Lösung - Aufgabe 2

a) Erste Ableitung von \(f(x)\)

\[f(x) = \frac{1}{x - 3}\]

Die Funktion \(f\) lässt sich in Kenntnis der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion und der Summenregel  ableiten.

\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]

\[u(x) = 1; \; u'(x) = 0\]

\[v(x) = x - 3; \, v'(x) = 1 - 0 = 1\]

\[f'(x) = \frac{0 \cdot (x - 3) - 1 \cdot 1}{(x - 3)^{2}} = -\frac{1}{(x - 3)^{2}}\]

b) Erste Ableitung von \(g(x)\)

\[g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\]

Die Funktion \(g\) lässt sich in Kenntnis der Produktregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Summenregel und der Faktorregel ableiten.

Als Alternative ohne Anwendung der Produktregel wird der Funktionsterm \(g(x)\) zunächst ausmultipliziert und anschließend mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion, der Summenregel und der Faktorregel abgeleitet.

1. Möglichkeit: Produktregel anwenden

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

\[u(x) = -(x^{2} - 6x + 3); \; u'(x) = -(2x - 6 + 0) = -2x + 6\]

\[v(x) = x - 2; \; v'(x) = 1 - 0 = 1\]

\[\begin{align*} g(x) &= (-2x + 6) \cdot (x - 2) + \left[-(x^{2} - 6x + 3) \right] \cdot 1 \\[0.8em] &= -2x^{2} + 4x + 6x - 12 - x^{2} + 6x - 3 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 16x - 15 \end{align*}\]

2. Möglichkeit: ohne Produktregel

\[\begin{align*}g(x) &= -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2) \\[0.8em] &= -\left( x^{3} - 2x^{2} - 6x^{2} + 12x + 3x - 6 \right) \\[0.8em] &= -x^{3} + 8x^{2} - 15x + 6 \end{align*}\]

\[\begin{align*} g'(x) &= (-1) \cdot 3 \cdot x^{2} + 8 \cdot 2 \cdot x - 15 + 0 \\[0.8em] &= -3x^{2} +16x -15 \end{align*}\]