Lösung - Aufgabe 1

Geben Sie von folgenden Funktionen jeweils die maximale Definitionsmenge an und bestimmen Sie jeweils die Nullstelle(n). Bilden Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

a) \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

b) \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

c) \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

Anmerkung:

Die maximale Definitionsmenge der Funktionen \(f\), \(g\) und \(h\) ist jeweils lediglich anzugeben. Jede diesbezügliche Erklärung oder Rechnung kann entfallen.

 

a) Funktion \(f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\)

 

Maximale Definitionsmenge der Funktion \(f\)

Die Natürliche Logarithmusfunktion ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert.

 

\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad 3\sqrt{x} &> 0 & &| : 3 \\[0.8em] \sqrt{x} &> 0 \\[0.8em] x &> 0 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R^{+}\]

 

Nullstelle(n) der Funktion \(f\)

 

\[f(x) = 2\ln{(3\sqrt{x})}\]

 

Jede Logarithmusfunktion \(x \mapsto \log_{a}{x}\) besitzt die Nullstelle \(x = 1\), d. h. es gilt \(\log_{a}{1} = 0\) und in diesem Fall \(\ln{1} = 0\) (vgl. ABITUR SKRIPT 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion).

Unter Anwendung der Rechenregeln für Logarithmen bzw. Potenzen ergeben sich weitere Möglichkeiten, die Nullstelle(n) von \(f\) zu bestimmen.

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] 2\ln{\left(3\sqrt{x}\right)} &= 0 & &| : 2 \\[0.8em] \ln{\left(3\sqrt{x}\right)} &= 0 &&| \; \ln{1} = 0 \\[0.8em] 3\sqrt{x} &= 1 &&| : 3 \\[0.8em] \sqrt{x} &= \frac{1}{3} &&| (\dots)^{2}\; \text{(Quadrieren)} \\[0.8em] x &= \frac{1}{9}\end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] 2\ln{\left(3\sqrt{x}\right)} &= 0 & &| : 2 \\[0.8em] \ln{\left(3\sqrt{x}\right)} &= 0 &&| \; e^{(\dots)} \; \text{(zur Basis}\; e \; \text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{\left(3\sqrt{x}\right)}} &= e^{0} &&| \; e^{\ln{x}} = x; \; \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right), a^{0} = 1; \; \text{hier:} \; e^{0} = 1 \\[0.8em] 3\sqrt{x} &= 1 &&| : 3 \\[0.8em] \sqrt{x} &= \frac{1}{3} &&| (\dots)^{2}\; \text{(Quadrieren)} \\[0.8em] x &= \frac{1}{9}\end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] 2\ln{\left(3\sqrt{x}\right)} &= 0 & &| \; n \cdot \log_{a}{x} = \log_{a}\left( x^{n} \right) \\[0.8em] \ln{\left(3\sqrt{x}\right)^{2}} &= 0 \\[0.8em] \ln{9x} &= 0 &&| \; \ln{1} = 0 \\[0.8em] 9x &= 1 &&| : 9 \\[0.8em] x &= \frac{1}{9}\end{align*}\]

 

oder

 

\[\begin{align*} f(x) &= 0 \\[0.8em] 2\ln{\left(3\sqrt{x}\right)} &= 0 & &| \; n \cdot \log_{a}{x} = \log_{a}\left( x^{n} \right) \\[0.8em] \ln{\left(3\sqrt{x}\right)^{2}} &= 0 \\[0.8em] \ln{9x} &= 0 &&| \; e^{(\dots)} \; \text{(zur Basis}\; e \; \text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{9x}} &= e^{0} &&| \; e^{\ln{x}} = x; \; \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right), a^{0} = 1; \; \text{hier:} \; e^{0} = 1 \\[0.8em] 9x &= 1 &&| : 9 \\[0.8em] x &= \frac{1}{9}\end{align*}\]

 

Die Funktion \(f\) besitzt die einzige Nullstelle \(x = \frac{1}{9}\).

 

Ableitungsfunktion \(f'\) der Funktion \(f\)

Die Funktion \(f\) wird mithilfe der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion, der Ableitung einer Wurzelfunktion, der Kettenregel und der Faktorregel abgeleitet. Als Alternative lässt sich der Funktionsterm \(f(x)\) unter Anwendung der Rechenregel für Logarithmen \(\log_{a}{b^{n}} = n \cdot \log_{a}{b}\) vorab wurzelfrei formulieren.

 

\[f(x) = 2\ln{3\sqrt{x}} = \ln{\left( 3\sqrt{x} \right)^{2}} = \ln{9x}\]

 

1. Möglichkeit: Ohne Umformulieren von \(f(x)\)

 

\[f(x) = 2\ln{3\sqrt{x}}\]

\[\left[u(v(x))\right]' = u'(v(x)) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = 2\ln{x}; \; u'(x) = 2 \cdot \frac{1}{x}\]

\[v(x) = 3\sqrt{x}; \; v'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

 

\[f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{3\sqrt{x}} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{x}\]

 

2. Möglichkeit: Nach Umformulieren von \(f(x)\)

 

\[f(x) = \ln{9x}\]

\[\left[u(v(x))\right]' = u'(v(x)) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = \ln{x}; \; u'(x) = \frac{1}{x}\]

\[v(x) = 9x; \; v'(x) = 9\]

 

\[f'(x) = \frac{1}{9x} \cdot 9 = \frac{1}{x}\]

 

b) Funktion \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\)

 

Maximale Definitionsmenge der Funktion \(g\)

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^{x}\) ist in \(\mathbb R\) definiert und besitzt den Wertebereich \(\mathbb R^{+}\). Der Exponent \(4 - 3x\) beeinflusst weder den Definitions- noch den Wertebereich. (vgl. ABITUR SKRIPT 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion). Die Terme \(x\) und \(x^{2}\) sind ebenfalls in \(\mathbb R\) definiert.

 

\[\Longrightarrow \quad D_{g} = \mathbb R\]

 

Nullstelle(n) der Funktion g

 

\[g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\]

 

Die Funktion \(g\) kann mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}\) in ein Produkt umgeformt werden. Anschließend lässt sich der Satz vom Nullprodukt anwenden.

 

\[\begin{align*} g(x) &= xe^{4 - 3x} + \frac{x^{2}}{e^{3x - 4}} \\[0.8em] &= xe^{4 - 3x} + \frac{x^{2}}{e^{-(4 - 3x)}} &&| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= xe^{4 - 3x} + \frac{x^{2}}{\frac{1}{e^{4 - 3x}}} &&| \; x^{2} \;\text{mit Kehrbruch}\; \frac{e^{4 - 3x}}{1}\; \text{multiplizieren} \\[0.8em] &= xe^{4 - 3x} + x^{2}e^{4 - 3x} &&| \; \text{Faktor}\; e^{4 - 3x}\;\text{ausklammern} \\[0.8em] &= e^{4 - 3x}(x^{2} + x) \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} g(x) &= 0 \\[0.8em]  e^{4 - 3x} \cdot (x^{2} + x) &= 0 \\[0.8em] \underbrace{e^{4 - 3x}}_{>\,0} \cdot x \cdot (x + 1) &= 0 \end{align*}\]

 

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[\Longrightarrow \quad x = 0 \enspace \vee \enspace x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -1\]

 

Die Funktion \(g\) besitzt die Nullstellen \(x_{1} = -1\) und \(x_{2} = 0\).

 

Ableitungsfunktion \(g'\) der Funktion \(g\)

Den ursprünglichen Funktionsterm \(g(x) = xe^{4 - 3x} + \dfrac{x^{2}}{e^{3x - 4}}\) mithilfe der Produkt- und der Quotientenregel abzuleiten und anschließend zu vereinfachen, ist relativ aufwendig. Zeitsparender ist es, den Funktionsterm \(g(x) = e^{4 - 3x}(x^{x} + x)\) (vgl. Nullstellen von \(g\)) mithilfe der Produktregel sowie der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, der Ableitung einer Potenzfunktion, der Summenregel und der Faktorregel abzuleiten.

 

\[g(x) = e^{4 - 3x}(x^{2} + x)\]

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = e^{4 - 3x}; \; u'(x) = e^{4 - 3x} \cdot (-3)\]

\[v(x) = x^{2} + x; \; v'(x) = 2x + 1\]

 

\[\begin{align*}g'(x) &= e^{4 - 3x} \cdot (-3) \cdot (x^{2} + x) + e^{4 - 3x} \cdot (2x + 1) &&| \; \text{Faktor}\; e^{4 - 3x}\; \text{ausklammern} \\[0.8em] &= e^{4 - 3x} (- 3x^{2} - 3x + 2x + 1) \\[0.8em] &= e^{4 - 3x}(-3x^{2} - x + 1) \end{align*}\]

 

c) Funktion \(h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\)

 

Maximale Definitionsmenge der Funktion \(h\)

Die Funktion \(h\) ist das Produkt der beiden in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(x \mapsto x^{3}\) und \(x \mapsto \sin{\left( \frac{\pi}{3}x \right)}\).

 

\[\Longrightarrow \quad D_{h} = \mathbb R\]

 

Nullstelle(n) der Funktion \(h\)

 

\[\begin{align*} h(x) &= 0 \\[0.8em] x^{3} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{3}x \right)} &= 0 \end{align*}\]

 

Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

 

\[x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \enspace \vee \enspace \sin{\left( \frac{\pi}{3}x \right)} = 0\]

 

Die Nullstellen der Sinusfunktion \(x \mapsto \sin{x}\) sind \(x = k\pi\) mit \(k \in \mathbb Z\). Folglich muss \(\dfrac{\pi}{3}x = k\pi\) gelten.

 

\[\begin{align*} \frac{\pi}{3}x &= k\pi &&| : \pi \\[0.8em] \frac{x}{3} &= k &&| \cdot 3 \\[0.8em] x &= 3k \end{align*}\]

 

Die Funktion h besitzt die Nullstellen \(x = 3k\) mit \(k \in \mathbb Z\).

 

Anmerkung:

Die Nullstelle \(x = 0\) von \(x^{3} = 0\) (dreifache Nullstelle) ist mit \(k = 0\) ebenfalls eine Nullstelle von \(\sin{\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)} = 0\) und somit eine vierfache Nullstelle der Funktion \(h\).

 

Ableitungsfunktion \(h'\) der Funktion \(h\)

Die Funktion \(h\) lässt sich mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Ableitung der Sinusfunktion, der Ableitung einer Potenzfzunktion sowie der Faktorregel ableiten.

 

\[h(x) = x^{3} \cdot \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}\]

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = x^{3}; \; u'(x) = 3x^{2}\]

\[v(x) = \sin{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)}; \; v'(x) = \cos{\left( \dfrac{\pi}{3}x \right)} \cdot \dfrac{\pi}{3}\]

 

\[\begin{align*} h'(x) &= 3x^{2} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{3}x \right)} + x^{3} \cdot \cos{\left( \frac{\pi}{3}x \right)} \cdot \frac{\pi}{3} \\[0.8em] &= \frac{1}{3}x^{2}\left[ 9\sin{\left( \frac{\pi}{3}x \right)} + \pi x \cos{\left( \frac{\pi}{3}x \right)} \right] \end{align*}\]

Weitere Lösungen dieser Aufgabengruppe: « Aufgaben Lösung - Aufgabe 2 »