Lösung - Aufgabe 6

Der Punkt \(A(4|-1|0)\) ist Mittelpunkt der Kugel \(K\), auf deren Oberfläche der Punkt \(B(-1|1|4)\) liegt. 

Ermitteln Sie die Koordinaten eines weiteren Punktes \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt.

Der Mittelpunkt \(A(4|-1|0)\) der Kugel \(K\) liegt in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene. Ein weiterer Punkt \(C\), der ebenfalls auf der Kugeloberfläche liegt, hat beispielsweise die Koordinaten \(C(4|-1|r)\) oder \(C(4|-1|-r)\).

 

Radius \(r\) der Kugel \(K\):

Der Radius \(r\) der Kugel \(K\) ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors \(\overrightarrow{AB}\) oder dessen Gegenvektor \(\overrightarrow{BA}\).

 

\(A(4|-1|0)\), \(B(-1|1|4)\)

\[\begin{align*} r &= \vert \overrightarrow{AB} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &=\sqrt{(-5)^{2} + 2^{2} + 4^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{45} \end{align*}\]

 

Damit ergeben sich die Koordinaten eines weiteren Punktes \(C \in K\) zu:

 

\(C\big(4|-1|\sqrt{45}\big)\) oder \(C\big(4|-1|-\sqrt{45}\big)\)

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