Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie \(D_{f}\) an.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf.

e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden.

a) Maximaler Definitionsbereich \(D_{f}\)

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\]

 

Da die Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist, ist die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Nennernullstelle \(x = -1\) nicht definiert.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

b) Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen

 

Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse (Nullstellen):

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Ein Bruchterm ist gleich Null, wenn der Zählerterm gleich Null ist.

 

\[f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3x^{2} + 3x - 6 = 0\]

 

Die quadratische Gleichung \(3x^{2} + 3x - 6 = 0\) kann mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden.

\[\begin{align*} x_{1.2} &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} \\[0.8em] &= \frac{-3 \pm 9}{6} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \end{align*}\]

 

\[x_{1} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2\]

\[x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1\]

 

Die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse sind \(N_{1}(-2|0)\) und \(N_{2}(1|0)\).

 

Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse:

Der Schnittpunkt \(S_{y}\) von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{y}(0|f(0))\). Es ist also der Funktionswert \(f(0)\) zu berechnen.

 

\[f(0) = \frac{3 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - 6}{{(0 + 1)}^{2}} = -6\]

 

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|-6)\).

 

c) Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs

 

Formuliert man die die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\) in der Intervallschreibweise, sind die Ränder von \(D_{f}\) besser zu erkennen.

 

\[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\} = \; ]-\infty;-1[ \; \cup \; ]-1;+\infty[\]

 

Es ist demnach das Verhalten der Funktion \(f\) für \(x \to -\infty\), \(x \to -1^{-}\), \(x \to - 1^{+}\) und \(x \to +\infty\) zu untersuchen.

Vorab der Grezwertbetrachtungen erfolgt noch eine Bewertung der Art der in Teilaufgabe a festgestellten Definitionslücke \(x = -1\) (Nennernullstelle).

Da die Nennernullstelle von \(f\) nicht zugleich Nullstelle des Zählers ist (vgl. Teilaufgabe b), ist die Definitionslücke \(x = -1\) nicht hebbar. Folglich ist \(x = -1\) eine Polstelle der Funktion \(f\). Die doppelte Nennernullstelle lässt auf eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel schließen.

Am vollständig faktorisierten Funkktionsterm \(f(x)\) ist die Art der Definitionslücke gut zu erkennen:

 

\[\begin{align*}f(x) &= \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot (x^{2} + x - 2)}{(x + 1)^{2}} & &| \; \text{Nullstellen:} \; x_{1} = -2; \; x_{2} = 1 \; \text{(vgl. Teilaufgabe b)} \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot (x + 2)(x - 1)}{(x + 1)^{2}} \end{align*}\]

  

\(\Longrightarrow \quad\) doppelte Nennernullstelle \(\neq\) Zählernullstellen

\(\Longrightarrow \quad\) Polstelle \(x = -1\) ohne Vorzeichenwechsel

 

Anmerkung:

Eine hebbare Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion liegt immer dann vor, wenn eine Nennernullstelle zugleich Zählernullstelle ist. Der Graph der gebrochenrationalen Funktion zeigt dann an der entsprechenden Stelle ein Definitionsloch, während er in der Umgebung einer Polstelle gegen \(- \infty\) bzw. \(+ \infty\) strebt.

 

Um das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\) zu untersuchen, sind also insgesamt folgende Grenzwertbetrachtungen zu berücksichtigen:

 

\(\lim \limits_{x \; \to \, {-1}^{-}} f(x)\) und \(\lim \limits_{x \, \to \, {-1}^{+}} f(x)\)

sowie

\(\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x)\) und \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x)\)

 

Verhalten an der Polstelle \(x = -1\):

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-1^{-}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-1^{-}} \frac{\overbrace{3 \cdot \overbrace{(x + 2)}^{\large{\to \, 1}}\overbrace{(x - 1)}^{\large{\to\,-2}}}^{\large{\to\,-6}}}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{\to\,0^{+}}}} = -\infty\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-1^{+}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-1^{+}} \frac{\overbrace{3 \cdot \overbrace{(x + 2)}^{\large{\to \, 1}}\overbrace{(x - 1)}^{\large{\to\,-2}}}^{\large{\to\,-6}}}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{\to\,0^{+}}}} = -\infty\]

 

Verhalten von \(G_{f}\) im Unendlichen:

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Zunächst ist es zweckmäßig, den Nennerterm mithilfe der 1. Binomischen Formel auszumultiplizieren. Für eine aussagekräftige anschließende Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} f(x)\) wird die höchste Potenz des Nenners von \(f\) im Nenner und im Zähler ausgeklammert.

 

\[\begin{align*}f(x) &= \frac{3x^{2} + 3x - 6}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{(a\,+\,b)^{2}}}} & &| \; \text{1. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{3x^{2} + 3x - 6}{\underbrace{x^{2} + 2x + 1}_{\large{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}}}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm \infty} \frac{3x^{2} + 3x - 6}{x^{2} + 2x + 1} \\[0.8em] &= \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \Big( 3 + \overbrace{\frac{3}{x}}^{\large{\to\,0}} - \overbrace{\frac{6}{x^{2}}}^{\large{\to\,0}} \Big)}{\cancel{x^{2}} \cdot \Big( 1 + \underbrace{\frac{2}{x}}_{\large{\to\,0}} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\large{\to\,0}} \Big)} \\[0.8em] &= 3 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Waagrechte Asymptote: \(y = 3\)

 

d) Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) und der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\)

 

Gleichung der Tangente \(T\)

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

\[P(1|f(1))\]

 

Der Ansatz für die Gleichung der Tangente \(T\) an der Stelle \(x = 1\) (im Punkt \(P(1|f(1))\)) kann mithilfe der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen.

 

1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T \colon y = m_{T} \cdot x + t\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 1\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(1|f(1))\).

\[m_{T} = f'(1)\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der gebrochenrationalen Funktion \(f\) wird mit der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel formuliert.

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}} = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{x^{2} + 2x + 1}\]

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{(6x + 3) \cdot (x^{2} + 2x + 1) - (3x^{2} + 3x - 6) \cdot (2x + 2)}{(x^{2} + 2x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{3} + 12x^{2} + 6x + 3x^{2} + 6x + 3 - (6x^{3} + 6x^{2} + 6x^{2} + 6x - 12x - 12)}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{3} + 15x^{2} + 12x + 3 - 6x^{3} - 12x^{2} + 6x + 12}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{3x^{2} + 18x + 15}{(x + 1)^{4}} \end{align*}\]

 

Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:

 

\[\begin{align*}m_{T} &= f'(1) \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot 1^{2} + 18 \cdot 1 + 15}{(1 + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{36}{16} \\[0.8em] &= \frac{9}{4} \end{align*}\]

 

Damit ergibt sich die Gleichung der Tangente \(T\) zu:

 

\[T \colon y = \frac{9}{4}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) bestimmen:

Die Tangente \(T\) berührt den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(1|f(1))\; (P \in T)\). Setzt man die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Tangente \(T\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnit \(t\) bestimmen. Vorab ist noch der Funktionswert \(f(1)\) zu berechnen.

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}\]

 

\(f(1) = 0\) (vgl. Teilaufgabe b, Nullstelle \(x = 1\))

 

\[\Longrightarrow \quad P(1|0)\]

 

\[\begin{align*} P \in T \colon 0 &= \frac{9}{4} \cdot 1 + t \\[0.8em] 0 &= \frac{9}{4} + t & &| - \frac{9}{4} \\[0.8em] -\frac{9}{4} &= t \end{align*}\]

 

Gleichung der Tangente \(T\) angeben:

 

\[T \colon y = \frac{9}{4}x - \frac{9}{4}\]

 

2. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[P(1|f(1))\]

 

\[T \colon y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1)\]

 

Mit \(f'(1) = \frac{9}{4}\) und \(f(1) = 0\) (vgl. 1. Lösungsansatz) folgt:

 

\[\begin{align*}T \colon y &= f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) \\[0.8em] &= \frac{9}{4} \cdot (x - 1) + 0 \\[0.8em] &= \frac{9}{4}x + \frac{9}{4} \end{align*}\]

 

Gleichung der Normalen \(N\)

\[N \colon y = m_{N} \cdot x + t\]

 

Für die Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) zur Tangente \(T\) an der Stelle \(x = 1\) gilt:

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -\frac{1}{f'(1)}\]

 

Normalensteigung \(m_{N}\) der Normale \(N\) berechnen:

 

\[m_{T} = \frac{9}{4}\]

 

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}\]

 

Damit ergibt sich die Gleichung der Normalen \(N\) zu:

 

\[N \colon y = -\frac{4}{9}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Normale \(N\) bestimmen:

Die Normale \(N\) schneidet den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(1|f(1))\; (P \in N)\). Setzt man die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Normale \(N\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnit \(t\) bestimmen.

 

\(P(1|0)\) (vgl. Teilaufgabe b, Nullstelle \(x = 1\))

 

\[\begin{align*} P \in N \colon 0 &= -\frac{4}{9} \cdot 1 + t \\[0.8em] 0 &= -\frac{4}{9} + t & &| + \frac{4}{9} \\[0.8em] \frac{4}{9} &= t \end{align*}\]

 

Gleichung der Normale \(N\) angeben:

 

\[N \colon y = -\frac{4}{9}x + \frac{4}{9}\]

 

e) Zeichnung von \(G_{f}\), Tangente \(T\) und Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse

Bisherige Ergebnisse:

  • \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\)
  • Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse: \(N_{1}(-2|0)\) und \(N_{2}(1|0)\)
  • Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse: \(S_{y}(0|-6)\)
  • \(\lim \limits_{x\,\to\,-1^{-}} f(x) = -\infty; \; \lim \limits_{x\,\to\,-1^{+}} f(x) = -\infty\)
  • \(\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} f(x) = 3\)
  • \(T \colon y = \dfrac{9}{4}x - \dfrac{9}{4}; \; N \colon y = -\dfrac{4}{9}x + \dfrac{4}{9}\)

 

Graph der gebrochenrationalen Funktion f, Tangente T und Normale N im Punkt (1|0)

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}\), sowie Tangente \(T\) und Normale \(N\) an der Stelle \(x = 1\)

 

f) Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden

Dreieck, welches die Tangente T und die Normale N mit der y-Achse bilden

Die Tangente \(T \colon y = \dfrac{9}{4}x - \dfrac{9}{4}\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(\Big(0|\textstyle -\frac{9}{4} \Big)\) und die Normale \(N \colon y = -\dfrac{4}{9}x + \dfrac{4}{9}\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(\Big( 0|\textstyle \frac{4}{9} \Big)\).

Damit ergibt sich der Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden, zu:

 

\[\begin{align*} A_{\text{Dreieck}} &= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{9} - \left( -\frac{9}{4} \right) \right) \cdot 1 \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{9} + \frac{9}{4} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{16}{36} + \frac{81}{36}\right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{97}{36} \\[0.8em] &= \frac{97}{72} \\[0.8em] &\approx 1{,}35 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden, beträgt ca. 1,35 FE (Flächeneinheiten).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 1 Lösung - Aufgabe 3 »