Lösung - Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems.

b) Geben Sie die Art und die Gleichungen aller Asymptoten der Funktion \(f\) an.

c) Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f\) an.

\[f(x) = 3x + 2 + \frac{1}{x^{2}}\]

 

Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bzgl. des Koordinatensystems

Man bestimmt den Funktionsterm \(f(-x)\). Gilt \(f(-x) = f(x)\), ist \(G_{f}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Gilt \(f(-x) = -f(x)\), ist \(G_{f}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\). Trifft keiner der beiden Fälle zu, weist \(G_{f}\) keines der beiden Symmetrieverhalten auf.

\[f(-x) = 3 \cdot (-x) + 2 + \frac{1}{(-x)^{2}} = -3x + 2 + \frac{1}{x^{2}}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f(-x) \neq f(x); \; f(-x) \neq -f(x)\]

 

Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

 

Art und Gleichungen aller Asymptoten der Funktion \(f\)

An einer Polstelle besitzt der Graph einer gebrochenrationalen Funktion eine senkrechte Asymptote. Eine mögliche waagrechte oder schräge Asymptote kennzeichnet das Verhalten des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen.

Es ist also Folgendes zu untersuchen:

  • Besitzt die Funktion \(f\) eine Polstelle?
  • Grenzwertbetrachtung für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\)

 

Anmerkung:

Die Aufgabenstellung verlangt lediglich danach, die Gleichungen der Asymptoten anzugeben. Eine schriftliche Begründung der Gleichungen kann entfallen.

 

Polstelle(n) der Funktion \(f\):

 

\[f(x) = 3x + 2 + \frac{1}{x^{2}}\]

 

Dem gebrochenrationalen Term \(\frac{1}{x^{2}}\) des Funktionsterms \(f(x)\) entnimmt man die Nennernullstelle \(x = 0\). Da die Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist, hat die gebrochenrationale Funktion \(f\) somit an der Stelle \(x = 0\) eine Definitionslücke. Der Definitionsbereich von \(f\) ergibt sich zu \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Da die Definitionslücke \(x = 0\) nicht zugleich Nullstelle des Zählers des gebrochenrationalen Terms \(\frac{1}{x^{2}}\) sein kann, ist die Definitionslücke \(x = 0\) nicht hebbar und somit eine Polstelle. Die doppelte Nullstelle \(x = 0\) des Terms \(\frac{1}{x^{2}}\) verweist auf eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

 

\(x = 0\) ist Polstelle.

\(\Longrightarrow \quad\)Senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x = 0\) (\(y\)-Achse)

 

Anmerkung:

Eine hebbare Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion liegt immer dann vor, wenn eine Nennernullstelle zugleich Zählernullstelle ist. Der Graph der gebrochenrationalen Funktion zeigt dann an der entsprechenden Stelle ein Definitionsloch, während er an einer Polstelle gegen \(- \infty\) bzw. \(+ \infty\) strebt.

 

Grenzwertbetrachtung für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) (Verhalten im Unendlichen):

 

\[f(x) = 3x + 2 + \frac{1}{x^{2}}\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{3x + 2}_{\to\,-\infty} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0} = -\infty\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \underbrace{3x + 2}_{\to\,+\infty} + \underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{\to\,0} = +\infty\]

 

Für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) wird der Wert des gerochenrationalen Terms \(\frac{1}{x^{2}}\) beliebig klein. Das Verhalten der gebrochenrationalen Funktion \(f\) wird im Unendlichen durch den linearen Term \(3x + 2\) bestimmt. Der Graph \(G_{f}\) nähert sich für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\) asymptotisch der Geraden mit der Gleichung \(y = 3x + 2\) an.

 

\(\Longrightarrow \quad\)Schräge Asymptote mit der Gleichung \(y = 3x + 2\)

 

Anmerkung:

Ist eine gebrochenrationale Funktion \(f\) in der Form \(f(x) = g(x) + r(x)\) gegeben, wobei \(g(x)\) im Rahmen der abiturrelevanten Mathematik ein konstanter oder ein linearer Term ist, und \(r(x)\) ein gebrochenrationaler Term ist, so liefert \(y = g(x)\) die Gleichung der waagrechten bzw. schrägen Asymptote für das Verhalten des Graphen von \(f\) im Unendlichen.

 

Eine Stammfunktion der Funktion \(f\)

 

Anmerkung

Es ist lediglich eine Stammfunktion der Funktion \(f\) anzugeben (vgl. Angabe). Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

\[f(x) = 3x + 2 + \frac{1}{x^{2}}\]

Jede differenzierbare Funktion \(F\) mit \(D_{F} = D_{f}\) für die \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist eine Stammfunktion von \(f\).

Die Funktion \(f\) besitzt den maximalen Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Man erhält den Funktionsterm \(F(x)\) einer Stammfunktion von \(f\) durch „Aufleiten" des Funktionsterms \(f(x)\). Unter Berücksichtigung der Ableitung einer Potenzfunktion und der Summenregel ergibt sich eine Stammfunktion von \(f\) zu:

 

\[F(x) = \frac{3}{2}x^{2} + 2x - \frac{1}{x}; D_{F} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Erläuterung - „Aufleiten" von \(f(x)\):

Zunächst wird der Funktionsterm \(f(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) vollständig in der Potenzschreibweise beschrieben.

 

\[\begin{align*}f(x) &= 3x + 2 + \frac{1}{x^{2}} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3x + 2 + x^{-2} \end{align*}\]

 

Der Funktionsterm \(f(x)\) ist eine Summe. Gemäß der Summenregel sind die Summanden \(3x\), \(2\) und \(\frac{1}{x^{2}}\) das Ergebnis separater Ableitungen einer Stammfunktion \(F(x)\).

Entsprechend der Ableitung einer Potenzfunktion entsteht der Summand \(3x\) durch das Ableiten der Potenz \(x^{1 + 1} = x^{2}\). Da jedoch \(\left(x^{2}\right)' = 2x\) ist, muss der Faktor \(\frac{3}{2}\) korrigierend zur Potenz \(x^{2}\) hinzu gefügt werden.

Der konstante Summand \(2\) lässt sich auch als Potenzterm \(2 \cdot x^{0}\; (x^{0} = 1)\) schreiben. Entsprechend der Ableitung einer Potenzfunktion entsteht \(x^{0}\) durch das Ableiten der Potenz \(x^{0 + 1} = x\). Der Faktor \(2\) bleibt nach der Faktorregel als solcher erhalten.

Der Potenzterm \(x^{-2}\) entsteht durch das Ableiten der Potenz \(x^{-2 + 1} = x^{-1}\). Da jedoch \(\left( x^{-1} \right)' = (-1) \cdot x^{-2} = -x^{-2}\) ist, muss der Faktor \((-1)\) korrigierend zur Potenz \(x^{-1}\) hinzu gefügt werden.

 

\[\Longrightarrow \quad F(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{2} + 2 \cdot x + (-1) \cdot x^{-1} = \frac{3}{2}x^{2} + 2x - \frac{1}{x}\]

 

Nachweis (Probe):

\[\begin{align*}F'(x) &= \left( \frac{3}{2}x^{2} + 2x - x^{-1} \right)' \\[0.8em] &= \frac{3}{2} \cdot 2 \cdot x + 2 - (-1) \cdot x^{-2} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\\[0.8em] &= 3x + 2 + \frac{1}{x^{2}} \\[0.8em] &= f(x)\end{align*}\]

 

Die Funktion \(F \colon x \mapsto \frac{3}{2}x^{2} + 2x - \frac{1}{x}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x + 2 + \frac{1}{x^{2}}\) mit \(D_{F} = D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 4 Lösung - Aufgabe 6 »