Lösung - Aufgabe 4

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

a) Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems

Man bestimmt den Funktionsterm \(f(-x)\). Gilt \(f(-x) = f(x)\), ist \(G_{f}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Gilt \(f(-x) = -f(x)\), ist \(G_{f}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\). Trifft keiner der beiden Fälle zu, weist \(G_{f}\) keines der beiden Symmetrieverhalten auf.

\[f(x) = x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} f(-x) &= (-x) \cdot e^{4 - 0{,}25 \cdot (-x)^{2}} \\[0.8em] &= -x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}} \\[0.8em] &= -f(x) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\).

 

b) Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\)

 

Nullstelle(n) der Funktion \(f\)

 

\[\begin{align*}f(x) &= 0 \\[0.8em] x \cdot \underbrace{e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad x &= 0\end{align*}\]

 

\(x = 0\) ist einzige Nullstelle der Funktion \(f\).

 

Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\)

An den Extremstellen besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\),

Folglich lautet die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\):

\[f'(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel gebildet.

 

\[f(x) = x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = x); \; u'(x) = 1\]

\[\begin{align*}v(x) = e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; v'(x) &= e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot (0 - 0{,}25 \cdot 2x) \\[0.8em] &= -0{,}5xe^{4 - 0{,}25x^{2}}\end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= 1 \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}} + x \cdot \left( -0{,}5xe^{4 - 0{,}25x^{2}} \right) \\[0.8em] &= e^{4 - 0{,}25x^{2}} - 0{,}5x^{2}e^{4 - 0{,}25x^{2}} \\[0.8em] &= e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot \left( 1 - 0{,}5x^{2} \right) \\[0.8em] &= 0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot \left( 2 - x^{2} \right) \end{align*}\]

 

Nullstellen von \(f'\) berechnen:

 

\[\begin{align*}f'(x) &= 0 \\[0.8em] \underbrace{0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} \cdot \left( 2 - x^{2} \right) &= 0\end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 2 - x^{2} &= 0 & &| + x^{2} \\[0.8em] 2 &= x^{2} & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm \sqrt{2} &= x_{1,2} \end{align*}\]

 

An den Stellen \(x_{1} = -\sqrt{2}\) und \(x_{2} = \sqrt{2}\) besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, welche auf einen Extrempunkt (bzw. einen Terrassenpunkt) hinweist.

 

Nachweis der Art der Extrempunkte:

\[f'(x) = \underbrace{0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} \cdot \left( 2 - x^{2} \right)\]

 

Der Faktor \((2 - x^{2})\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\) in der Umgebung der Stellen \(x_{1} = -\sqrt{2}\) und \(x_{2} = \sqrt{2}\).

 

\((2 - x^{2}) < 0\) für \(x < -\sqrt{2}\) bzw. \(x > 2\)

\((2 - x^{2}) > 0\) für \(x > -\sqrt{2}\) bzw. \(x < 2\)

 

Somit ergibt sich:

\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x < -\sqrt{2} \\[0.8em] &f'(-\sqrt{2}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) > 0 \; \text{für} \; x > -\sqrt{2}  \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt} \; TiP\big(-\sqrt{2} \big|f(-\sqrt{2}) \big)\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'(x) > 0 \; \text{für} \; x < \sqrt{2} \\[0.8em] &f'(\sqrt{2}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x > \sqrt{2}  \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP\big(\sqrt{2} \big|f(\sqrt{2}) \big)\]

 

Veranschaulichung mit einer Monotonietabelle:

 

\[f'(x) = \underbrace{0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} \cdot \left( 2 - x^{2} \right)\]

 

\(x\) \(x < -\sqrt{2}\) \(x = -\sqrt{2}\) \(x > -\sqrt{2}\)
\(0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((2 - x^{2})\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f'(x)\) \(-\) \(+\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\searrow\) \(TiP \big(-\sqrt{2} \big| f(-\sqrt{2}) \big)\) \(\nearrow\)

 

\(x\) \(x < \sqrt{2}\) \(x = \sqrt{2}\) \(x > \sqrt{2}\)
\(0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((2 - x^{2})\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(G_{f}\) \(\nearrow\) \(HoP \big( \sqrt{2} \big| f(\sqrt{2}) \big)\) \(\searrow\)

 

 \(y\)-Koordinate der Extrempunkte berechnen:

 

\[f(x) = x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \cdot e^{4 - 0{,}25 \cdot (-\sqrt{2})^{2}} = -\sqrt{2}e^{3{,}5}\]

\[\Longrightarrow \quad TiP\big( -\sqrt{2} \big| -\sqrt{2}e^{3{,}5} \big)\]

 

\[f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{4 - 0{,}25 \cdot {\sqrt{2}}^{2}} = \sqrt{2}e^{3{,}5}\]

\[\Longrightarrow \quad HoP\big( \sqrt{2} \big| \sqrt{2}e^{3{,}5} \big)\]

 

Anmerkung:

Es ist ebenso möglich, zunächst die Lage und Art von nur einem der beiden Extrempunkte zu bestimmen und anschließend aufgrund der in Teilaufgabe a festgestellten Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung von \(f\) auf die Lage und Art des jeweils anderen Extrempunkts zu schließen.

 

c) Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\)

\(x = 0\) ist Nullstelle der Funktion \(f\) (vgl. Teilaufgabe b).

 

\[\Longrightarrow \quad P(0|0)\]

 

Die Normale \(N\) durch den Punkt \(P(0|0)\) (Koordinatenursprung) ist eine Ursprungsgerade. Der Ansatz erfolgt mit der Gleichung einer Ursprungsgeraden \(y = mx\). 

 

\[N \colon y = m_{N} \cdot x\]

 

Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) bestimmen:

Zwischen der Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) und der Steigung \(m_{T}\) der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(P\) gilt:

 

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}}\]

 

Die erste Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P\).

 

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = \frac{1}{f'(0)}\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) ist aus Teilaufgabe b bereits bekannt:

 

\[f'(x) = 0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot \left( 2 - x^{2} \right)\]

 

Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) berechnen:

 

\[\begin{align*}m_{N} &= -\frac{1}{f'(0)} \\[0.8em] &= -\frac{1}{0{,}5e^{4 - 0{,}25 \cdot 0^{2}} \cdot (2 - 0^{2})} \\[0.8em] &= -\frac{1}{e^{4}}\end{align*}\]

 

Gleichung der Normalen \(N\) angeben:

 

\[N \colon y = -\frac{1}{e^{4}}x\]

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