Lösung - Aufgabe 2

Geben Sie zu jeder der folgenden Funktionen eine Stammfunktion an.

 

a) \(f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\)

b) \(g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\)

Anmerkung:

Eine Stammfunktion der Funktionen \(f\) und \(g\) ist jeweils lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

a) Stfammfunktion der Funktion \(f\)

 

\[f(x) = \dfrac{2}{x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

Man erhält den Funktionsterm \(F(x)\) einer Stammfunktion von \(f\) durch „Aufleiten" des Funktionsterms \(f(x)\). Unter Berücksichtigung der Ableitung einer Potenzfunktion ergibt sich eine Stammfunktion von \(f\) zu:

 

\[F(x) = -\frac{2}{x}; \; D_{F} = \mathbb R \backslash \{0\}\]

 

Erläuterung - „Aufleiten" von \(f(x)\):

Zunächst wird der Funktionsterm \(f(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}; \; a \in \mathbb R \backslash \{0\}, \; n \in \mathbb N\) in der Potenzschreibweise formuliert.

 

\[f(x) = \frac{2}{x^{2}} = 2x^{-2}\]

 

Entsprechend der Ableitung einer Potenzfunktion entsteht die Potenzterm \(2x^{-2}\) durch das Ableiten der Potenz \(x^{-2 + 1} = x^{-1}\). Da jedoch \(\left( x^{-1} \right)' = (-1) \cdot x^{-2} = -x^{-2}\) ist, muss der Faktor \(-2\) korrigierend zur Potenz \(x^{-1}\) hinzu gefügt werden.

 

\[\Longrightarrow \quad F(x) = (-2) \cdot x^{-1} = (-2) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{2}{x}\]

 

Probe:

\[\begin{align*}F'(x) &= \left( -\frac{2}{x} \right)' \\[0.8em] &= \left(-2x^{-1}\right)' \\[0.8em] &= (-2) \cdot (-1) \cdot x^{-2} \\[0.8em] &= 2x^{-2} \\[0.8em] &= \frac{2}{x^{2}} \\[0.8em] &= f(x)\end{align*}\]

 

Die Funktion \(F \colon x \mapsto -\dfrac{2}{x}\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{2}{x^{2}}\) mit \(D_{F} = D_{f} = \mathbb R \backslash \{0\}\).

 

b) Stfammfunktion der Funktion \(g\)

 

\[g(x) = -\dfrac{1}{3}\sin(3x - 2); \; D_{g} = \mathbb R\]

Man erhält den Funktionsterm \(G(x)\) einer Stammfunktion von \(g\) durch „Aufleiten" des Funktionsterms \(g(x)\). Unter Berücksichtigung der Ableitung der Kosinusfunktion sowie der Kettenregel ergibt sich eine Stammfunktion von \(g\) zu:

 

\[G(x) = \frac{1}{9}\cos(3x - 2); \; D_{G} = \mathbb R\]

 

Erläuterung - „Aufleiten" von \(g(x)\):

Die Funktion \(g\) kann als verkettete Funktion \(u(v(x))\) mit der äußeren Funktion \(u(x) = -\frac{1}{3}\sin{x}\) und der inneren Funktion \(v(x) = 3x - 2\) aufgefasst werden. Die äußere Funktion \(u(x)\) entsteht durch das Ableiten von \(\frac{1}{3}\cos{x}\), Somit wird zunächst angenommen, dass \(u(v(x))\) durch das Ableiten von \(\frac{1}{3}\cos(3x - 2)\) entsteht. Gemäß der Kettenregel gilt:

\(\left( \frac{1}{3}\cos(3x - 2) \right)' = \frac{1}{3} \cdot (-\sin(3x - 2)) \cdot 3 = -\sin(3x - 2)\)

Folglich muss die Annahme \(u(v(x)) = \frac{1}{3}\cos(3x - 2)\) um den Faktor \(\frac{1}{3}\) korrigiert werden.

 

\[\Longrightarrow \quad G(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\cos(3x + 2)) = \frac{1}{9}\cos(3x + 2)\]

 

Probe:

\[\begin{align*} G'(x) &= \left( \frac{1}{9}\cos(3x + 2) \right)' \\[0.8em] &= \frac{1}{9} \cdot (-\sin(3x - 2)) \cdot 3 \\[0.8em] &= -\frac{1}{3}\sin(3x + 2) \\[0.8em] &= g(x)\end{align*}\]

 

Die Funktion \(G \colon x \mapsto \dfrac{1}{9}\cos(3x + 2)\) ist eine Stammfunktion der Funktion \(g \colon x \mapsto -\dfrac{1}{3}\sin(3x + 2)\) mit \(D_{G} = D_{g} = \mathbb R\).

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