Lösung - Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).

b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.

a) Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\)

 

\[f(x) = \ln{\left( -\frac{3}{x} \right)}\]

 

Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\):

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert (vgl. ABITUR SKRIPT 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion).

 

\[\Longrightarrow \quad -\frac{3}{x} > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 0\]

 

\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R^{-} = \; ]-\infty;0[\]

 

Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\):

Es ist das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to 0^{-}\) zu untersuchen.

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{\ln{\bigg( \underbrace{-\frac{3}{x}}_{\to\,0^{+}}\bigg)}}_{\to\,-\infty} = -\infty\]

 

\[\lim \limits_{x\,\to\,0^{-}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,0^{-}} \underbrace{\ln{\bigg( \underbrace{-\frac{3}{x}}_{\to\,+\infty}\bigg)}}_{\to\,+\infty} = +\infty\]

  

b) Nachweis, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist

Der Nachweis des Krümmungsverhaltens erfolgt mithilfe der zweiten Ableitung \(f''\) der Funktion \(f\).

Die Funktion \(f\) wird mithilfe der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion, der Kettenregel sowie der Quotientenregel abgeleitet.

 

\[f(x) = \ln{\left( -\frac{3}{x} \right)}\]

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{-\frac{3}{x}} \cdot \left(-\frac{0 \cdot x - 3 \cdot 1}{x^{2}}\right) \\[0.8em] &= -\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{x^{2}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{x} \end{align*}\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) kann entweder unter Anwendung der Quotientenregel oder nach Umformulieren von \(f'(x)\) in die Potenzschreibweise mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion abgeleitet werden.

 

\[f'(x) = -\frac{1}{x} = -x^{-1}\]

\[f''(x) = -\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}\]

oder

\[f''(x) = (-1) \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}\]

Für alle \(x \in \mathbb R^{-}\) gilt \(f''(x) > 0\). Somit ist der Graph der Funktion \(f\) in \(D_{f} = \mathbb R^{-}\) linksgekrümmt.

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