Lösung - Aufgabe 3

a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen.

 

α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

 

b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\).

a) Ableitung der Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) mithilfe der Ableitungsregeln (ohne Vereinfachen)

 

α) Ableitung von \(f(x)\)

 

\(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\)

 

Mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}};\; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) wird der Funktionsterm \(f(x)\) zunächst vollständig in der Potenzschreibweise formuliert.

 

\(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6 = 3x^{4} -3x^{-1} + 6\)

 

Die Ableitung der Funktion \(f\) lässt sich mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel berechnen.

\[f'(x) = 3 \cdot 4 \cdot x^{3} - 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} + 0\]

  

β) Ableitung von \(g(x)\)

 

\(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\)

 

Die Ableitung der Funktion \(g\) erfolgt unter Anwendung der Produktregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel. Der Parameter \(t\) wird wie eine Konstante behandelt.

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = 2x - 3; \; u'(x) = 2 - 0 = 2\]

\[v(x) = x^{2} - t; \, v'(x) = 2x - 0 = 2x\]

 

\[g'(x) = 2 \cdot (x^{2} - t) + (2x - 3) \cdot 2x\]

 

γ) Ableitung von \(h(x)\)

 

\(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\)

 

Die Funktion \(h\) wird mithilfe der Quotientenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel abgeleitet.

\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]

 

\[u(x) = 3x - 5; \; u'(x) = 3 - 0 = 3\]

\[v(x) = 3 - x^{3}; \; v'(x) = 0 - 3x^{2} = -3x^{2}\]

 

\[h'(x) = \frac{3 \cdot (3 - x^{3}) - (3x - 5) \cdot (-3x^{2})}{(3 - x^{3})^{2}}\]

 

b) Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\)

 

\[f(x) = 3x^{4} + \frac{3}{x^{3}} - 4\]

 

Jede differenzierbare Funktion \(F\) mit \(D_{F} = D_{f}\) für die \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist eine Stammfunktion von \(f\).

Die Funktion \(f\) besitzt den maximalen Definitionsbereich \(D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

Man erhält den Funktionsterm \(F(x)\) einer Stammfunktion von \(f\) durch „Aufleiten" des Funktionsterms \(f(x)\). Unter Berücksichtigung der Ableitung einer Potenzfunktion und der Summenregel ergibt sich eine Stammfunktion von \(f\) zu:

 

\[F(x) = \frac{3}{5}x^{5} - \frac{3}{2x^{2}} - 4x; D_{F} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Erläuterung - „Aufleiten" von \(f(x)\):

Zunächst wird der Funktionsterm \(f(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) vollständig in der Potenzschreibweise formuliert.

 

\[\begin{align*} f(x) &= 3x^{4} + \frac{3}{x^{3}} - 4 & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3x^{4} + 3x^{-3} - 4 \end{align*}\]

 

Der Funktionsterm \(f(x)\) ist eine Summe bzw. Differenz. Gemäß der Summenregel sind die Summanden \(3x^{4}\) und \(3x^{-3}\) sowie der Subtrahend \(4\) das Ergebnis separater Ableitungen einer Stammfunktion \(F(x)\).

Entsprechend der Ableitung einer Potenzfunktion entsteht der Summand \(3x^{4}\) durch das Ableiten der Potenz \(x ^{4 + 1} = x^{5}\). Da jedoch \((x^{5})' = 5x^{4}\) ist, muss der Faktor \(\frac{3}{5}\) korrigierend zur Potenz \(x^{5}\) hinzu gefügt werden.

Der Summand \(3x^{-3}\) entsteht durch das Ableiten der Potenz \(x^{-3 + 1} = x^{-2}\). Da jedoch \((x^{-2})' = -2x^{-3}\) ist, muss der Faktor \(\left( -\frac{3}{2}\right)\) korrigierend zur Potenz \(x^{-2}\) hinzu gefügt werden.

Der Suntrahend \(4 = 4 \cdot x^{0}\) entsteht durch das Ableiten der Potenz \(x^{0 + 1} = x\), wobei der Faktor 4 gemäß der Faktorregel als solcher beibehalten wird.

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad F(x) &= \frac{3}{5}x^{5} -\frac{3}{2}x^{-2} - 4x & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{3}{5}x^{5} - \frac{3}{2x^{2}} - 4x\end{align*}\]

 

Probe:

\[\begin{align*} F'(x) &= \left( \frac{3}{5}x^{5} -\frac{3}{2}x^{-2} - 4x \right)' \\[0.8em] &= \frac{3}{5} \cdot 5 \cdot x^{4} - \frac{3}{2} \cdot (-2) \cdot x^{-3} - 4 \\[0.8em] &= 3x^{4} + 3x^{-3} - 4 & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= 3x^{4} + \frac{3}{x^{3}} - 4 \\[0.8em] &= f(x) \end{align*}\]

 

Die Funktion \(F \colon x \mapsto \frac{3}{5}x^{5} -\frac{3}{2x^{2}} - 4x\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \frac{3}{x^{3}} - 4\) mit \(D_{F} = D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

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