Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 2x^{2} \cdot \sin{x}\).

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(T\) an den Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\).

\[f(x) = 2x^{2} \cdot \sin{x}\]

\[P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\]

 

Der Ansatz für die Gleichung der Tangente \(T\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) (im Punkt \(P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\)) kann mit der allgemeinen Geradengleichung oder mit der Tangentengleichung erfolgen.

 

1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

\[T \colon y = m_{T} \cdot x + t\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = \frac{\pi}{2}\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\).

\[m_{T} = f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big)\]

  

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird unter Anwendung der Produktregel, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Ableitung der Sinusfunktion und mithilfe der Faktorregel gebildet.

 

\[f(x) = 2x^{2} \cdot \sin{x}\]

\[\begin{align*}f'(x) &= 2 \cdot 2x \cdot \sin{x} + 2x^{2} \cdot \cos{x} \\[0.8em] &= 4x \sin{x} + 2x^{2} \cos{x} \end{align*}\]

 

Tangentensteigung \(m_{T}\) berechnen:

 

\[\begin{align*}m_{T} &= f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2}\Big) \\[0.8em] &= 4 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{2}\right) + 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} \cdot \cos\left( \frac{\pi}{2} \right) \\[0.8em] &= 2\pi \cdot 1 + \frac{\pi^{2}}{2} \cdot 0 \\[0.8em] &= 2\pi \end{align*}\]

 

Damit ergibt sich die Gleichung der Tangente \(T\) zu:

 

\[T \colon y = 2\pi x + t\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) bestimmen:

Die Tangente \(T\) berührt den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P\Big(\textstyle\frac{\pi}{2}\Big|f\Big(\frac{\pi}{2}\Big)\Big)\; (P \in T)\). Setzt man die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Gleichung der Tangente \(T\) ein, lässt sich damit der \(y\)-Achsenabschnit \(t\) bestimmen. Vorab ist noch der Funktionswert \(f\Big(\textstyle \frac{\pi}{2} \Big)\) zu berechnen.

 

\[f(x) = 2x^{2} \cdot \sin{x}\]

 

\[f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2}\Big) = \displaystyle 2 \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2} \cdot \sin \left( \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi^{2}}{2}\]

 

\[\Longrightarrow \quad P\Big(\textstyle \frac{\pi}{2} \Big| \textstyle \frac{\pi^{2}}{2} \Big)\]

 

\[\begin{align*} P \in T \colon \frac{\pi^{2}}{2} &= 2\pi \cdot \frac{\pi}{2} + t \\[0.8em] \frac{\pi^{2}}{2} &= \pi^{2} + t & &| - \pi^{2} \\[0.8em] -\frac{\pi^{2}}{2} &= t \end{align*}\]

 

Gleichung der Tangente \(T\) angeben:

 

\[T \colon y = 2\pi x - \frac{\pi^{2}}{2}\]

 

2. Lösungsansatz: Tangentengleichung

\[P\Big(\textstyle \frac{\pi}{2} \Big| \textstyle \frac{\pi^{2}}{2} \Big)\]

 

\[T \colon y = f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) \cdot \displaystyle \left(x - \frac{\pi}{2} \right) + f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big)\]

 

Mit \(f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) = 2\pi\) und \(f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2}\Big) = \frac{\pi^{2}}{2}\) (vgl. 1. Lösungsansatz) folgt:

 

\[\begin{align*}T \colon y &= f'\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) \cdot \displaystyle \left(x - \frac{\pi}{2} \right) + f\Big( \textstyle \frac{\pi}{2} \Big) \\[0.8em] &= 2\pi \cdot \left(x - \frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi^{2}}{2} \\[0.8em] &= 2\pi x - \pi^{2} + \frac{\pi^{2}}{2} \\[0.8em] &= 2\pi x - \frac{\pi^{2}}{2}\end{align*}\]

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