Lösung - Aufgabe 6

Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte.

Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.

 

Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6    
  Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6   
    Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

 

Graphen I bis VI:

Graph I Graph II Graph III
Graph IV Graph V Graph VI

Zuordnung der Graphen I bis VI

 

Funktionsgraph links oben der Tabelle zu Aufgabe 6 Graph I Graph V
Graph IV Funktionsgraph mittig der Tabelle zu Aufgabe 6  Graph II
Graph III Graph IV Funktionsgraph rechts unten der Tabelle zu Aufgabe 6 

 

Begründung der Zuordnung für die erste Spalte

Um von dem Graphen einer Funktion auf den Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion zu schließen, betrachtet man die Lage der Extrempunkte des Graphen der Funktion und das Monotonieverhalten in der Umgebung der Extrempunkte.

Der Funktionsgraph in der ersten Spalte oben zeigt für einen negativen \(x\)-Wert einen Hochpunkt und für einen positiven \(x\)-Wert einen Tiefpunkt. An diesen Extremstellen besitzt der Graph eine waagrechte Tangente. In der Umgebung des Hochpunkts zeigt der Graph einen Wechsel des Monotonieverhaltens von streng monoton steigend nach streng monoton fallend und in der Umgebung des Tiefpunkts von streng monoton fallend nach streng monoton steigend  Folglich hat der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion an der Stelle des Hochpunkts eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) und an der Stelle des Tiefpunkts eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\).

Von den Graphen I bis VI bestätigt ausschließlich Graph IV das beschriebene Verhalten.

Graph IV zeigt für einen negativen \(x\)-Wert als einzigen Extrempunkt einen Tiefpunkt. An der Stelle des Tiefpunkts besitzt Graph IV eine waagrechte Tangente. In der Umgebung des Tiefpunkts zeigt Graph IV einen Wechsel des Monotonieverhaltens von streng monoton fallend nach streng monoton steigend. Folglich hat der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion an der Stelle des Tiefpunkts von Graph IV eine einzige Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\).

Von den verbleibenden Graphen I bis III sowie V und VI bestätigt ausschließlich Graph III das beschriebene Verhalten.

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Lösung - Aufgabe 5