Lösung - Aufgabe 3

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet

 

a) Bestimmen Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\).

b) Untersuchen Sie die Umkehrbarkeit der Funktion \(f\).

c) Ermitteln sie die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) und geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion an.

d) Geben Sie an, welche Eigenschaft alle Schnittpunkte des Graphen der Funktion \(f\) und des Graphen einer Umkehrfunktion \(f^{-1}\) haben und begründen Sie Ihre Aussage.

a) Definitions- und Wertemenge der Funktion \(f\)

 

\[f(x) = \sqrt{x^{2} + 9} - 1\]

 

Definitionsmenge der Funktion \(f\)

Da der Radikand \(x^{2} + 9\) für alle \(x \in \mathbb R\) stets größer Null ist folgt:

 

\[D_{f} = \mathbb R\]

 

Wertemenge der Funktion \(f\)

Für \(x = 0\) nimmt der Radikand \(x^{2} + 9\) und damit auch die Funktion \(f\) den kleinstmöglichen Wert an.

 

\[f(x) = \sqrt{x^{2} + 9} - 1\]

 

\[f(0) = \sqrt{0^{2} + 9} - 1 = 3 - 1 = 2\]

 

Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) bzw. \(x \to +\infty\):

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,\pm\infty} \Big( \underbrace{\sqrt{x^{2} + 9}}_{\to\,+\infty} - 1 \Big) = +\infty\]

 

Damit ergibt sich die Wertemenge der Funktion \(f\) zu:

 

\[W_{f} = [2;+\infty[\]

 

b) Untersuchung der Umkehrbarkeit der Funktion \(f\)

Die Funktion \(f\) ist in \(D_{f}\) oder einem Teilbereich davon umkehrbar, falls es zu jedem \(y \in W_{f}\) mit \(y = f(x)\) genau ein \(x \in D_{f}\) gibt.

Dies ist dann der Fall, wenn die Funktion \(f\) in \(D_{f}\) oder einem Teilbereich davon entweder streng monoton steigt oder streng monoton fällt.

Es ist also das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) zu untersuchen, um eine Aussage über die Umkehrbarkeit von \(f\) formulieren zu können.

 

Monotonieverhalten der Funktion \(f\):

\(f'(x) > 0 \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) ist streng monoton steigend.

\(f'(x) < 0 \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) ist streng monoton fallend.

 

Erste Ableitung \(f'\) bildet:

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird unter Anwendung der Ableitung einer Wurzelfunktion, der Kettenregel, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel gebildet.

Als Alternative formuliert man den Funktionsterm \(f(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}; \; a \in \mathbb R^{+}, \; m \in \mathbb Z, \; n \in \mathbb N\) vorab in der Potenzschreibweise.

 

\[f(x) = \sqrt{x^{2} + 9} - 1 = (x^{2} + 9)^{\frac{1}{2}} - 1\]

 

1. Möglichkeit (ohne Formulierung in der Potenzschreibweise):

 

\[f(x) = \sqrt{x^{2} + 9} - 1\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + 9}} \cdot (2x - 0) \\[0.8em] &= \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\end{align*}\]

 

2. Möglichkeit (mit Formulierung in der Potenzschreibweise):

 

\[f(x) = (x^{2} + 9)^{\frac{1}{2}} - 1\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 9)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2x - 0) \\[0.8em] &= x \cdot (x^{2} + 9)^{-\frac{1}{2}} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \; a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \\[0.8em] &= \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}}\end{align*}\]

 

Monotonieverhalten von \(f\):

\[f'(x) = \frac{x}{\underbrace{\sqrt{x^{2} + 9}}_{>\,0}}\]

 

\(f'(x) < 0\) für \(x < 0\)

\(\Longrightarrow \quad f\) ist für \(x < 0\) streng monoton fallend.

 

\(f'(x) > 0\) für \(x > 0\)

\(\Longrightarrow \quad f\) ist für \(x > 0\) streng monoton steigend.

 

Umkehrbarkeit der Funktion \(f\):

Die Funktion \(f\) ist nicht in \(D_{f} = \mathbb R\) umkehrbar.

Die Funktion \(f\) ist jeweils in den Teilbereichen \(x \leq 0\) oder \(x \geq 0\) umkehrbar.

 

c) Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\) sowie Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion

 

Umkehrfunktion \(f^{-1}\) von \(f\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\)

 

\[f(x) = \sqrt{x^{2} + 9} - 1; \; D_{f} = \mathbb R^{+}\]

Für die Bestimmung der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) der Funktion \(f\) wird zunächst die Funktionsgleichung \(y = f(x)\) nach \(x\) aufgelöst. Anschließend werden die Variablen \(x\) und \(y\) getauscht und \(y = f^{-1}(x)\) liefert die Umkehrfunktion.

Es ergibt sich eine Wurzelgleichung, die sich durch Quadrieren lösen lässt, wenn vorab der Wurzelterm isoliert wird.

 

\[\begin{align*} y &= f(x) \\[0.8em] y &= \sqrt{x^{2} + 9} - 1 & &| + 1 \; \text{(Wurzelterm isolieren)} \\[0.8em] y + 1 &= \sqrt{x^{2} + 9} & &| \; (\dots)^{2} \; \text{(Quadrieren)} \\[0.8em] \underbrace{(y + 1)^{2}}_{\large{(a\,+\,b)^{2}}} &= {\sqrt{x^{2} + 9}}^{2} & &| \; \text{1. Binom. Formel anwenden} \\[0.8em] \underbrace{y^{2} + 2y + 1}_{\large{a^{2}\,+\,2ab\,+\,b^{2}}} &= x^{2} + 9 & &| - 9 \\[0.8em] y^{2} + 2y - 8 &= x^{2} & &| \; \sqrt{\quad} \enspace x > 0 \\[0.8em] \sqrt{y^{2} + 2y - 8} &= x & &| \; x \longleftrightarrow y \; \text{(Variablentausch)} \\[0.8em] \sqrt{x^{2} + 2x - 8} &= y & &| \; y = f^{-1}(x) \\[0.8em] \sqrt{x^{2} + 2x - 8} &= f^{-1}(x) \end{align*}\]

  

Die Funktion \(f^{-1} \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 2x - 8}\) ist Umkehrfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto \sqrt{x^{2} + 9} - 1\) mit \(D_{f} = \mathbb R^{+}\).

 

Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion

\[f(x) = \sqrt{x^{2} + 9} - 1; \; D_{f} = \mathbb R^{+}; \; W_{f} = [2;+\infty[\]

\[f^{-1}(x) = \sqrt{x^{2} + 2x - 8}\]

 

\[D_{f^{-1}} = W_{f} = [2;+\infty[\]

\[W_{f^{-1}} = D_{f} = \mathbb R^{+}\]

 

d) Eigenschaft aller Schnittpunkte von \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\) mit Begründung

Die Schnittpunkte des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) und des Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) liegen auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).

 

Begründung:

Der Graph \(G_{f^{-1}}\) der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) geht durch Spiegelung des Graphen \(G_{f}\) der Funktion \(f\) an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten hervor. Schneidet der Graph \(G_{f}\) die Winkelhalbierende, ist dieser Schnittpunkt Fixpunkt der Spiegelung und somit ebenfalls Schnittpunkt des Graphen \(G_{f^{-1}}\) und der Winkelhalbierenden. Folglich liegen die gemeinsamen Punkte von \(G_{f}\) und \(G_{f^{-1}}\) auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten.

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