Lösung - Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte  Funktionenschar \(f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3\) mit \(a \in \mathbb R\). Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mit \(G_{f_{a}}\) bezeichnet.

 

Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\) so, dass der zugehörige Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\)

a) zwei Extrempunkte

b) einen Terrassenpunkt

besitzt.

\[f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3; \; D_{f_{a}} = \mathbb R\]

 

In den Extrem- oder Terrassenpunkten besitzt ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Steigung der Tangente ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'_{a}\) der Funktionenschar \(f_{a}\) beschreibt die Steigung einer Tangente an einen Graphen der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\).

Folglich lautet die notwendige Bedingung für einen Extrem- oder Terrassenpunkt eines Graphen der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\):

 

\[f'_{a}(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'_{a}\) bilden:

Die Erste Ableitung \(f'_{a}\) der Funktionenschar \(f_{a}\) wird mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel gebildet. Der Parameter \(a\) wird wie eine Konstante behandelt.

 

\[f_{a}(x) = x^{3} - ax + 3; \; D_{f_{a}} = \mathbb R\]

\[f'_{a}(x) = 3 \cdot x^{2} - a + 0 = 3x^{2} - a\]

 

Nullstellen von \(f'_{a}\) bestimmen:

Die Anzahl der Nullstellen von \(f'_{a}\) hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab.

 

\[\begin{align*}f'_{a}(x) &= 0 \\[0.8em] 3x^{2} - a &= 0 & &| + a \\[0.8em] 3x^{2} &= a & &| : 3 \\[0.8em] x^{2} &= \frac{a}{3} & &| \; \sqrt{\quad} \enspace a > 0 \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{\frac{a}{3}} \\[0.8em]\end{align*}\]

 

Fallunterscheidung:

 

\[a > 0 \quad \Longrightarrow \quad x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}\]

\[a = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 0\]

 

a) Wert des Parameters \(a\), sodass ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) zwei Extrempunkte besitzt

Nur für \(a > 0\) hat \(f'_{a}(x)\) die beiden Nullstellen \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\).

Das bedeutet, nur für \(a > 0\) besitzt ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) an den Stellen \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\) jeweils eine waagrechte Tangente.

 

Schlussfolgerung:

Für \(a > 0\) besitzt ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) zwei Extrempunkte.

 

Anmerkung:

Der folgende ausführliche Nachweis der Extrempunkte ist laut Aufgabenstellung nicht erforderlich. Er dient vielmehr dem besseren Verständnis.

 

Nachweis der Extrempunkte und deren Art:

Ein Extrempunkt liegt an den Stellen \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\) vor, wenn \(f'_{a}(x)\) dort das Vorzeichen wechselt, das heißt, wenn ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) gemäß dem Monotoniekriterium das Monotonieverhalten ändert.

Formuliert man den Funktionsterm \(f'_{a}(x)\) anhand der Nullstellen \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{a}{3}}\) oder mithilfe der 3. Binomischen Formel als Produkt seiner Linearfaktoren, wird der Vorzeichenwechsel von \(f'_{a}(x)\) in der Umgebung von \(x_{1} = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) und \(x_{2} = \sqrt{\frac{a}{3}}\) nachvollziehbar.

 

\[\begin{align*} f'_{a}(x) &= 3x^{2} - a & &| \; (a > 0) \\[0.8em] &= 3\Big( \underbrace{x^{2} - \frac{a}{3}}_{\large{a^{2}\,-\,b^{2}}} \Big) & &| \; \text{3. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] &= 3 \underbrace{\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right) \left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right)}_{\large{(a\,-\,b)(a\,+\,b)}} \end{align*}\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'_{a}(x) > 0 \; \text{für} \; x < \textstyle -\sqrt{\frac{a}{3}} \\[0.8em] &f'_{a}\Big( \textstyle -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big) = 0 \\[0.8em] &f'_{a}(x) < 0 \; \text{für} \; \textstyle x > -\sqrt{\frac{a}{3}} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace\text{Hochpunkt}\;HoP\Big( \textstyle -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big| f_{a}\Big( -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'_{a}(x) < 0 \; \text{für} \; x < \textstyle \sqrt{\frac{a}{3}} \\[0.8em] &f'_{a}\Big( \textstyle \sqrt{\frac{a}{3}} \Big) = 0 \\[0.8em] &f'_{a}(x) > 0 \; \text{für} \; \textstyle x > \sqrt{\frac{a}{3}} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace\text{Tiefpunkt}\;TiP\Big( \textstyle \sqrt{\frac{a}{3}} \Big| f_{a}\Big( \sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\]

 

Veranschaulichung mit einer Monotonietabelle:

 

\[ f'_{a}(x) = 3\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right) \left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right); \; a > 0\]

 

\(x\) \(x < -\sqrt{\frac{a}{3}}\) \(x = -\sqrt{\frac{a}{3}}\) \(x > -\sqrt{\frac{a}{3}}\)
\(\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) \(-\) \(-\) \(-\)
\(\left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(G_{f}\) \(\nearrow\) \(HoP\Big(-\sqrt{\frac{a}{3}} \Big|f\Big( -\sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\) \(\searrow\)

 

\(x\) \(x < \sqrt{\frac{a}{3}}\) \(x = \sqrt{\frac{a}{3}}\) \(x > \sqrt{\frac{a}{3}}\)
\(\left( x - \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(\left( x + \sqrt{\frac{a}{3}} \right)\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(f'(x)\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\searrow\) \(TiP\Big(\sqrt{\frac{a}{3}} \Big|f\Big( \sqrt{\frac{a}{3}} \Big) \Big)\) \(\nearrow\)

 

b) Wert des Parameters \(a\), sodass ein Graph der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) einen Terrassenpunkt besitzt

Für \(a = 0\) hat \(f'_{a}(x) = 3x^{2}\) die doppelte Nullstelle (ohne Vorzeichenwechsel) \(x = 0\).

Das bedeutet, für \(a = 0\) besitzt der zugehörige Graph \(G_{f_{0}}\) an der Stelle \(x = 0\) eine waagrechte Tangente, ohne das Monotonieverhalten zu ändern.

 

Schlussfolgerung:

Für \(a = 0\) besitzt der zugehörige Graph \(G_{f_{0}}\) der Kurvenschar \(G_{f_{a}}\) einen Terrassenpunkt.

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