Lösung - Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktionenschar \(f_{k} \colon x \mapsto x \cdot \sqrt{k - 2x}\) mit \(k \in \mathbb R^{+}\).

 

a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\) an.

b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems.

c) Untersuchen Sie das Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs.

d) Weisen Sie nach, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\).

Im Folgenden sei \(k = 4\). Der Graph der Funktion \(f_{4}\) wird mit \(G_{f_{4}}\) bezeichnet.

e) Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich der Schnittpunkt des Graphen \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) ermitteln. Beschreiben Sie die Idee dieses Ansatzes. Eine Berechnung ist nicht erforderlich!

f) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \(f_{4}\) unter Berücksichtigung des maximalen Definitionsbereichs und bestimmen Sie die Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\)

a) Maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) in Abhängigkeit des Parameters \(k\)

Anmerkung:

Die maximale Definitionsmenge von \(f_{k}\) ist lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

\[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}; \; k \in \mathbb R^{+}\]

 

Der Radikand \(k - 2x\) darf nicht negativ sein.

 

\[\begin{align*} k - 2x \geq 0 & &| + 2x \\[0.8em] k \geq 2x & &| : 2 \\[0.8em] \frac{k}{2} \geq x \end{align*}\]

  

\[\Longrightarrow \quad D_{f_{k}} = \; \Big]-\infty; \textstyle \frac{k}{2}\Big], \; k \in \mathbb R^{+}\]

  

b) Symmetrieverhalten der Kurvenschar von \(f_{k}\) bezüglich des Koordinatensystems

Man bestimmt den Funktionsterm \(f_{k}(-x)\). Gilt \(f_{k}(-x) = f_{k}(x)\), ist die Kurvenschar von \(f_{k}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Gilt \(f_{k}(-x) = -f_{k}(x)\), ist die Kurvenschar von \(f_{k}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\). Trifft keiner der beiden Fälle zu, ist die Kurvenschar von \(f_{k}\) nicht symmetrisch bezüglich des Koordinatensystems.

\[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}; \; D_{f_{k}} = \; \Big]-\infty; \textstyle \frac{k}{2}\Big], \; k \in \mathbb R^{+}\]

 

\[\begin{align*} f_{k}(-x) &= (-x) \cdot \sqrt{k - 2 \cdot (-x)} \\[0.8em] &= -x\sqrt{k + 2x} \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad f_{k}(-x) \neq f_{k}(x); \; f_{k}(-x) \neq -f_{k}(x)\]

 

Die Kurvenschar der Funktionenschar \(f_{k}\) ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

 

c) Verhalten von \(f_{k}\) an den Rändern des Definitionsbereichs

 

\(f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}; \; D_{f_{k}} = \; \Big]-\infty;  \frac{k}{2}\Big], \; k \in \mathbb R^{+}\) (vgl. Teilaufgabe a)

 

\[\lim \limits_{x \, \to \, -\infty} f_{k}(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{x}_{\to\,-\infty} \cdot \underbrace{\sqrt{k - 2x}}_{\to\,+\infty} = -\infty\]

 

\[f_{k}\Big( \textstyle \frac{k}{2}\Big) = \dfrac{k}{2} \cdot \sqrt{k - 2 \cdot \frac{k}{2}} = \dfrac{k}{2} \cdot 0 = 0\]

 

d) Nachweis, dass für die Ableitung von \(f_{k}\) gilt: \(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\)

 

\[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}; \; D_{f_{k}} = \; \Big]-\infty; \textstyle \frac{k}{2}\Big], \; k \in \mathbb R^{+}\]

 

Der Funktionenschar \(f_{k}\) wird unter Anwendung der Produkt- und der Kettenregel, der Ableitung einer Wurzelfunktion und einer Potenzfunktion sowie mithilfe der Summenregel abgeleitet. Der Parameter \(k\) wird dabei wie eine Konstante behandelt.

Als Alternative formuliert man den Funktionsterm \(f_{k}(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}; \;a \in \mathbb R^{+},\; m \in \mathbb Z, \; n \in \mathbb N\) vorab in der Potenzschreibweise.

 

\[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x} = x \cdot (k - 2x)^{\frac{1}{2}}\]

 

1. Möglichkeit (ohne Formulierung in der Potenzschreibweise)

 

\[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}\]

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = x; \; u'(x) = 1\]

\[\begin{align*}v(x) = \sqrt{k - 2x}; \; v'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{k - 2x}} \cdot (0 - 2) \\[0.8em] &= -\frac{1}{\sqrt{k - 2x}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'_{k}(x) &= 1 \cdot \sqrt{k - 2x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{k - 2x}} \cdot (0 - 2) \\[0.8em] &= \sqrt{k - 2x} - \frac{x}{\sqrt{k - 2x}} \\[0.8em] &= \frac{\sqrt{k - 2x} \cdot \sqrt{k - 2x}}{\sqrt{k - 2x}} - \frac{x}{\sqrt{k - 2x}} \\[0.8em] &= \frac{k - 2x - x}{\sqrt{k - 2x}} \\[0.8em] &= \frac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}} \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit (mit Formulierung in der Potenzschreibweise)

 

\[f_{k}(x) = x \cdot (k - 2x)^{\frac{1}{2}}\]

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = x; \; u'(x) = 1\]

\[\begin{align*}v(x) = (k - 2x)^{\frac{1}{2}}; \; v'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (k - 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (0 - 2) \\[0.8em] &= -(k - 2x)^{-\frac{1}{2}} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'_{k}(x) &= 1 \cdot (k - 2x)^{\frac{1}{2}} + x \cdot \frac{1}{2} \cdot (k - 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (0 - 2) \\[0.8em] &= (k - 2x)^{\frac{1}{2}} - x \cdot (k - 2x)^{-\frac{1}{2}} & &| \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{n}}; \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \sqrt{k - 2x} - \frac{x}{\sqrt{k - 2x}} \\[0.8em] &= \frac{\sqrt{k - 2x} \cdot \sqrt{k - 2x}}{\sqrt{k - 2x}} - \frac{x}{\sqrt{k - 2x}} \\[0.8em] &= \frac{k - 2x - x}{\sqrt{k - 2x}} \\[0.8em] &= \frac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}} \end{align*}\]

 

e) Beschreibung der Idee des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) zur Berechnung des Schnittpunkts von \(G_{f_{4}}\) mit dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\)

 

\[f_{k}(x) = x \cdot \sqrt{k - 2x}; \; D_{f_{k}} = \; \Big]-\infty; \textstyle \frac{k}{2}\Big], \; k \in \mathbb R^{+}\]

\[k = 4\]

 

\[\Longrightarrow \quad f_{4}(x) = x \cdot \sqrt{4 - 2x}; \; D_{f_{4}} = \; ]-\infty;2]\]

Mithilfe des Ansatzes \(x = f_{4}(x)\) lässt sich die \(x\)-Koordinate des/der Schnittpunkts/e des Graphen \(G_{f_{4}}\) und der Winkelhalbierenden \(y = x\) des ersten und dritten Quadranten berechnen.

Der Graph der Umkehrfunktion von \(f_{4}\) entsteht durch Spiegelung von \(G_{f_{4}}\) an der Winkelhalbierenden \(y = x\).

Allgemein gilt: Gibt es gemeinsame Punkte des Graphen einer Funktion und des Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion, liegen diese immer auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten (Fixpunkt(e) der Spiegelung an der Winkelhalbierenden).

Der Ansatz \(x = f_{4}(x)\) ermöglicht also die Berechnung des Schnittpunkts von \(G_{f_{4}}\) und dem Graphen der Umkehrfunktion von \(f_{4}\), ohne den Funktionsterm der Umkehrfunktion zu kennen.

 

f) Untersuchung des Monotonieverhaltens von \(f_{4}\) sowie Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\)

 

\[f_{4}(x) = x \cdot \sqrt{4 - 2x}; \; D_{f_{4}} =\; ]-\infty;2]\]

 

Monotonieverhalten von \(f_{4}\)

Gemäß dem Monotoniekriterium gilt:

\(f'_{4}(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad G_{f_{4}}\) ist streng monoton steigend.

\(f'_{4}(x) < 0 \quad \Longrightarrow \quad G_{f_{4}}\) ist streng monoton fallend.

 

\(f'_{k}(x) = \dfrac{k - 3x}{\sqrt{k - 2x}}\) (vgl. Teilaufgabe d)

\[k = 4\]

 

\[\Longrightarrow \quad f'_{4}(x) = \frac{4 - 3x}{\underbrace{\sqrt{4 - 2x}}_{\large{>\,0}}}\]

 

Das Vorzeichen von \(f'_{4}(x)\) wird durch den Zählerterm \(4 - 3x\) bestimmt.

 

Monotonieintervalle von \(G_{f_{4}}\) bestimmen:

 

\[f'_{4}(x) > 0\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 4 - 3x &> 0 & &| + 3x \\[0.8em] 4 &> 3x & &| : 3 \\[0.8em] \frac{4}{3} &> x \end{align*}\]

 

Mit \(D_{f_{4}} = \; ]-\infty;2]\) folgt:

\(G_{f_{4}}\) ist für \(x \in \Big]-\infty;\textstyle \frac{4}{3}\Big[\) streng monoton steigend. 

\[f'_{4}(x) < 0\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 4 - 3x &< 0 & &| + 3x \\[0.8em] 4 &< 3x & &| : 3 \\[0.8em] \frac{4}{3} &< x \end{align*}\]

 

Mit \(D_{f_{4}} = \; ]-\infty;2]\) folgt:

\(G_{f_{4}}\) ist für \(x \in \Big]\textstyle \frac{4}{3};2\Big]\) streng monoton fallend. 

 

Lage und Art des Extrempunkts von \(G_{f_{4}}\)

Überprüfung der notwendigen Bedingung \(f'\Big( \frac{4}{3} \Big) = 0\) für einen Extrempunkt von \(G_{f_{4}}\) an der Stelle \(x = \frac{4}{3}\):

\[f'_{4}(x) = \frac{4 - 3x}{\sqrt{4 - 2x}}\]

 

\[f'_{4}\Big( \textstyle \frac{4}{3} \Big) = \displaystyle \frac{4 - 3 \cdot \frac{4}{3}}{\sqrt{4 - 2 \cdot \frac{4}{3}}} = \frac{0}{\sqrt{\frac{4}{3}}} = 0\]

 

Da \(f'_{4}\) an der Stelle \(x = \frac{4}{3}\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\) wechselt bzw. \(G_{f_{4}}\) an der Stelle \(x = \frac{4}{3}\) das Monotonieverhalten von streng monoton steigend nach streng monoton fallend ändert, besitzt \(G_{f_{4}}\) als einzigen Extrempunkt den Hochpunkt \(HoP\Big( \frac{4}{3} \Big| f\Big( \frac{4}{3} \Big) \Big)\).

 

\[f_{4}(x) = x \cdot \sqrt{4 - 2x}; \; D_{f_{4}} = \; ]-\infty;2]\]

 

\[f_{4}\Big( \textstyle \frac{4}{3} \Big) = \displaystyle \frac{4}{3} \cdot \sqrt{4 - 2 \cdot \frac{4}{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9}\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'_{4}(x) > 0 \; \text{für} \; x \in \Big] -\infty;\textstyle \frac{4}{3}\Big[\\[0.8em] &f'_{4}\Big( \textstyle \frac{4}{3} \Big) = 0 \\[0.8em] &f'_{4}(x) < 0 \; \text{für} \; x \in \Big]\textstyle \frac{4}{3}; 2\Big]\end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt}\; HoP\Big( \frac{4}{3} \Big| \frac{8\sqrt{3}}{9} \Big)\]

 

Veranschaulichung mit einer Monotonietabelle:

 

\(x\) \(x \in \Big] -\infty; \frac{4}{3} \Big[\) \(x = \frac{4}{3}\) \(x \in \Big] \frac{4}{3}; 2 \Big]\)
\(f'_{4}(x)\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(G_{f_{4}}\) \(\nearrow\) \(HoP\Big( \frac{4}{3}\Big| \frac{8\sqrt{3}}{9}\Big)\) \(\searrow\)
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