Lösung - Aufgabe 4

Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) an und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff „Stammfunktion" versteht.

Stammfunktion von \(f\)

 

Anmerkung:

Es ist lediglich eine Stammfunktion von \(f\) anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

\[f(x) = 3x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\]

Jede differenzierbare Funktion \(F\) mit \(D_{F} = D_{f}\) für die \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist eine Stammfunktion von \(f\).

Die Funktion \(f\) besitzt den maximalen Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Man erhält den Funktionsterm \(F(x)\) einer Stammfunktion von \(f\) durch „Aufleiten" des Funktionsterms \(f(x)\). Unter Berücksichtigung der Ableitung einer Potenzfunktion und der Summenregel ergibt sich eine Stammfunktion von \(f\) zu:

 

\[F(x) = x^{3} - \frac{1}{x}; D_{F} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Erläuterung - „Aufleiten" von \(f(x)\):

Zunächst wird der Funktionsterm \(f(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) vollständig in der Potenzschreibweise beschrieben.

 

\[\begin{align*}f(x) &= 3x^{2} + \frac{1}{x^{2}} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3x^{2} + x^{-2} \end{align*}\]

 

Der Funktionsterm \(f(x)\) ist eine Summe zweier Potenzterme. Gemäß der Summenregel sind die Potenzeterme \(3x^{2}\) und \(x^{-2}\) das Ergebnis separater Ableitungen zweier Potenzterme von \(F(x)\).

Entsprechend der Ableitung einer Potenzfunktion entsteht der Potenzterm \(3x^{2}\) durch das Ableiten der Potenz \(x^{2 + 1} = x^{3}\) und der Potenzterm \(x^{-2}\) durch das Ableiten der Potenz \(x^{-2 + 1} = x^{-1}\). Da jedoch \(\left( x^{-1} \right)' = (-1) \cdot x^{-2} = -x^{-2}\) ist, muss der Faktor \(-1\) korrigierend zur Potenz \(x^{-1}\) hinzu gefügt werden.

 

\[\Longrightarrow \quad F(x) = x^{3} + (-1) \cdot x^{-1} = x^{3} - \frac{1}{x}\]

 

Nachweis (Probe):

\[F'(x) = \left( x^{3} -x^{-1} \right)' = 3 \cdot x^{2} - (-1) \cdot x^{-2} = 3x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = f(x)\]

 

Die Funktion \(F \colon x \mapsto x^{3} - \dfrac{1}{x}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{2} +\dfrac{1}{x^{2}}\) mit \(D_{F} = D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

 

Erläuterung des Begriffs „Stammfunktion"

Unter einer Stammfunktion \(F\) einer differenzierbaren Funktion \(f\) mit \(D_{F} = D_{f}\) versteht man jede Funktion \(F\), für die \(F'(x) = f(x)\) gilt.

Die Funktionsterme \(F(x)\) der Menge aller Stammfunktionen einer Funktion \(f\) unterscheiden sich durch den Wert einer additiven Konstante \(C\) mit \(C \in \mathbb R\), deren Ableitung stets gleich Null ist.

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