Lösung - Aufgabe 4

Einer der folgenden Graphen gehört zu der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{x + 3}{e^{x}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

Geben Sie an, welcher der Graphen I, II oder III den Graphen \(G_{f}\) zeigt und begründen Sie jeweils, warum die beiden anderen Graphen nicht in Frage kommen. 

Abbildung zu Aufgabe 4 Klausur Q11 2 002

\[f(x) = \frac{x + 3}{e^{x}}\]

 

Graph III zeigt den Graphen der Funktion \(f\)

 

Begründung:

Anhand des Funktionsterms \(f(x)\) lässt sich der Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse sowie das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\) schnell ermitteln und mit den Graphen I,II und III vergleichen. 

 

Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse:

Der Graph der Funktion \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|f(0))\). Es ist also der Funktionswert \(f(0)\) zu berechnen.

 

\[f(x) = \frac{x + 3}{e^{x}}\]

 

\[f(0) = \frac{0 + 3}{e^{0}} = \frac{3}{1} = 3\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|3)\).

 

Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to +\infty\):

 

\[f(x) = \frac{x + 3}{e^{x}}\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \frac{\overbrace{x + 3}^{\to\,-\infty}}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,0}} = -\infty\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{x + 3}{e^{x}} = 0\]

Für \(x \to +\infty\) wächst der Nennerterm \(e^{x}\) „schneller" als der Zählerterm x + 3.

 

Alternative: Regel von L'Hospital anwenden:

\[\begin{align*}\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x) &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{x + 3}{e^{x}} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{(x + 3)'}{\left(e^{x}\right)'} \\[0.8em] &= \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{1}{\underbrace{e^{x}}_{\to\,+\infty}} \\[0.8em] &= 0\end{align*}\]

 

Anmerkung:

Die Regel von L'Hospital ist nicht im G8 Mathematik Lehrplan enthalten. Erfahrungsgemäß wird diese aber des Öfteren optional unterrichtet, um Grenzwertbetrachtungen von unbestimmten Ausdrücken der Form \(\dfrac{0}{0}\) oder \(\dfrac{\infty}{\infty}\) zu vertiefen.

 

Schlussfolgerungen:

Graph I zeigt nicht den Graphen \(G_{f}\), da Graph I

  • die \(y\)-Achse im Punkt \((0|-3)\) schneidet,
  • für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) verläuft sowie
  • für \(x \to +\infty\) gegen \(-\infty\) verläuft.

Graph II zeigt nicht den Graphen \(G_{f}\), da Graph II die \(y\)-Achse im Punkt \((0|1)\) schneidet.

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