrechte Tangente. Da zugleich \(f''(x_2) \neq 0\) gilt, kann an der Stelle \(x_2\) kein Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
gilt \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} g(x) = \textcolor{#e9b509}{\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} G'(x) = 0}\). {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
gilt \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} g(x) = \textcolor{#e9b509}{\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} G'(x) = 0}\). {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
(2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c Mögliche Begründungen: Graph II kommt nicht infrage, da seine Steigung (Steigung der Wendetangente) an der Stelle \(x = 0\) kleiner als \(F'(0) = f(0) = 2\) ist (vgl. Teilaufgabe 1a). Graph III kommt nicht infrage, da...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Der Punkt \(W\Big(-2\Big|2e^{-\frac{1}{2}}\Big)\) ist einer der beiden Wendepunkte von \(G_f\). Die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) wird mit \(w\) bezeichnet. Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w\) und berechnen Sie die Stelle, an der \(w\) die...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(G_f\) der in \(\mathbb R\) definierten ganzrationalen Funktion \(f\) besitzt nur an der Stelle \(x = 3\) eine waagrechte Tangente (vgl. Abbildung 2). Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(g\) mit \(g(x) = f\left(f(x)\right)\)....

Teilaufgabe f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
mit der Gleichung \(x = 5\) ist Symmetrieachse von \(G_f\) (vgl. Teilaufgabe d). \(G_f\) hat im Ursprung eine senkrechte Tangente (\(y\)-Achse) (vgl. Teilaufgabe e). Graph der Funktion \(f\colon x\mapsto 2 \cdot \sqrt{10x - x^2}\) mit Hochpunkt...

Teilaufgabe k

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(f'_\textcolor{#cc071e}{a}(0)\) beschreibt unabhängig von der Belegung des Parameters \(a\) die Steigung aller Graphen (Tangentensteigung) der Funktionenschar \(f_\textcolor{#cc071e}{a}\) im Koordinatenursprung. {slider Tangentensteigung} Anwendung der...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
eine Stammfunktion von \(f(x)\), wenn \(F'(x) = f(x)\) mit \(D_{F} = D_{f}\) gilt. {/sliders} \[F'(x) = f(x)\] {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
des Ergebnisses: Die Ableitungsfunktion \(f'\) beschreibt die Steigung des Graphen der Funktion \(f\) (Steigung der Tangente) an einer betrachteten Stelle \(x_0\). {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeigen Sie, dass der Graph von \(g\) in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[g(x) = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}; \; D_{g} = \mathbb R \backslash \{-3;3\}\] Der Graph von \(g\) besitzt in genau einem Punkt eine...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\cdot f'(x)\). Ermitteln Sie damit und mithilfe von Abbildung 2 alle Stellen, an denen der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente besitzt. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[g'(x) = f'\left( f(x) \right) \cdot f'(x)\] Die Bedingung dafür, dass der...

Teilaufgabe b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Der Graph \(G_f\) besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{10 - 2x}{\sqrt{10x - x^2}}\);...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage: Es gibt genau einen Wert von \(k\), für den der Graph von \(h'_k\) Tangente an den Graphen von \(h_k\) ist. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2c \[h_k(x) = (x - 3)^k + 1; \;D_{h_k} = \mathbb R, \; k \in...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Funktion \(f\). {/sliders} Die Steigung \(\textcolor{#cc071e}{m_T}\) der zur Sekante \(\textcolor{#0087c1}{S}\) parallelen Tangente \(\textcolor{#cc071e}{T}\) an den Graphen von \(g\) beschreibt die lokale Änderungsrate von \(g\) an der Stelle...

Teilaufgabe g

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die Tangente an \(G_f\) im Punkt \((2|f(2))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe g Planskizze (optional): Der Winkel, unter dem die Tangente an \(G_f\)...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von \(f_a\) im Punkt \((0|f_a (0))\). Bestimmen Sie diejenigen Werte von \(a\), für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die \(x\)-Achse in einem Punkt schneidet, dessen \(x\)-Koordinate...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
ist die in \(\mathbb R_0^+\) definierte Funktion \(g \colon x \mapsto \sqrt{x} + 1\). Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((1|g(1))\). (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g = \mathbb...

Teilaufgabe 2e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
in der Abbildung 2. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2e Bisherige Ergebnisse: \(A(0) = 1\) (vgl. Teilaufgabe 2a) Steigung der Tangente im Punkt \((0|1)\): \(\textcolor{#cc071e}{A'(0) = 0{,}175}\) (vgl. Teilaufgabe 2c) \(\textcolor{#e9b509}{\lim...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Tangente \(t\) an \(G_{f}\) im Punkt \((3|f(3))\). Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem \(t\) die \(x\)-Achse schneidet, und zeichnen Sie \(t\) in die Abbildung 1 ein. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Büschelpunkt \((0|0)\)). Für \(\textcolor{#cc071e}{m = 4}\) ist der zugehörige Graph \(\textcolor{#cc071e}{G_{4}}\) eine Tangente an \(G_{f}\) (vgl. Teilaufgabe 3a). Der zur \(y\)-Achse symmetrische Graph \(\textcolor{#cc071e}{G_{-4}}\) von \(G_{4}\)...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
und \(g_{4}\) berechnen. In einen Berührpunkt haben die beiden sich berührenden Graphen dieselbe Steigung (Steigung der Tangente). {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Es gibt Tangenten an den Graphen von \(f\), die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
ganzrationalen Funktion \(f\). Nur in den Punkten \((-4|f'(-4))\) und \((5|f'(5))\) hat der Graph \(G_{f'}\) waagrechte Tangenten. Begründen Sie, dass \(f\) genau eine Wendestelle besitzt. (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a An einer Wendestelle ist die...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von \(k\) zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert. Bestimmen Sie die fehlenden Zahlenwerte an den...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
auf der \(y\)-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt \(W_{k}\) im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d. h. die Tangente an \(G_{k}\) im Punkt \(W_{k}\), die Steigung \(9\) hat. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3c \[g_{k}(x) =...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
2). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2d Die Größe des Winkels \(\alpha\) entspricht der Größe des Steigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) (Profillinie der Abfahrt) im Punkt \((2|f(2))\) (Wechselwinkel, Z-Winkel). Für den...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\((x_{0}|f(x_{0}))\) und einen weiteren Punkt des Graphen der Funktion \(f\). {/sliders} 2) Die zur Sekante parallele Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) (Profillinie der Abfahrt) einzeichnen. {slider Differentialquotient oder lokale (momentane)...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ableitungsfunktion. Im Wendepunkt des Graphen einer Funktion ist die Steigung des Graphen extremal (Steigung der Wendetangente). Der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion besitzt an der Wendestelle einen Extrempunkt, dessen \(y\)-Koordinate gleich...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \((8|g(8))\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[g(x) = \sqrt{x + 1} -2; \; D = [-1;+\infty[\] Zunächst wird die \(y\)-Koordinate des Punktes \((8|g(8))\) berechnet: \[g(8) =...

Teilaufgabe 3a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Ableitungsfunktion. Im Wendepunkt des Graphen einer Funktion ist die Steigung des Graphen extremal (Steigung der Wendetangente). Der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion besitzt an der Wendestelle einen Extrempunkt, dessen \(y\)-Koordinate gleich...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
&&| : 2 \\[0.8em] x &= 0{,}5 \end{align*}\] Somit besitzt der Graph von \(f\) an der Stelle \(x = 0{,}5\) eine waagrechte Tangente und der Punkt \((0{,}5|f(0{,}5))\) ist Extrempunkt des Graphen von \(f\). \(y\)-Koordinate des Extrempunkts berechnen:...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Zeigen Sie, dass \(G_{f}\) im Punkt \(W(5|0)\) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b !!! Derzeit in Bearbeitung !!! Nachweis, dass \(G_{f}\) im Punkt...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
entspricht dem Schnittwinkel \(\beta\) von \(G_{f}\) und \(G_{g}\) an der Stelle \(x = 4\), also dem Schnittwinkel der Tangenten an \(G_{f}\) bzw. \(G_{g}\) an der Stelle \(x = 4\). Er lässt sich mithilfe des Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente an...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\approx -0{,}9\) (vgl. oben) Erläuterung (nicht verlangt): Im Tiefpunkt \(T(1|-2)\) besitzt \(G_{f}\) eine waagrechte Tangente mit der Steigung Null. Also hat \(G_{f'}\) die Nullstelle \(x = 1\). Im Wendepunkt \(W(e|0)\) ist die Steigung von \(G_{f}\)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Sie, dass \(G_{f}\) genau einen Wendepunkt \(W\) besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(W\). (zur Kontrolle: \(x\)-Koordinate von \(W\): \(e\)) (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Nachweis des...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 1 Language: *
\(g\). (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Es gibt unendliche viele Geraden, welche die Kugel im Punkt \(B\) berühren. Da eine Tangente an eine Kugel stets senkrecht zum Kugelradius verläuft, gilt für alle diese Geraden, dass der Richtungsvektor...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\). (2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente. (3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x -...

Teilaufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
x \mapsto \sqrt{3x - 5}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((3|f(3))\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1 \[f(x) = \sqrt{3x - 5}\] Maximaler...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4 Erläuterung (nicht verlangt): Die erste Ableitung \(f'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\). Die Steigung der Tangente an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 1\) ist also gleich dem...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
an der Stelle \(x = 0\) die Steigung \(-15\). (2) Der Graph von \(f\) besitzt im Punkt \(A(5|f(5))\) die \(x\)-Achse als Tangente. (3) Die Tangente \(t\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(B(-1|f(-1))\) kann durch die Gleichung \(y = -36x -...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Geben Sie den Term einer in \(\mathbb R\) definierten Funktion an, deren Graph im Punkt \((2|1)\) eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2 In einem Extrem- oder Terrassenpunkt des Graphen einer Funktion hat...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-003 Language: *
wurde in Teilaufgabe b gezeigt, dass \(\lim \limits_{x\,\to\,4^{-}} f'(x) = -\infty\) gilt. Da \(f'\) die Steigung einer Tangente an den Graphen \(G_{f}\) an einer betrachteten Stelle beschreibt, bedeutet dieses Ergebnis, dass \(G_{f}\) an der Stelle...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/2-002 Language: *
Exponential- und Logarithmusfunktion). Unter der Steigung des Graphen einer Funktion versteht man die Steigung der Tangente an der betrachteten Stelle. Die Stelle \(x_{T}\) gleicher Steigung der Graphen \(G_{f}\) und \(G_{g}\) ist diejenige Stelle, an...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
Natürlichen Exponential- und Logarithmusfunktion). Die Normale \(N\) im Punkt \(P\) ist diejenige Gerade, welche auf der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P\) senkrecht steht (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung,...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-004 Language: *
0\) und \(I'_{0}(x) \geq 0\) folgt, dass der Graph der Integralfunktion \(I_{0}\) an der Stelle \(x = 0\) eine waagrechte Tangente hat und in der Umgebung von \(x = 0\) streng monoton steigt. Das bedeutet, dass \(G_{I_{0}}\) an der Stelle \(x = 0\)...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-003 Language: *
von \(x = 2\) das Monotonieverhalten ändert. Somit weist die Gleichung \(f'(2) = 0\) lediglich auf eine waagrechte Tangente des Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) hin und damit auf einen Extrem- oder Terrassenpunkt. {slider Extrempunkte}...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\). (zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\)) d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\)...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-002 Language: *
Krümmungsverhalten von \(G_{f}\) und geben Sie die Koordinaten des Wendepunkts an. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente \(w\). (zur Kontrolle: \(f''(x) = \frac{1}{2}e^{1 - x}(x - 2)\)) d) Skizzieren Sie \(G_{f}\) sowie die Wendetangente \(w\)...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q12/1-001 Language: *
f(x)\) folgt: \[\lim \limits_{x \,\to\,\pm\infty} F'(x) = -2\] Die erste Ableitung \(F'(x)\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Integralfunktion \(F\). Die Steigung einer Tangente an \(G_{F}\) ist also für \(x \to \pm \infty\) mit...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
2x - 4 \vert\) zeigt an der Stelle \(x = 2\) einen Knick. An der Knickstelle existiert keine eindeutige Steigung einer Tangente an \(G_{f}\). Da die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion die geometrische Bedeutung der Ableitung einer...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
= \mathbb R\] In den Extrem- oder Terrassenpunkten besitzt ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Steigung der Tangente ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'_{a}\) der Funktionenschar \(f_{a}\) beschreibt...

Lösung - Aufgabe 1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-004 Language: *
die \(x\)-Achse schneidet Der Winkel unter dem \(G_{f}\) die \(x\)-Achse schneidet ist gleich dem spitzen Winkel, den die Tangente \(T\) an \(G_{f}\) im Koordinatenursprung \(O(0|0)\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Im Falle einer positiven...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-003 Language: *
und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\) An den Extremstellen besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\): An den Extremstellen besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-002 Language: *
(vgl. Teilaufgabe c). Der Schnittwinkel von \(G_{g}\) mit der negativen \(x\)-Achse ist gleich dem spitzen Winkel, den die Tangente an \(G_{g}\) im Punkt \(N_{2}\) mit der \(x\)-Achse einschließt. Im Falle einer positiven Tangentensteigung entspricht...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\). \[f(x) = 2x^{2} \cdot \sin{x}\]...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/2-001 Language: *
x \neq 0\) Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\). Aufgabe 3 Gegeben ist die...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Hochpunkt und für einen positiven \(x\)-Wert einen Tiefpunkt. An diesen Extremstellen besitzt der Graph eine waagrechte Tangente. In der Umgebung des Hochpunkts zeigt der Graph einen Wechsel des Monotonieverhaltens von streng monoton steigend nach...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\). a) Maximale Definitionsmenge, Nullstelle(n) und Polstelle(n) von \(f\) sowie...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-003 Language: *
Sie die Nullstelle(n) der Ableitungsfunktion und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. e) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x = 2\). Aufgabe 3 a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
1a) Lage des Extrempunkts von \(G_{f}\) An der Extremstelle besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung einer...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
(3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Graphische Bestimmung der momentanen Änderungsrate einer Funktion Die Steigung der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(V\) zum Zeitpunkt \(t = 2\) entspricht der momentanen Änderungsrate des Wasservolumens zwei...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
= -\infty\] Geometrische Interpretation des Grenzwerts: Die Ableitung \(h'\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(h\). Für \(x \to 0\) nähert sich die Steigung der Tangente dem Grenzwert \(-\infty\), was einer nahezu...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_{h}\) von \(h\) im Bereich \(0{,}75 \leq x \leq 4\). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{h}\) im Punkt \((e|0)\) und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet....

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der Pollen in einem Kubikmeter Luft zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t\) entspricht der Steigung \(m_{T}\) einer gedachten Tangente \(T\) im Punkt \((t|n(t))\) des Graphen \(G_{n}\) der Funktion \(n(t)\) (Einheit: \(\frac{1}{\sf{h}}\)). {slider...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Gleichung einer Tangente an den Graphen einer...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
der Pollen in einem Kubikmeter Luft zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t\) entspricht der Steigung \(m_{T}\) einer gedachten Tangente \(T\) im Punkt \((t|n(t))\) des Graphen \(G_{n}\) der Funktion \(n(t)\) (Einheit: \(\frac{1}{\sf{h}}\)). {slider...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \(S(0|1)\) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. (3 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Gleichung einer Tangente an den Graphen einer...

Lösung - Aufgabe 6

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
\(x = 7\) einen Terrassenpunkt. a) \(f'(x)\) hat genau zwei Nullstellen. Die Aussage ist falsch. Begründung: {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im...

Lösung - Aufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
und an der Stelle \(x = 2\) einen Tiefpunkt. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\). Betrachtet man die Steigung einer Tangente an \(G_{f}\) in der Umgebung der...

Lösung - Aufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
durch den Nachweis der Art der Extrempunkte. An den Extremstellen besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung...

Lösung - Aufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf. e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-002 Language: *
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs. d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf. e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die...

Lösung - Aufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\). d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse. e)...

Aufgaben

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausur Q11/1-001 Language: *
Sie das Verhalten von \(G_{f}\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\). c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) im Punkt \(P(1|f(1))\). d) Berechnen Sie den Schnittpunkt \(S_{y}\) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(y\)-Achse. e)...

Mathematik Klausuren Q12/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q12/1 Language: *
an den Rändern des Definitionsbereichs, Lage und Art der Extrempunkte, Wendepunkt, Krümmungsverhalten, Gleichung der Wendetangente, Nachweis einer Stammfunktion, Flächeninhaltsberechnung durch Integration, uneigentliches Integral berechnen und Ergebnis...

Mathematik Klausuren Q11/2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11/2 Language: *
eines Funktionsgraphen durch geeignete Grenzwerte begründen, dass eine Funktion an einer Stelle nicht differenzierbar ist. Tangente und Normale: Anwendungsaufgabe, Gleichung einer Tangente und Normale bestimmen, Flächeninhalt und Innenwinkel eines...

Mathematik Klausuren Q11/1

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Klausuren Q11/1 Language: *
ganzrationalen Funktion: Symmetrieverhalten, Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, Verhalten im Unendlichen, Gleichung einer Tangente, Lage und Art der Extrempunkte, Funktionsgraph zeichnen Klausur Q11/1-002 Ableitungsregeln anwenden: Summen- und...

1.7.1 Funktionenscharen - Einführende Beispiele

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
= 0{,}5kx^{4} - 4kx^{2}; \; D_{f_{k}} = \mathbb R, \; k > 0\] Extremstellen bzw. Extrempunkte sowie orthogonale Wendetangenten der Kurvenschar \(G_{f_{k}}\) der in in \(\mathbb R\) definierten Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto 0{,}5kx^{4} -...

1.7.2 Nullstellen einer Funktionenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
besitzt an der Stelle \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle, wenn die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 2\) waagrechte Tangente an den Graphen ist (vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Vielfachheit von Nullstellen). Es muss demnach gelten:...

1.7.5 Extrem- / Wendepunkte einer Kurvenschar

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *

1.7.4 Graph einer Scharfunktion mit vorgegebener Steigung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.7 Funktionenscharen Language: *
Steigung wie die Gerade \(g\)? Die Steigungen der Kurvenschar an der Stelle \(x_{0}\) entsprechen den Steigungen der Tangenten an die Kurvenschar an der Stelle \(x_{0}\). Die erste Ableitung \(f'_{k}(x_{0})\) beschreibt die Tangentensteigungen der...

1.5.9 Tangenten zweier Funktionsgraphen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *

Lernhilfen - Analysis

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis Language: *
Mind Map - Differentialrechnung Mind Map - Gebrochenrationale Funktionen Skizzieren der Graphen wichtiger Grundfunktionen Tangentenaufgaben - 3 mögliche Aufgabenstellungen Mind Map - Differentialrechnung Neu Differenzenquotient, Differentialquotient,...

Teilaufgabe e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Geometrie 2 Language: *
Machen Sie plausibel, dass folgende allgemeine Schlussfolgerung falsch ist: „Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene \(E\), so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch...

Teilaufgabe 3e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
eine Ursprungsgerade. Die Steigung \(m_{n}\) der Normalen \(n\) lässt sich entweder mithilfe der Steigung \(m_{t}\) der Tangente \(t\) aus Teilaufgabe 3b bestimmen oder anhand der Punkte \(R\) und \(M\). \(M(0|0) \in n\), \(R(4|3) \in n\), \(m_{t} =...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c Extremwertaufgabe, Tangentensteigung, Normalensteigung \[d(x) = \sqrt{0{,}04x^{4} - x^{2} + 25}\] 1. Lösungsansatz: Extremwertaufgabe Mithilfe der...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
zu Teilaufgabe 1a Nullstelle, Scheitelpunkt, Extremstelle des Graphen einer quadratischen Funktion, Steigungswinkel einer Tangente \[p(x) = -0{,}2x^{2} + 5; \; D_{p} = [-5;5]\] Nachweis, dass Bedingung I erfüllt ist Bedingung I: Breite des Tunnelbodens:...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
über dem Tunnel durch eine Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = -\frac{4}{3}x + 12\) modelliert. Zeigen Sie, dass die Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(R(4|f(4))\) parallel zu \(g\) verläuft. Zeichnen Sie \(g\) und \(t\) in das...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\(x = 0\) einen Extrempunkt. Der Graph der Funktion \(f\) hat an der Stelle \(x = 0\) einen Hochpunkt mit waagrechter Tangente (Steigung der Tangente ist gleich Null). In der Umgebung des Hochpunkts wechselt die Steigung einer Tangente an den Graphen...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
= q(0)\) gelten. Zudem ist der Scheitelpunkt der Extrempunkt der Parabel von \(q\). Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente an die Parabel von \(q\) an der Stelle \(x = 0\) den Wert Null annimmt. Folglich muss \(0 = q'(0)\) gelten. Die Parabel soll...

Teilaufgabe 1f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
(vgl. Teilaufgabe 1c). \(G_{f}\) verläuft für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) (vgl. Teilaufgabe 1b). Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|3{,}1)\): \(m_{g} = 1{,}2\) (vgl. Teilaufgabe 1e). \(G_{f}\) verläuft durch den Punkt...

Teilaufgabe 1e

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Berechnen Sie die Steigung der Tangente \(g\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P(2|f(2))\) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt \(P\) und die Gerade \(g\) in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: \(-4 \leq x \leq 4\),...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2b Steigungswinkel einer Tangente, Anwenden einer Funktion im Sachzusammenhang Größe des Winkel, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt \[f(x)...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
sowie die Nullstelle von \(k'\). Abb. 2 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4 Die Ableitung \(k'\) beschreibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(k\). Der Wert der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(k\) liefert also an...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ermitteln Sie die \(x\)-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von \(f\) eine waagrechte Tangente hat. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Extremstelle einer Funktion bestimmen \[f(x) = \frac{\ln{x}}{x^{2}}; \; D = \mathbb R^{+}\] Die \(x\)-Koordinate des...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
des Graphen der Funktion. Denn an den Wendestellen ist die Steigung des Graphen einer Funktion (Steigung der Wendetangente), abhängig vom Wechsel der Graphenkrümmung, entweder maximal oder minimal. Die Parabel von \(f'\) hat genau einen Extrempunkt, den...

Teilaufgabe 3

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Stelle \(x = 3\) nicht differenzierbar. \(f(0)\) = 2 und für die Ableitung \(f'\) von \(f\) gilt: \(f'(0) = -1\). {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\)...

Teilaufgabe 4a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
G_{f'}\) ist eine Parabel. Der Graph der Funktion \(f\) hat an den Extremstellen \(x = 1\) und \(x = 4\) eine waagrechte Tangente (Tangentensteigung ist gleich Null). Da die erste Ableitung einer Funktion die Steigung der Tangente an den Graphen der...

1.1.4 Wurzelfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.1 Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Language: *
Stelle \(x = 0\) senkrecht zur \(x\)-Achse. Dieses Verhalten ist umso ausgeprägter, je größer \(n\) ist. Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Wurzelfunktion geht an der Stelle \(x = 0\) gegen \(+\infty\). Beispiel Quadratwurzel: \(\lim...

1.6.6 Integralfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
und \(W_{2}(1|0)\). MIt \(I'_{1}(-1) = f(-1) = -1\) und \(I'_{1}(1) = f(1) = 1\) kann die Steigung der Wendetangenten \(w_{1}\) und \(w_{2}\) jeweils angegeben werden. \[m_{w_{1}} = I'_{1}(-1) = -1\] \[m_{w_{2}} = I'_{1}(1) = 1\] Krümmungsverhalten des...

1.6.4 Flächenberechnung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
Beispielaufgabe Der Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto e^{x}\), die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(y = e\) und die Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\) schließen ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt \(A\)...

1.6.1 Stammfunktion

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.6 Integralrechnung Language: *
sich besser abschätzen, wenn man zugleich die Lage der Wendepunkte von \(G_{F}\) und die Steigung der zugehörigen Wendetangenten betrachtet. Betrachtung der Extremstellen von \(G_{f}\): An den Extremstellen von \(G_{f}\) gilt \(f'(x) = F''(x) = 0\)....

1.5.8 Funktionsbestimmungen

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
Punkt \(P(x_{P}|y_{P}) \in G_{f}\) \(y_{P} = f(x_{P})\) Steigung \(m_{T}\) bzw. Steigungswinkel \(\alpha\) einer Tangente \(T\) an \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung und Abiturskript - 1.1.1...

1.5.5 Newton-Verfahren

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
n \in \mathbb N\] Newton-Verfahren: Ist \(x_{0}\) ein Startwert in der Umgebung der Nullstelle \(x_{N}\), so nähert die Tangente in \(P_{0}\) den Graphen \(G_{f}\) in der Umgebung der Nullstelle an. Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle...

1.5.1 Die Ableitung

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate Differentialquotient oder lokale bzw. momentane Änderungsrate Tangentensteigung und Normalensteigung Drei klassische Tangentenaufgaben (Tangentenprobleme) Differenzierbarkeit Beispielaufgabe...

1.5.3 Monotonieverhalten, Extrem- und Terrassenpunkte

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
Eigenschaften hin untersuchen und der Verlauf von Funktionsgraphen beschreiben. Die erste Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der betrachteten Stelle an (vgl. Abiturskript - 1.5.1 Die Ableitung, Tangentensteigung)....

1.5.4 Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Type: Article Author: Christian Rieger Category: 1.5 Differentialrechnung Language: *
einer Funktion wird durch die zweite Ableitung beschrieben. Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an (vgl. 1.5.1 Die Ableitung). Die zweite Ableitung, d.h. die Ableitung von der ersten Ableitung,...

Teilaufgabe 3d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
der Funktion \(g\), deren Graph den zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke beschreibt und Wendepunkte mit Wendetangenten der Integralfunktion über \(g\), deren Graph den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt. Im...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
mindestens ein Faktor gleich Null ist. \[x = 0\] Gemäß Angabe Aufgabe 1 ist \(O\,(0|0)\) ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, also ein Terrassenpunkt. \[\begin{align*} 4x - 6 &= 0 & &| + 6 \\[0.8em] 4x &= 6 & &| : 4 \\[0.8em] x &= \frac{6}{4} =...

Teilaufgabe 1a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
\colon x \mapsto ax^4 + bx^3\) mit \(a,b \in \mathbb R\) besitzt im Punkt \(O\,(0|0)\) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente. \(W\,(1|-1)\) ist ein weiterer Wendepunkt von \(G_{f}\). Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Werte von \(a\)...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \[H'_{0}(x) = h(x)\] Damit folgt für die Steigung der Tangente \(m_{T}\) an \(G_{H_{0}}\) in einem beliebigen Punkt \((x|H_{0}(x))\): {slider Tangentensteigung} Anwendung der...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
-0{,}5 \quad \Longrightarrow \quad S\,(-2|-0{,}5)\] Da \(G_{p}\) an der (einzigen) Extremstelle \(x = -2\) eine waagrechte Tangente besitzt, gilt: \(p'(-2) = 0\). {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
die erste Ableitung von \(f_{a}\) an der Stelle \(x = 2\) den Wert 0 besitzt. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4 Waagrechte Tangente einer Funktionenschar \[f_{a}(x) = xe^{ax}\,; \enspace D = \mathbb R\,, \enspace a \in \mathbb R \, \backslash \, \{0\}\]...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_{g}\) im Schnittpunkt von \(G_{g}\) mit der \(x\)-Achse. (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion \(g(x) = \ln(2x + 3)\,; \enspace D = \; ]-\frac{3}{2};...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion, indem es die Nullstelle (Schnittstelle mit der \(x\)-Achse) der Tangente an die Funktion an der Stelle \(x_{0}\) (Startwert) ermittelt. Da die Tangente an eine Funktion an den Extremstellen...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
{/sliders} Folglich ist der Graph einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to -\infty\) streng monoton steigend. {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im...

Teilaufgabe 5b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
{/sliders} Folglich ist der Graph einer Stammfunktion von \(f\) für \(x \to -\infty\) streng monoton steigend. {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(x = -2\) beschreibt, hat einen endlichen Sprung. Begründung für Bedingung II \[\sf{II} \quad k'(0) = h'(0)\] {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im...

Teilaufgabe 2b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Interpretation der Eigenschaft von \(G_f\) aus Teilaufgabe 1b Aus Teilaufgabe 1b ist bekannt, dass die Steigung der Tangente an \(G_f\) im Punkt \((6|2)\) gegen Unendlich geht. Da man den Graphen von \(f^{-1}\) durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\, 0}} = \infty\] Schlussfolgerung der Eigenschaft von \(G_f\) aus \(\lim \limits_{x \, \to \, 6} f'(x) = \infty\) {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
dass die Steigung von \(G_f\) in jedem Punkt des Graphen negativ ist Es ist nachzuweisen, dass die Steigung einer Tangente \(T\) an \(G_f\) für alle \(x \in D_{f}\) negativ ist. {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung...

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b Gleichung der...

Teilaufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\(f(x) = \ln x\) gilt \(f(e) = \ln e = 1\). Graph I verläuft durch den Punkt \((e \approx 2{,}7|1)\). Steigung der Tangenten an Graph I an der Nullstelle \(x = 1\): {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 1 Language: *
\frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D\). Geben Sie \(D\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(b\) im Punkt \(\big(1|b(1)\big)\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2 Definitionsbereich \(D\) {slider...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis 2 Language: *
An den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s\,\colon x \mapsto x^2\) gibt es genau eine Tangente, deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse eine Größe von 135° hat. Geben Sie die Steigung dieser Tangente an und bestimmen Sie...

Teilaufgabe 4b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Weitere Eigenschaften des Graphen der Integralfunktion \(F\) Betrachtung der Extremstellen von \(G_f\): Waagrechte Tangente \(y = 1\) an den Extremstellen \(x_{E_1} = -1\) und \(x_{E_2} = 1\) von \(G_f\), Tangenten in der Umgebung der Extremstellen von...

Teilaufgabe 3c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
die Geburtenziffer am stärksten abnimmt Graph der Funktion \(g_{1{,}4}\) für \(x \geq 0\) mit Wendepunkt \(W\) und Wendetangente \(w\) Im Intervall \([0;+\infty]\) hat der Graph von \(g_{1{,}4}\) für \(x \approx 1{,}7\) eine Wendestelle an der die...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
&\approx 1{,}765 \end{align*}\] Lokale Änderungsrate \(m_T\) Die lokalen Änderungsrate \(m_T\) ist gleich der Steigung der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\). {slider Differentialquotient oder lokale (momentane)...

Teilaufgabe 1b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1b \[g(x) = \sqrt{3x + 9}\,; \quad D_g = [-3; +\infty[\] \[P\,(0|3)\] 1. Lösungsansatz: Tangentengleichung {slider Tangentengleichung}...

Teilaufgabe 4

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
das Verhalten von \(f'\) für \(x \mapsto 5\,\). Abb. 1 (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 4 Näherungswert für \(f'(0)\) {slider Tangentensteigung} Anwendung der Differetialrechnung: Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\)...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
\(\dfrac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}\) bei beliebig genauer Annäherung \(x \to x_{0}\) und damit die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_{0}\). Man nennt den Grenzwert \(m_{x_{0}}\) die Ableitung von \(f\) an der...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
x \mapsto x \cdot e^{-2x}\,\). Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem der Graph von \(g\) eine waagrechte Tangente hat. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a \[g(x) = x \cdot e^{-2x}\,, \quad D_g = \mathbb R\] Der Punkt, in dem der Graph von \(g\)...

Teilaufgabe 2c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
\(x_M\,\), zu dem die Sonnenblumen am schnellsten wachsen, entspricht der Wendestelle von \(G_f\). Die Steigung der Tangente an \(G_f\) im Wendepunkt \(W\) (maximale lokale Änderungsrate) beschreibt die maximale Wachstumsrate. 1. Graphische Lösung Im...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
zu Teilaufgabe 2a An der Wendestelle einer Funktion ändert der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten. Die Steigung der Tangente an eine Funktion im Wendepunkt ist - abhängig vom Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen - maximal oder minimal....

Teilaufgabe 2f

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Sonnenblumen der Sorte Alba (\(\,G_f\,\)). Die Abbildung veranschaulicht jeweils die maximale Wachstumsrate (Steigung der Tangente im Wendepunkt).

Teilaufgabe 3b

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(h\) im Punkt \((1|h(1))\,\). (4 BE) Lösung zu Teilaufgabe 3b \[h(x) = -\ln x + 3\,; \quad D_h = \mathbb R^+\] \[P\,(1|h(1))\] 1. Lösungsansatz: Tangentengleichung {slider Tangentengleichung}...

Teilaufgabe 2d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Achsenschnittpunkt \(S\). (Ergebnis: \(y = 0{,}18x + 0{,}2\)) (2 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d \[f(x) = \frac{2e^x}{e^x + 9}\,; \quad D = \mathbb R\] \[S\,(0|0{,}2)\] 1. Lösungsansatz:...

Teilaufgabe 2a

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
BE) Lösung zu Teilaufgabe 2a Ermitteln des Wertes der Ableitung \(g'\) von \(g\) an der Stelle \(x = -1\) Die Steigung der Tangente \(T\) an \(G_g\) im Punkt \(N(-1|0)\) ist gleich dem Funktionswert der Ableitung \(g'(-1)\). Man skizziert die Tangente...

Teilaufgabe 1d

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 2 Language: *
Weisen Sie nach, dass die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(Q_E\) senkrecht zueinander sind. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1d Überlegung: Wenn die Verbindungsstrecke \([PQ_E]\) und die Tangente an \(G_f\) im Punkt...

Teilaufgabe 1c

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 2 Language: *
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an \(G_f\) im Punkt \((0|6)\). Skizzieren Sie \(G_f\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignet anzulegendes Koordinatensystem. (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 1c \[f(x) = 6 \cdot e^{-0{,}5x} +...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
\frac{\ln x}{x - 2}\) mit maximalem Definitionsbereich \(D_f\). Geben Sie \(D_f\) an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x = 1\). (6 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2 Definitionsbereich \(D_f\) \[f(x) =...

Teilaufgabe 5

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis I - Teil 1 Language: *
Für die Funktion \(g(x) = \ln x\) gilt \(g(e) = \ln e = 1\). Graph i) verläuft durch den Punkt \((e \approx 2{,}7|1)\). Tangentensteigung der Nullstelle: \[g'(x) = \frac{1}{x} \quad \Longrightarrow \quad g'(1) = 1\] \(\Longrightarrow \quad g(x)\) gehört...

Teilaufgabe 2

Type: Article Author: Christian Rieger Category: Analysis II - Teil 1 Language: *
Es gibt genau eine Tangente an den Graphen der Funktion \(f : x \mapsto x^2, \enspace D_f = \mathbb R \;\), deren Neigungswinkel gegen die \(x\)-Achse \(135^\circ\) beträgt. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangente. (5 BE) Lösung zu Teilaufgabe 2...

Ergebnisse 1169 von 169