Die Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion \(f\) ergibt folgende Gleichungen:
\(f'(2) = 0; \; f''(2) = 0\)
a) Entscheiden Sie, welche der drei Aussagen richtig ist und begründen Sie Ihre Wahl.
(I) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrempunkt.
(II) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Terrassenpunkt.
(III) An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph der Funktion \(f\) einen Extrem- oder Terrassenpunkt.
b) Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm \(f(x)\), sodass der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt besitzt.
a) Entscheidung und Begründung, welche der Aussagen I, II oder III richtig ist
Aussage III ist richtig.
Begründung:
Die Gleichung \(f'(2) = 0\) formuliert die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt des Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\). Allerdings fehlt die Aussage darüber, dass \(f'\) an der Stelle \(x = 2\) das Vorzeichen wechselt, dass also der Graph der Funktion \(f\) in der Umgebung von \(x = 2\) das Monotonieverhalten ändert. Somit weist die Gleichung \(f'(2) = 0\) lediglich auf eine waagrechte Tangente des Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) hin und damit auf einen Extrem- oder Terrassenpunkt.
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Die Gleichung \(f''(2) = 0\) formuliert die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt des Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\). Allerdings fehlt die Aussage darüber, dass \(f''\) an der Stelle \(x = 2\) das Vorzeichen wechselt, dass also der Graph der Funktion \(f\) in der Umgebung von \(x = 2\) das Krümmungsverhalten ändert. Somit kann nicht entschieden werden, ob der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Wendetangente) hat.
Anwendung der Differetialrechnung:
Terrassenpunkt
Wenn \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) ist und \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen wechselt, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Terrassenpunkt.
b) Möglicher Funktionsterm \(f(x)\), sodass der Graph der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt besitzt
Der Graph der Funktion \(f\) har an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt, wenn die Gleichungen \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) = 0\) erfüllt sind und zudem \(f''\) in der Umgebung von \(x = 2\) das Vorzeichen wechselt. Die Funktion \(f''\) muss also die einfache Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel) \(x = 2\) haben.
Anwendung der Differetialrechnung:
Terrassenpunkt
Wenn \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) ist und \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen wechselt, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Terrassenpunkt.
Beispielsweise besitzt \(f''(x) = x - 2\) die einfache Nullstelle \(x = 2\).
Ausgehend von \(f''(x) = x - 2\) bestimmt man nun \(f'(x)\), wobei die Gleichung \(f'(2) = 0\) erfüllt sein muss.
Die Funktion \(f'\) ist ein Stammfunktion von \(f''\). Die Menge aller Funktionen \(f'\) ist somit durch das unbestimmte Integral \(\displaystyle \int f''(x) dx\) gegeben.
Unter Anwendung des wichtigen unbestimmten Integrals \(\displaystyle \int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\) ergibt sich:
Wichtiges unbestimmtes Integral:
\[\int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\]
\[C \in \mathbb R\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \int f''(x) dx &= \int (x - 2) dx \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x^{2} - 2x + C \end{align*}\]
Mit \(f'(2) = 0\) folgt:
\[\begin{align*} \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 + C &= 0 \\[0.8em] -2 + C &= 0 &&| + 2 \\[0.8em] C &= 2 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2}x^{2} - 2x + 2\]
Nach dem selben Prinzip lässt sich ein möglicher Funktionsterm \(f(x)\) bestimmen:
Wichtiges unbestimmtes Integral:
\[\int x^r \,dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C \quad (r \neq -1)\]
\[C \in \mathbb R\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} \int f'(x) dx &= \int \left(\frac{1}{2}x^{2} - 2x + 2\right) dx \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^{3} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{2} + 2x + C \\[0.8em] &= \frac{1}{6}x^{3} - x^{2} + 2x + C \end{align*}\]
Da keine weitere Bedingung für \(f(x)\) vorliegt, kann die Intergrationskonstante \(C\) frei gewählt werden.
Beispielsweise ist für \(C = 0\) die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{1}{6}x^{3} - x^{2} + 2x\) eine mögliche Funktion \(f\), die mit \(f'(2) = 0\), \(f''(2) = 0\) und der einfachen Nullstelle \(x = 2\) (mit Vorzeichenwechsel) von \(f''\) an der Stelle \(x = 2\) einen Terrassenpunkt hat.
