Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:
a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)
b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)
Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen und vereinfachen Sie den Funktionsterm der Ableitung soweit wie möglich:
a) \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\)
b) \(g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\)
\[f(x) = \frac{1}{x - 3}\]
Die Funktion \(f\) lässt sich in Kenntnis der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion und der Summenregel ableiten.
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = 1; \; u'(x) = 0\]
\[v(x) = x - 3; \, v'(x) = 1 - 0 = 1\]
\[f'(x) = \frac{0 \cdot (x - 3) - 1 \cdot 1}{(x - 3)^{2}} = -\frac{1}{(x - 3)^{2}}\]
\[g(x) = -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2)\]
Die Funktion \(g\) lässt sich in Kenntnis der Produktregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Summenregel und der Faktorregel ableiten.
Als Alternative ohne Anwendung der Produktregel wird der Funktionsterm \(g(x)\) zunächst ausmultipliziert und anschließend mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion, der Summenregel und der Faktorregel abgeleitet.
\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
\[u(x) = -(x^{2} - 6x + 3); \; u'(x) = -(2x - 6 + 0) = -2x + 6\]
\[v(x) = x - 2; \; v'(x) = 1 - 0 = 1\]
\[\begin{align*} g(x) &= (-2x + 6) \cdot (x - 2) + \left[-(x^{2} - 6x + 3) \right] \cdot 1 \\[0.8em] &= -2x^{2} + 4x + 6x - 12 - x^{2} + 6x - 3 \\[0.8em] &= -3x^{2} + 16x - 15 \end{align*}\]
\[\begin{align*}g(x) &= -(x^{2} - 6x + 3) (x - 2) \\[0.8em] &= -\left( x^{3} - 2x^{2} - 6x^{2} + 12x + 3x - 6 \right) \\[0.8em] &= -x^{3} + 8x^{2} - 15x + 6 \end{align*}\]
\[\begin{align*} g'(x) &= (-1) \cdot 3 \cdot x^{2} + 8 \cdot 2 \cdot x - 15 + 0 \\[0.8em] &= -3x^{2} +16x -15 \end{align*}\]