Lösung - Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f \colon x \mapsto (3x - 2)(x + 1) - \dfrac{1}{x}\) und vereinfachen Sie den Term.

\[f(x) = (3x - 2)(x + 1) - \frac{1}{x}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

1. Möglichkeit: Produkt- und Quotientenregel anwenden

Der Funktionsterm \(f(x)\) lässt unter Anwendung der Produktregel, der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten.

 

\[f(x) = (3x - 2)(x + 1) - \frac{1}{x}\]

Produktregel anwenden:

 

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = 3x-2; \; u'(x) = 3 - 0 = 3\]

\[v(x) = x + 1; \, v'(x) = 1 - 0 = 1\]

Quotientenregel anwenden:

 

\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]

 

\[u(x) = 1; \; u'(x) = 0\]

\[v(x) = x; \; v'(x) = 1\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= 3 \cdot (x + 1) + (3x - 2) \cdot 1 - \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}} \\[0.8em] &= 3x + 3 + 3x - 2 + \frac{1}{x^{2}} \\[0.8em] &= 6x + 1 + \frac{1}{x^{2}} \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: ohne Produkt- und Quotientenregel

Als Alternative multipliziert man das Produkt \((3x - 2)(x + 1)\) aus und formuliert den Term \(\dfrac{1}{x}\) mithilfe des Potehzgesetzes \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) in der Potenzschreibweise. Anschließend kann \(f(x)\) ohne die Produkt- und Quotientenregel abgeleitet werden.

 

\[\begin{align*} f(x) &= (3x - 2)(x + 1) - \frac{1}{x} \\[0.8em] &= 3x^{2} + 3x -2x - \frac{1}{x} \\[0.8em] &= 3x^{2} + x - \frac{1}{x} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3x^{2} + x - x^{-1} \end{align*}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= 3 \cdot 2 \cdot x + 1 - (-1) \cdot x^{-2} \\[0.8em] &= 6x + 1 + x^{-2} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 6x + 1 + \frac{1}{x^{2}} \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Aufgaben Lösung - Aufgabe 2 »