Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\) mit dem maximalen Definitionsbereich \(D_{f}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Geben Sie \(D_{f}\) an.

b) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen.

c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) sowie die Gleichung der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\) auf.

e) Zeichnen Sie \(G_{f}\), die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein geeignetes Koordinatensystem.

f) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden.

a) Maximaler Definitionsbereich \(D_{f}\)

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}\]

 

Da die Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist, ist die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Nennernullstelle \(x = -1\) nicht definiert.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

b) Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen

 

Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse (Nullstellen):

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{{(x + 1)}^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(f\) sind alle Nullstellen des Zählers \(3x^2 + 3x + 6\), welche nicht zugleich Nullstellen des Nenners sein dürfen (vgl. Anmerkung).

Nullstellen einer Funktion bestimmen

Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen

Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).

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Produkt von Funktionen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)

Quotient von Funktionen

Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)

Quadratische Funktion

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)

 

\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]

 

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

 

Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]

Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)

Ganzrationale Funktion

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3

vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen

Gebrochenrationale Funktion

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.

Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.

Sinus- und Kosinusfunktion

\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

Nullstellen der Sinusfunktion x ↦ sin x und der Kosinusfunktion x ↦ cos x

Natürliche Logarithmusfunktion

Nullstelle x = 1 der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).

\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]

Natürliche Exponentialfunktion

Graph der natürlichen Exponentialfunktion x → eˣ

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!

\[f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad 3x^{2} + 3x - 6 = 0\]

 

Die quadratische Gleichung \(3x^{2} + 3x - 6 = 0\) kann mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelöst werden.

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)

\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

\[\begin{align*} x_{1.2} &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} \\[0.8em] &= \frac{-3 \pm 9}{6} \\[0.8em] &= -\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} \end{align*}\]

 

\[x_{1} = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2\]

\[x_{2} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1\]

 

Die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse sind \(N_{1}(-2|0)\) und \(N_{2}(1|0)\).

 

Anmerkung:

Ist \(x_0\) eine Nullstelle der Zählerfunktion \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt eine gebrochenrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{z(x)}{n(x)}\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

  

Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse:

Der Schnittpunkt \(S_{y}\) von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{y}(0|f(0))\). Es ist also der Funktionswert \(f(0)\) zu berechnen.

 

\[f(0) = \frac{3 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - 6}{{(0 + 1)}^{2}} = -6\]

 

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|-6)\).

 

c) Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs

 

Formuliert man die die maximale Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\) in der Intervallschreibweise, sind die Ränder von \(D_{f}\) besser zu erkennen.

 

\[D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\} = \; ]-\infty;-1[ \; \cup \; ]-1;+\infty[\]

 

Es ist demnach das Verhalten der Funktion \(f\) für \(x \to -\infty\), \(x \to -1^{-}\), \(x \to - 1^{+}\) und \(x \to +\infty\) zu untersuchen.

Vorab der Grezwertbetrachtungen erfolgt noch eine Bewertung der Art der in Teilaufgabe a festgestellten Definitionslücke \(x = -1\) (Nennernullstelle).

Da die Nennernullstelle von \(f\) nicht zugleich Nullstelle des Zählers ist (vgl. Teilaufgabe b), ist die Definitionslücke \(x = -1\) nicht hebbar. Folglich ist \(x = -1\) eine Polstelle der Funktion \(f\). Die doppelte Nennernullstelle lässt auf eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel schließen.

Am vollständig faktorisierten Funkktionsterm \(f(x)\) ist die Art der Definitionslücke gut zu erkennen:

 

\[\begin{align*}f(x) &= \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot (x^{2} + x - 2)}{(x + 1)^{2}} & &| \; \text{Nullstellen:} \; x_{1} = -2; \; x_{2} = 1 \; \text{(vgl. Teilaufgabe b)} \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot (x + 2)(x - 1)}{(x + 1)^{2}} \end{align*}\]

  

\(\Longrightarrow \quad\) doppelte Nennernullstelle \(\neq\) Zählernullstellen

\(\Longrightarrow \quad\) Polstelle \(x = -1\) ohne Vorzeichenwechsel

 

Anmerkung

Eine hebbare Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion liegt immer dann vor, wenn eine Nennernullstelle zugleich Zählernullstelle ist und der Funktionsterm so gekürzt werden kann, dass keine Nennernullstelle mehr existiert. Der Graph der gebrochenrationalen Funktion zeigt dann an der entsprechenden Stelle ein Definitionsloch, während er in der Umgebung einer Polstelle gegen \(- \infty\) bzw. \(+ \infty\) strebt.

 

Um das Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\) zu untersuchen, sind also insgesamt folgende Grenzwertbetrachtungen zu berücksichtigen:

 

\(\lim \limits_{x \; \to \, {-1}^{-}} f(x)\) und \(\lim \limits_{x \, \to \, {-1}^{+}} f(x)\)

sowie

\(\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f(x)\) und \(\lim \limits_{x \, \to \, +\infty} f(x)\)

 

Verhalten an der Polstelle \(x = -1\):

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-1^{-}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-1^{-}} \frac{\overbrace{3 \cdot \overbrace{(x + 2)}^{\large{\to \, 1}}\overbrace{(x - 1)}^{\large{\to\,-2}}}^{\large{\to\,-6}}}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{\to\,0^{+}}}} = -\infty\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-1^{+}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-1^{+}} \frac{\overbrace{3 \cdot \overbrace{(x + 2)}^{\large{\to \, 1}}\overbrace{(x - 1)}^{\large{\to\,-2}}}^{\large{\to\,-6}}}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{\to\,0^{+}}}} = -\infty\]

 

Verhalten von \(G_{f}\) im Unendlichen:

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

 

Zunächst ist es zweckmäßig, den Nennerterm mithilfe der 1. Binomischen Formel auszumultiplizieren. Für eine aussagekräftige anschließende Grenzwertbetrachtung \(\lim \limits_{x \, \to \, \pm \infty} f(x)\) wird die höchste Potenz des Nenners von \(f\) im Nenner und im Zähler ausgeklammert.

 

\[\begin{align*}f(x) &= \frac{3x^{2} + 3x - 6}{\underbrace{(x + 1)^{2}}_{\large{(a\,+\,b)^{2}}}} & &| \; \text{1. Binomische Formel anwenden} \\[0.8em] &= \frac{3x^{2} + 3x - 6}{\underbrace{x^{2} + 2x + 1}_{\large{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}}}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,\pm \infty} \frac{3x^{2} + 3x - 6}{x^{2} + 2x + 1} \\[0.8em] &= \frac{\cancel{x^{2}} \cdot \Big( 3 + \overbrace{\frac{3}{x}}^{\large{\to\,0}} - \overbrace{\frac{6}{x^{2}}}^{\large{\to\,0}} \Big)}{\cancel{x^{2}} \cdot \Big( 1 + \underbrace{\frac{2}{x}}_{\large{\to\,0}} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\large{\to\,0}} \Big)} \\[0.8em] &= 3 \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad\)Waagrechte Asymptote: \(y = 3\)

 

d) Gleichung der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) und der Normalen \(N\) an der Stelle \(x = 1\)

 

Gleichung der Tangente \(T\)

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\]

\[P(1|f(1))\]

 

Der Ansatz für die Gleichung der Tangente \(T\) an der Stelle \(x = 1\) (im Punkt \(P(1|f(1))\)) kann mithilfe der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen.

 

1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[T \colon y = m_{T} \cdot x + t\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 1\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(1|f(1))\).

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[m_{T} = f'(1)\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der gebrochenrationalen Funktion \(f\) wird mit der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel formuliert.

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}} = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{x^{2} + 2x + 1}\]

Ableitungsregeln

Quotientenregel

\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Faktorregel

\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}f'(x) &= \frac{(6x + 3) \cdot (x^{2} + 2x + 1) - (3x^{2} + 3x - 6) \cdot (2x + 2)}{(x^{2} + 2x + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{3} + 12x^{2} + 6x + 3x^{2} + 6x + 3 - (6x^{3} + 6x^{2} + 6x^{2} + 6x - 12x - 12)}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{6x^{3} + 15x^{2} + 12x + 3 - 6x^{3} - 12x^{2} + 6x + 12}{(x + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{3x^{2} + 18x + 15}{(x + 1)^{4}} \end{align*}\]

 

Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:

 

\[\begin{align*}m_{T} &= f'(1) \\[0.8em] &= \frac{3 \cdot 1^{2} + 18 \cdot 1 + 15}{(1 + 1)^{4}} \\[0.8em] &= \frac{36}{16} \\[0.8em] &= \frac{9}{4} \end{align*}\]

 

Damit ergibt sich die Gleichung der Tangente \(T\) zu:

 

\[T \colon y = \frac{9}{4}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) bestimmen:

Die Tangente \(T\) berührt den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(1|f(1))\; (P \in T)\). Setzt man die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Tangente \(T\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnit \(t\) bestimmen. Vorab ist noch der Funktionswert \(f(1)\) zu berechnen.

 

\[f(x) = \frac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}\]

 

\(f(1) = 0\) (vgl. Teilaufgabe b, Nullstelle \(x = 1\))

 

\[\Longrightarrow \quad P(1|0)\]

 

\[\begin{align*} P \in T \colon 0 &= \frac{9}{4} \cdot 1 + t \\[0.8em] 0 &= \frac{9}{4} + t & &| - \frac{9}{4} \\[0.8em] -\frac{9}{4} &= t \end{align*}\]

 

Gleichung der Tangente \(T\) angeben:

 

\[T \colon y = \frac{9}{4}x - \frac{9}{4}\]

 

2. Lösungsansatz: Tangentengleichung

Tangentengleichung

Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):

\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]

\[P(1|f(1))\]

 

\[T \colon y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1)\]

 

Mit \(f'(1) = \frac{9}{4}\) und \(f(1) = 0\) (vgl. 1. Lösungsansatz) folgt:

 

\[\begin{align*}T \colon y &= f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) \\[0.8em] &= \frac{9}{4} \cdot (x - 1) + 0 \\[0.8em] &= \frac{9}{4}x + \frac{9}{4} \end{align*}\]

 

Gleichung der Normalen \(N\)

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[N \colon y = m_{N} \cdot x + t\]

 

Für die Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) zur Tangente \(T\) an der Stelle \(x = 1\) gilt:

Tangentensteigung, Normalensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Tangentensteigung und Normalensteigung

Tangentensteigung: \(m_{T} = f'(x_0)\)

Normalensteigung: \(m_{N} = -\dfrac{1}{f'(x_0)}\)

(vgl. Merkhilfe)

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -\frac{1}{f'(1)}\]

 

Normalensteigung \(m_{N}\) der Normale \(N\) berechnen:

 

\[m_{T} = \frac{9}{4}\]

 

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}\]

 

Damit ergibt sich die Gleichung der Normalen \(N\) zu:

 

\[N \colon y = -\frac{4}{9}x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Normale \(N\) bestimmen:

Die Normale \(N\) schneidet den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(1|f(1))\; (P \in N)\). Setzt man die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Normale \(N\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnit \(t\) bestimmen.

 

\(P(1|0)\) (vgl. Teilaufgabe b, Nullstelle \(x = 1\))

 

\[\begin{align*} P \in N \colon 0 &= -\frac{4}{9} \cdot 1 + t \\[0.8em] 0 &= -\frac{4}{9} + t & &| + \frac{4}{9} \\[0.8em] \frac{4}{9} &= t \end{align*}\]

 

Gleichung der Normale \(N\) angeben:

 

\[N \colon y = -\frac{4}{9}x + \frac{4}{9}\]

 

e) Zeichnung von \(G_{f}\), Tangente \(T\) und Normale \(N\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse

Bisherige Ergebnisse:

  • \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{-1\}\)
  • Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse: \(N_{1}(-2|0)\) und \(N_{2}(1|0)\)
  • Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse: \(S_{y}(0|-6)\)
  • \(\lim \limits_{x\,\to\,-1^{-}} f(x) = -\infty; \; \lim \limits_{x\,\to\,-1^{+}} f(x) = -\infty\)
  • \(\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} f(x) = 3\)
  • \(T \colon y = \dfrac{9}{4}x - \dfrac{9}{4}; \; N \colon y = -\dfrac{4}{9}x + \dfrac{4}{9}\)

 

Graph der gebrochenrationalen Funktion f, Tangente T und Normale N im Punkt (1|0)

Graph der gebrochenrationalen Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x^{2} + 3x - 6}{(x + 1)^{2}}\), sowie Tangente \(T\) und Normale \(N\) an der Stelle \(x = 1\)

 

f) Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden

Dreieck, welches die Tangente T und die Normale N mit der y-Achse bilden

Die Tangente \(T \colon y = \dfrac{9}{4}x - \dfrac{9}{4}\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(\Big(0|\textstyle -\frac{9}{4} \Big)\) und die Normale \(N \colon y = -\dfrac{4}{9}x + \dfrac{4}{9}\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(\Big( 0|\textstyle \frac{4}{9} \Big)\).

Damit ergibt sich der Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden, zu:

 

\[\begin{align*} A_{\text{Dreieck}} &= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{9} - \left( -\frac{9}{4} \right) \right) \cdot 1 \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4}{9} + \frac{9}{4} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{16}{36} + \frac{81}{36}\right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \frac{97}{36} \\[0.8em] &= \frac{97}{72} \\[0.8em] &\approx 1{,}35 \end{align*}\]

 

Der Flächeninhalt des Dreiecks, welches die Tangente \(T\) und die Normale \(N\) mit der \(y\)-Achse bilden, beträgt ca. 1,35 FE (Flächeneinheiten).